高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第4节 双曲线课时训练 理

第4节双曲线
知识点、方法题号
双曲线定义和标准方程1,6,9,11,15
双曲线的几何性质2,3,4,5,7,10,12,14
双曲线的综合问题8,13,16,17
基础对点练(时间:30分钟)
1.已知方程-=1表示双曲线,则λ的取值范围是( C )
(A)(-∞,-2) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,-2)∪(-1,+∞) (D)(-1,+∞)
解析:根据题意知(2+λ)(1+λ)>0,
解得λ>-1或λ<-2.故选C.
2.(2016河北模拟)已知双曲线-y2=1的焦点为(2,0),则此双曲线的渐近线方程是( C )
(A)y=±x (B)y=±x
(C)y=±x (D)y=±x
解析:依题意=2,
所以a=±.
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.
3.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( C )
(A)(1,) (B)(1,] (C)(,+∞) (D)[,+∞)
解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,
则由题意得>2,
所以e==>=.故选C.
4.(2016邯郸一模)已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记k PA,k PB分别表示直线PA,PB的斜率,若k PA·k PB=,则该双曲线的离心率为( C )
(A)3 (B)2 (C) (D)
解析:由题意知A(-a,0),B(a,0),
设P(m,n),所以k PA·k PB=·=,
又点P在双曲线上,所以-=1,
化简得n2=,
所以k PA·k PB==.
所以e==.故选C.
5.(2015石家庄二检)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C
上一点,则∠POF的大小不可能是( C )
(A)15° (B)25° (C)60° (D)165°
解析:因为两条渐近线y=±x的倾斜角分别为30°,150°,
所以0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°,故选C.
6.(2016宜春一模)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D )
(A)5x2-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)5x2-=1
解析:因为抛物线的焦点为F(1,0),
所以c=1.
又=,
所以a=,
所以b2=c2-a2=1-=.
故所求方程为5x2-=1.
7.(2015沈阳模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为( A )
(A) (B) (C)2 (D)
解析:因为|MF2|=7|MF1|,
所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,
即2a=6|MF1|≥6(c-a),
故8a≥6c,即e=≤.故选A.
8.(2015银川一模)若点A(m,0)到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是( B )
(A)[-3,3] (B) [-,]
(C)[-2,2] (D) [-,]
解析:由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M(-2,0),N(2,0),显然当-2≤m<0
时,点A(m,0)到双曲线左顶点的距离最短;当0<m≤2时,A(m,0)到双曲线右顶点的距离最短;当m=0时,点A(m,0)到双曲线左、右顶点的距离相等且最短;当m>2时,设双曲线右支上任意一点P(x,y),|PA|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+-1≥|AN|2=(2-m)2,化简得(2x-4)m≤x2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x>2时,m≤(x+2),故m≤;同理,当m<-2时,m≥-,故m的取值范围是[-,].
9.(2015安阳模拟)若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线
C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.
解析:曲线C2是以曲线C1的右焦点F2为圆心,1为半径的圆,则|PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1;曲线C3是以曲线C1的左焦点F1为圆心,1为半径的圆,则|PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1.
故(|PQ|-|PR|)max=(|PF2|+1)-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=10(此时点P在双曲线左
支上).
答案:10
10.如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是.
解析:设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0). 因为B(0,b),
所以F1B所在的直线为-+=1.
双曲线渐近线为y=±x,
由
得Q(,).
由
得P(-,),
所以PQ的中点坐标为(,).
由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为(,).
直线F1B的斜率为k=,
所以PQ的垂直平分线为y-=-(x-).
令y=0,得x=+c,
所以M(+c,0),
所以|F2M|=.
由|MF2|=|F1F2|得
==2c,
即3a2=2c2,
所以e2=,
所以e=.
答案:
11.(2016成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.
解析:在方程x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=±3.
不妨设A(0,-3),B(0,3).
设所求双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0),
因为点A在双曲线上,
所以=1,即a2=9.
因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.
所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).
a2+b2=81,
所以b2=72.
此双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
12.(2015贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是.
解析:由题意可知,ON为△PF1F2的中位线,
所以PF1∥ON,
所以tan∠PF1F2=tan∠NOF2=k ON=,
所以
解得
又|PF2|-|PF1|=2a,
所以2b-2a=2a,b=2a,c==a,
e==.
答案:
13.(2016大连双基测试)已知离心率e=的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标
原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若
△AOF的面积为4,则a的值为.
解析:因为e==,
所以=,==,
设|AF|=m,则|OA|=2m,S△AOF=·m·2m=4,
所以m=2,由勾股定理,
得c==2,
又=,所以a=4.
答案:4
14.(2016日照模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为
.
解析:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),
代入双曲线方程得y0=±,
因为PQ⊥x轴,所以|PQ|=.
在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,
所以|F1F2|=|PF2|,即2c=·.
又因为c2=a2+b2,
所以b2=2a2或2a2=-3b2(舍去).
因为a>0,b>0,
所以=.
故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
能力提升练(时间:15分钟)
15.(2015开封摸底考试)从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为( C )
(A)|MO|-|MT|>b-a
(B)|MO|-|MT|<b-a
(C)|MO|-|MT|=b-a
(D)|MO|-|MT|与b-a无关
解析:设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,
由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a,①
因为OM是△FF1P的中位线,
所以|PF1|=2|OM|.②
又M是FP的中点,
所以|PF|=2|MF|.③
②③代入①得2|MF|-2|OM|=2a,
|MF|-|OM|=a.④
因为|MF|=|MT|+|TF|,
|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,
所以|FT|=b.
所以|MF|=|MT|+b.⑤
把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a,
所以|OM|-|MT|=b-a.故选C.
16.(2015高考重庆卷)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小
于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )
(A)(-1,0)∪(0,1)
(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(C)(-,0)∪(0,)
(D)(-∞,-)∪(,+∞)
解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B(c,),C(c,-),
k AB=,
因为CD⊥AB,
所以k CD=,
所以直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得x D=+c,点D到直线BC的距离为c-x D,
所以<a+=a+c,
b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2, ()2<1,
又该双曲线的渐近线的斜率为或-,
所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
故选A.
17.如图,已知双曲线-=1(a>0,b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α(α∈[,]),则双曲线的离心率e的取值范围
为.
解析:设左焦点为F′,令|AF|=r1,
|AF′|=r2,则|BF|=|F′A|=r2,
所以r2-r1=2a,
因为点A关于原点O的对称点为B,AF⊥BF,
所以|OA|=|OB|=|OF|=c,
所以+=4c2,
所以r1r2=2(c2-a2),
因为S△ABF=2S△AOF,
所以r1r2=2·c2sin 2α,
所以r1r2=2c2sin 2α,
所以c2sin 2α=c2-a2,
所以e2=,
因为α∈[,],所以sin 2α∈[,],
所以e2=∈[2,(+1)2],
所以e∈[,+1].
答案:[,+1]
精彩5分钟
1.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( A )
(A)y=±x (B)y=±x
(C)y=±x (D)y=±x
解题关键:数形结合求出a,c的关系.
解析:如图所示,连接OA,OB,
设双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),
则C(-a,0),F(-c,0).
由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,
则∠ACO=∠BCO=∠ACB=×120°=60°.
因为|OA|=|OC|=a,
所以△ACO为等边三角形,
所以∠AOC=60°.
因为FA与圆O切于点A,所以OA⊥FA,
在Rt△AOF中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,
所以|OF|=2|OA|,即c=2a,
所以b===a,
故双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为
y=±x,即y=±x.故选A.
2.若双曲线-=1(a>0,b>0)上存在点P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中点O 为坐标原点),则该双曲线的离心率的取值范围是.
解题关键:设出点P坐标,建立关于a,b的关系式,再利用|OP|2≥a2即可求解.
解析:设P(x0,y0),则以|OP|为边长的正方形的面积S=|OP|2=+=2ab,又+≥a2,所以2ab≥a2,则≥,故e2=1+()2≥,所以e∈[,+∞).
答案:[,+∞)。