回眸2006年高考客观题的亮点

A
D C B
回眸2006年高考客观题的亮点
江苏省苏州市木渎第二中学 丁勇 215101
今年全国各地高考的数学客观题，许多题目设计新颖，构思巧妙，耐人寻味。

它们并不是以知识为中心，而是以问题为中心；它们并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体；它们突出对数学思想的考查，体现了以能力立意的指导思想。

回眸2006年高考客观题的亮点，的确令人赏心悦目，下面结合高考试题进行说明，用以抛砖引玉，期望对读者能有启发和帮助。

1 、（江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，
可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD
与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个
[分析]将立体几何问题转化为平面几何问题来解决。

因为正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．
均在正方体的面上，关键是考虑底面ABCD 的位置，即在边长为1的正方形内可以画出多少个正方形ABCD ，显然可以画出无穷多个正方形ABCD ，故选择（D ）
2、（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信
号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接
收到信号。

若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，
将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中
每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到
信号的概率是 （A ）454 （B ）36
1 （C ）154 （D ）158 [分析] 合理的运用乘法原理，抓住特征进行分组和连接。

首先计算总的连接方法数，从信号源左端点与五个接收器的左端点某一个连接有5种不同连接方法，剩余四个接收器两两连接有3种不同的连接方法，所以左端的连接方法总数为5⨯3=15，同理右端的连接方法总数也为5⨯3=15；故总的连接方法数为15⨯15=225；再计算这五个接收器能同时接收到信号的总的连接方法数，先将左端连接好，有5⨯3=15种方法，再连接右端，此时信号源的右端不能与信号源左端已经连接好的那个接收器的右端相连，只能与剩余四个接收器的某个右端相连，只有4种连接方法，而剩余四个接收器右端符合题意的连接数只有2种，因此右端连接方法数为4⨯2=8，那么这五个接收器能同时接收到信号的连接方法数为5⨯3⨯4⨯2=120，故所求概率是
120822515= 3、（广东卷）在德国不来梅举行的第48届世
乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成
若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只
有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第
…
一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）.
[分析] 本题是典型的数列问题，依题意直接进行分析。

根据题意可知第n 堆的乒乓球总数等于从第1堆开始到第n 堆每堆最底层球数总和。

易观察出=)3(f 10。

而每堆最底层球数又满足2(1)1123()22
n n n a n n n +=++++==+所以222121()[(12)(12)]2
1(1)(21)(1)(1)(2)[]2626n f n a a a n n n n n n n n n n =+++=++++++++++++=+=
4、（浙江卷）函数f:|1,2,3|→|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
[分析]利用数形结合来解决。

要使f(f(x))= f(x)，即经过两次映射后函数值不变，如图所示：
1种 6
种
3种
故有10个这样的函数。

5、（全国卷I ）用长度分别为
2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
A ．2 B
．2 C ．2
D ．220cm [分析]利用思维想象来解决问题。

我们知道同周长的三角形和圆，圆的面积较大。

要使三角形面积最大,只要让它趋向于圆，故使三边长尽量接近，所以三边分别取6、7、7，其面积为2.
6、（全国卷II ）函数19
1()n f x x n ==-∑的最小值为
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45
[分析] 根据函数的结构特征，利用思维直觉估算来求解。

要使19
1()n f x x n ==-∑最小,
考虑到0x n
-≥
,n 为连续正自然数,因此在x n -中要有一个
为0,其余恰为1~9.因此最小值为0+(1+2+3+
+9)×2=90.
7、（福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距 离”：
2121.AB x x y y =-+-，给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB +=
②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB += ③在ABC ∆中，.AC CB AB +>
其中真命题的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
[分析] 解决问题的关键是抓住定义，将文字、符号、语言相互转译。

新定义实际就是两点间的距离=“横向距离”+“纵向纵向”。

看三个命题可考虑用数形结合的方法进行排除。

① 如图，三点在同一直线上时 11AC AC CC =+，22CB CC BC =+
12()(AB AD BD AC CD BC =+=+++② 如图，直角顶点在原点.
则AC CB AB +=显然结论不成立.
③如②图在ABC ∆中AC CB AB +=成立. 故答案选（B ）.
8、（福建卷）如图，连结ABC ∆111,A B C ∆又连 结111A B C ∆的各边中点得到2A ∆限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，11A B C ∆...，这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知
(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M [分析] 标，因此应跳出常规思维的圈子，从点M 行定性地合情推理，方能准确、迅速地判断答案。

由于11,B C 为AC 、AB 中点，因此11B C ∥BC 。

又12,A A 分别为11B C 、BC 中点，所以12,,A A A 在同一直线上。

同理12,,B B B 在同一直线上。

依次类推，这一系列三角形趋向于一个点M ，就是ABC ∆的重心。

故M 坐标为52(,)33。

9、（湖南卷理）如图,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不 A B C 2C
D
含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ;
当12
x =-时,y 的取值范围是 . [分析] 利用分析法进行逻辑推理。

点P 在由射线OM 、
线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界显然有12OP OB OM λλ=+，其中1201,0λλ<<>， 又有OM ∥AB ，故有12OP OB AB λλ=+12()OB OB OA λλ=+-122()OB OA λλλ=+- 又由OP xOA yOB =+知2120,x y λλλ=-<=+
当12x =-时212λ=，故112y λ=+13(,)22
∈。

注意P 点所在区域，把OP 分解时所对应的系数12,λλ的范围。

10、（四川理）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈ (2)存在,e G ∈都有,a e e a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算： ① G ＝｛非负整数｝， ⊕为整数的加法。

② G ＝｛偶数｝， ⊕为整数的乘法。

③ G ＝｛平面向量｝， ⊕为平面向量的加法。

④ G ＝｛二次三项式｝， ⊕为多项式的加法。

⑤ G ＝｛虚数｝， ⊕为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________。

（写出所有“融洽集”的序号）
[分析] 利用已知信息进行迁移。

条件（1）说明经过⊕的运算后集合的封闭性，条件(2)说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以说明）。

在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为整数集中的0.
在②中，要满足,a e e a a ⊕=⊕=则e =1显然e G ∉
在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为0.
在④中，两个二次三项式相加仍然是二次三项式，但此时的0e =,不是二次三项式. 在⑤中，1i i ⊕=-为实数.
故选①②.
11、（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口
,,A B C 的机动车辆数如图所示，
图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数
（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入
与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50
（A ）123x x x >>（B ）132x x x >>
（C ）231x x x >>（D ）321x x x >>
O M P B
[分析] 利用方程和递推的思想方法求解。

设150x a =+（其中a 表示A 处3x 朝B 处分流出来的机动车辆数）则由图可知
21(20)3060x x a =-+=+，32(35)3055x x a =-+=+，故答案选（C ）.
12、（湖北卷）关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假．
命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[分析] 利用换元、分类讨论、数形结合等数学思想方法来化解问题。

令2
x t =，研究方程解的个数等价于看函数2()(1)f t t =-和()1g t t k =--的交点个数，如图为函数()f t 和()g t （0k =）的图象
（1） 当0k =时，两图象有3个交点，对应的t 分别
为0，1，3，此时x 有5解。

（2） 将图象中()g t 的图象向上平移，两图象有2
120,0t t <>，此时x 有2解。

（3）将图象中()g t 的图象向下平移到与()f t 两图象有2个交点，1201,12t t <<<<，此时x 有4解。

（4） 将图象中()g t 的图象平移到（1）、（3）之间时，两图象有4个交点，
123401,12t t t t <<<<<<，此时x 有8解。

故答案选（A ）
总之，对于立意新颖的客观题要注意从三方面入手：一是提高数学阅读能力。

要仔细阅读数学材料，理解数学问题所涉及的材料、信息、知识及相互关系，善于揭示问题的实质，便于进行分析和推断。

二是要注意跳出传统推理的思维定势，学会数学的合情推理判断。

善于用一些非常规的数学方法如构造图形、举特例等方法提高解决问题的能力。

三是要熟练地进行数学图形、符号、文字三种语言之间的相互转换，深刻理解数学知识内在的本质属性，注意观察、分析题目的结构特征，挖掘题目中的每一条信息，筛选出关键或有用的信息，找准解题的切入点。