2018版高考数学二轮复习 大题规范练7“20题、21题”24分练 理

大题规范练(七) “20题、21题”24分练
(时间：30分钟 分值：24分)
解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax －
4f
x
(a ∈R )的图象在x ＝2处的切线经过点(－4,2ln
2)．
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若不等式2x ln x
1－x 2＞mx －1恒成立，求实数m 的取值范围．
[解] (1)由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋
4f
x 2
，x ＞0，
∴f ′(2)＝1＋a ＋f ′(2)，∴a ＝－1，
∴f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y －f (2)＝f ′(2)(x －2)， 即y ＝f ′(2)x ＋2ln 2－2－4f ′(2)，
∵点(－4,2ln 2)在该切线上，∴f ′(2)＝－1
4，
∴f ′(x )＝2x －1－1x 2＝－x －
2
x
2
≤0，
∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)由题意知x ＞0，且x ≠1，
原不等式2x ln x 1－x 2＞mx －1等价于11－x 2(2ln x －x ＋1x )＞m .
设g (x )＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x ＋1x ＝1
1－x 2f (x )， 由(1)得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，
∴当0＜x ＜1时，f (x )＞0，g (x )＞0；当x ＞1时，f (x )＜0，g (x )＞0， ∴在(0，＋∞)上，g (x )＞0恒成立． 假设存在正数b ，使得g (x )＞b ＞0，
若0＜b ≤1，当x ＞1b 时，g (x )＝2ln x 1－x 2＋1x ＜1
x ＜b ；
若b ＞1，当1b ＜x ＜1时，g (x )＝2ln x 1－x 2＋1x ＜1
x
＜b .
∴不存在这样的正数b ，使得g (x )＞b ＞0，∴g (x )的值域为(0，＋∞)， ∴m 的取值范围为(－∞，0]．
21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C
的左、右顶点)，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4 3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于D ，求当三角形ADB 的面积最大时，直线l 的方程．
[解] (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×1
2ab ＝43，得ab ＝2 3.
延长F 2Q 交直线F 1P 于点R (图略)，因为F 2Q 为∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，所以|PF 2|＝|PR |，Q 为F 2R 的中点，
所以|OQ |＝|F 1R |2＝|F 1P |＋|PR |2＝|F 1P |＋|PF 2|
2＝a ，
所以a ＝2，b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)将直线l 和椭圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋4，x 24＋y
2
3
＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2
＋24my ＋36＝
0，所以Δ＝(24m )2
－4×36(3m 2
＋4)＝144(m 2
－4)＞0，即m 2
＞4.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则A ′(x 1
，－y 1
)，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧
y 1
＋y 2
＝－24m
3m 2
＋4
，y 1y 2
＝36
3m 2
＋4，
直线A ′B 的斜率k ＝
y 2－－y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1
x 2－x 1
，
所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1
x 2－x 1
(x －x 1)， 令y ＝0得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝
my 1＋
y 2＋y 1my 2＋y 1＋y 2
＝2my 1y 2＋
y 1＋y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2
y 1＋y 2
＋
4，
故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝
3
1＋m
2
，所以S △ADB ＝12|AB |d ＝32y 1＋y 2
2
－4y 1y 2＝18·m 2－4
3m 2＋4
.
令t ＝m 2
－4(t ＞0)，则S △ADB ＝18·t
3t 2＋16
＝
18
3t ＋16t
≤1823×16＝334，当且仅当3t
＝16
t
，即t2＝
16
3
＝m2－4，即m2＝
28
3
＞4，m＝±
221
3
时，三角形ADB的面积最大，
所以直线l的方程为3x＋221y－12＝0或3x－221y－12＝0.。