湖北省武汉市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析

湖北省武汉市2021届新高考数学四月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．12
13
-
B ．
1213
C ．613
-
D ．
613
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1
x x x π⎛⎫
+=- ⎪+⎝
⎭，即可求解. 【详解】
a b
⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3
a b x x x ⋅=-=∴=r r 22
2sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛
⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭
22tan 12tan 113
x x =-
=-+.
故选:A. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 2．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”
B ．在AB
C V 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4
π
α≠
”是真命题
D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 【答案】C 【解析】 【分析】
A ：否命题既否条件又否结论，故A 错.
B ：由正弦定理和边角关系可判断B 错.
C ：可判断其逆否命题的真假，C 正确.
D ：根据幂函数的性质判断D 错. 【详解】
解：A ：“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a ≤，则21a ≤”，故 A 错.
B ：在AB
C V 中，2sin 2sin A B a b R A R B >⇔>⇔>，故“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要充分条件，故B 错. C ：“若tan 1α≠，则4
π
α≠
”⇔“若=
4
π
α，则tan =1α”，故C 正确. D ：由幂函数(0)n y x n =<在()0+∞，
递减，故D 错. 故选：C 【点睛】
考查判断命题的真假，是基础题. 3．已知集合{
}2
(,)|A x y y x ==，{}
2
2(,)|1B x y x
y =+=，则A B I 的真子集个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
求出A B I 的元素，再确定其真子集个数． 【详解】
由2
22
1y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得25251x y ⎧-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎩或252
51x y ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪
=⎪⎩
，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集． 4．函数2
sin 1x x
y x +=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
【分析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】
22
sin()sin ()()11x x x x
f x f x x x -+-+-=
=-=-++，故奇函数，四个图像均符合。

当(0,)x π∈时，sin 0x >，2
sin 01x x
y x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2
sin 01x x
y x +=>+，排除A 。

故选B 。

【点睛】
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

5．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A ．
32
- B ．
32
- C ．4- D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-Q ，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数
()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，()cos 11x +≤Q ，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成
立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5 B ．5C ．13
D 13【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】
解：()3223z i i i =-=+，23z i =-
222313z z ⋅=+=，
故选：C 【点睛】
考查复数的运算，是基础题.
7．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）
A ．∅
B ．1{|}2
x x <-
C ．5{|}3
x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】
{}1210|2S x x x x ⎧
⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，
{}5|350|3T x x x x ⎧
⎫=-<=<⎨⎬⎩
⎭，
则15|23S T x x ⎧
⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
故选D 【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 8．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5
i 12i
z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+
C ．12i -
D ．12i +
【答案】A 【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为5
12z i i
=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有5
12112z i i i i i
=
+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 9．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则的
值为 ( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线
的两条渐近线为
， 可得两交
点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
10．设1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线
与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3
C 5
D 6
【答案】C 【解析】 【分析】
设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，根据切线的性质可得1OT PF ⊥，且||OT a =，再由
212PF PF =和双曲线的定义可得12||2,||4PF a PF a ==，得出T 为1F P 中点，则有2//OT PF ，得到
21PF PF ⊥，即可求解.
【详解】
设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，
22111,||||OT PF FT OF b a ∴⊥=
-= 2121212,2,4,2PF PF PF PF a PF a PF a =-===，
所以T 是1F P 中点，212//,OT
PF PF PF ∴∴⊥，
22221212||||20||4PF PF a F F c ∴+===，
2
25,5c e a
=∴=故选:C. 【点睛】
本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
11．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
12．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6
C ．5
D ．5-
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】
{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，
故选：A
【点睛】
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知不等式2x x a ++≤的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 ；若不等式
22131
11a a x x x x a
+--+-+++≥
对任意实数a 恒成立，则实数x 的取值范围是___
【答案】2,(,2][1,)a x ≥∈-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】
利用绝对值的几何意义，确定出2x x ++的最小值，然后根据题意即可得到a 的取值范围
化简不等式2
2
131
11a a x x x x a
+--+-+++≥，求出
131
a a a
+--的最大值，然后求出结果
【详解】
2x x ++Q 的最小值为2，则要使不等式的解集不是空集，则有2a ≥
化简不等式22
13111a a x x x x a +--+-+++≥有 22?14101311403
2123a a a a a a a a a
⎧-+≤-⎪⎪
--<<⎪+--⎪=⎨<<⎪⎪
⎪-≥⎪⎩；；；；，
即2
2
114x x x x +-+++≥
而222
22?112x x x x x x x x x ⎧+≤≥⎪⎪+-+++=⎨
⎪<<⎪⎩
； 当2224x x +≥时满足题意，解得2x ≤-或1x ≥ 所以答案为][()
,21,x ∈-∞-⋃+∞ 【点睛】
本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简
14．已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()
*
n ∈N ，若
()2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
的前n 项和为n S ，
则[]20003S =_________ 【答案】4 【解析】 【分析】
根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得1n a =，21n b n =+，2
1n c n n =++，进而得到
221
2n n n a c b n
=-，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，函数2
()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()
*n ∈N ，
可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，2
21()()(67)x f x f x e x x '==++
232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++L L
又由()2
()x
n n
n n f x e
a x
b x
c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，
数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，所以22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=L ， 所以2121321(1)(42)
()()()412
n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+
=++L ，
所以22
2211
22(1)(22)n n n a c b n n n n ⨯==-++-+，
又由
2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n
>=-<=-≥++--， 可得数列1{
}(1)n n +的前n 项和为111111
1122311
n n n -+-++-=-++L ，
数列1{
}(1)n n -⋅的前n 项和为11111131
12334121
n n n +-+-++-=-++L ，
所以数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
的前n 项和为n S ，满足11
11213n
S n n <--<++， 所以2000113(1)32033(0120120)S -
<-<，即200033
332920012001
S <--<， 又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，所以[]200034S =. 故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
15．设x，y满足条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则23
z x y
=-的最大值为__________.
【答案】1 3
【解析】
【分析】
作出可行域，由23
z x y
=-得
2
33
z
y x
=-，平移直线
2
33
z
y x
=-，数形结合可求z的最大值.
【详解】
作出可行域如图所示
由23
z x y
=-得
2
33
z
y x
=-，则
3
z
-是直线在y轴上的截距.
平移直线
2
33
z
y x
=-，当直线经过可行域内的点M时，
3
z
-最小，此时z最大.
解方程组
21
x y
x y
+=-
⎧
⎨
-=
⎩
，得
1
3
1
3
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
11
,
33
M
⎛⎫
∴--
⎪
⎝⎭
.
max
111
23
333
z
⎛⎫⎛⎫
∴=---=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：
1
3
.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，属于基础题.
16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为x、y，满足
83
74
x y
x y
=+
⎧
⎨
=-
⎩
，则x=_____，y=_____．
【答案】753。