人教版七年级下数学下实际问题与一元一次不等式教案教学设计教学案课时作业同步练习试卷含试题答案解析

9.2实际问题与一元一次不等式
【目标导航】
1．会从实际问题中抽象出数学模型．
2．会用一元一次不等式解决实际问题，增强学数学用数学的意识．
【预习引领】
1．三个连续奇数的和小于15，写出一个符合条件的奇数组．
答案：1、3、5
2．一本科技书有300页，小华计划10天内读完，前5天因各种原因只读100页，则从第6天起，每天小华至少要读页．
答案：40
3．李乡长要到离家5千米的乡政府去开会，若他在6时出发，计划在8时前赶到，那么他每小时至少需要走千米．
答案：2.5
4．小明准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，他买了2个笔记本，请你帮他算一算，他还可以买几支笔？
【解】设她还可以买x支笔．则
2×2.2+3x≤21，
解得3x≤16.6，
x≤5.53
答：她最多还可以买5支笔．
【要点梳理】
列不等式解应用题的一般步骤：
⑴弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示未知数；
⑵找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；
⑶根据这个不等关系，列出需要的代数式，从而列出不等式；
⑷解这个不等式，求出解集；
⑸检验所求出的解集是否正确，是否符合实际情况，并写出答案．
【探究】甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90％收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95％收费，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
分析：
甲商店优惠方案的起点为购物款达元，
乙商店优惠方案的起点为购物款达元，
由此我们根据甲、乙两商店优惠条件的起点，分三种情况考虑问题，
⑴如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？
⑵如果累计购物超过50元而不超过100元，则在哪家商店购物花费小？为什么？
⑶如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？
【解】甲商店优惠方案的起点为购物款达100元，乙商店优惠方案的起点为购物款达50元.
⑴如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；
（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。

（3）设累计购物x元（x＞100），如果在在甲商场购物花费小，
则500.95(50)1000.9(100)x x +->+-.
解得150x >.
这就是说，累计购物超过150元时在甲商场购物花费小.
【例1】2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55％，如果到2008年这样的比值要超过70％，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？
【解】设2008年空气质量良好的天数要比2002年增加x 天.
2002年有365×0.55天空气质量良好，
2008年有(3650.55)x +⨯天空气质量良好，并且
%70366
55.0365>⨯+x .解得55.45x >.由x 应为正整数，得56x ≥.
答：2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加56天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70％.
【例2】 海口市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破100亿，2005年
现在买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元，问最多可购买羽绒被多少条？
【解】设购买羽绒被x 条，则购买羊毛被（80-x ）条．
根据题意，得
415x+150（80-x ）≤20000．
整理，得265x ≤8000．
解之得x ≤103053
． ∵x 为整数
∴x 的最大整数值为30．
答：最多可购买羽绒被30条．
【例3】商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的 110），问商场至少打几折，消费者购买才合算？（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）
【解】设商场将A 型冰箱打x 折出售，消费者购买才合算，
依题意得2190×10
x +365×10×1×0.4≤2190×（1+10%）+365×10×0.55×0.4， 即219x+1460≤2409+803，
解这个不等式得，x ≤8，
答：商场应将A 型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算．
【例4】某超市计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现：如果月初出售可获利15%，并把本利再投资其他商品，到月末又可获利10%，如果月末出售可获利30%．但要付出仓储费用700元．请问：根据超市的资金状况，如何购销获利较多？
【解】设商场投入资金x 元，第一种投资情况下，获总利用y 1元表示．第2种投资情况下获总利用y 2元表示．
由题意得：y1=x（1+15%）（1+10%）-x
y1=0.265x．
y2=x（1+30%）-x-700
y2=0.3x-700
（1）当y1＞y2时，0.265x＞0.3x-700，x＜2000；
（2）当y1=y2时，0.265x=0.3x-700，x=2000；
（3）当y1＜y2时，0.265x＜0.3x-700，x＞2000．
答：（1）当投资超过2000元时，选择第二种投资方式；
（2）当投资为2000元时，两种选择都行；
（3）当投资在2000元内时，选择第一种投资方式．
【课堂操练】
1、王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分打九折优惠，那么她在甲商场购物多少元就比在乙商场购物优惠？
【解】设她在甲商场购x元（x＞100）就比在乙商场购物优惠，
根据题意得100+0.8（x-100）＜50+0.9（x-50）
解得x＞150
答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠．
2、某商店进了100台彩电，每台进价为2000元，进货后市场情况较好，以每台2200元的零售价销售，过了不长时间就销售了40台，后来出现滞销，年底将到，商场为了减少库存加快流通，决定对剩下的60台打折促销，问在零售价每台2200元的基础上打几折，商场才能使100台彩电全部销售的总利润不低于4％？（结果保留一位小数）
【解】设余下的60台打x折，由题意得
，
2200×40＋2200×6x≥2000×104，
22×40＋22×6x≥20×104，
132x≥1200，
所以x≥9．
答：最低打9折，商场才能使100台彩电全部销售的总利润不低于4%．
3、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问过教师节的教师，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元，试问：当购买量在什么范围内时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
【解】设购买数为x.甲方案价钱为y甲；乙为y乙.则y甲=9x（x≥3000），y乙=8x+5000（x≥3000）．
（2）当y甲= y乙时，即9x=8x+5000，
解得x=5000．
∴当x=5000千克时，两种付款一样．
当y甲＜y乙时，有
x 30009x 8x 5000≥⎧⎨+⎩＜
解得3000≤x ＜5000． ∴当3000≤x ＜5000时，选择甲种方案付款少．当y 甲＞y 乙时，有x ＞5000，
∴当x ＞5000千克时，选择乙种方案付款少．
【课后巩固】
1、老王家上个月付电话费31元以上，其月租费21元，已知市内通话不超过3分钟时，每次话费0.18元，如果老王家上个月打的全部是市内电话且都不超过3分钟，那么老王家上个月通话次数最少是（ ）
A 55次
B 56次
C 57次
D 58次
答案：B
2、初三的几位同学拍了一张合影留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A 至多6人
B 至少6人
C 至多5人
D 至少5人
答案：B
已知该班共有28人获奖，其中只获得两项奖励的共有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为 （ ）
A 3项
B 4项
C 5项
D 6项
答案：B
4、张红家离学校1600米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15分钟就上课了，忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用去了3分钟，只好坐小汽车去上学，小汽车的速度是36千米/时，小汽车行驶了1分30秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：张红步行速度至少是（ ）时才不止于迟到．
A 60米/分
B 70米/分
C 80米/分
D 90米/分
答案：B
5、某超市为了促销，每购满50元的商品给1张优惠券，小李某天在这家超市购买文化用品，她买了圆珠笔20枝，每枝0.50元；作业本30本，每本0.60元，1个书包18元，还需购买几袋单价为0.70元的改正纸，才能得到1张优惠券？
【解】设还需购买x 袋单价为0.70元的改正纸，才能得到1张优惠券.则
0.520300.61180.750x ⨯+⨯+⨯+≥
解得：407
x ≥.由于x 是正整数.所以6x ≥. 答：还需购买6袋单价为0.70元的改正纸，才能得到1张优惠券.
6、有人问一位老师：他所教的七年级（17）班有多少学生，老师说：“二分之一的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场玩篮球”．你知道这个班一共有多少名学生吗？
【解】设这个班的学生最多共有x人，依题意得：
x-1
2
x-
1
4
x-
1
7
x＜6
解之得：x＜56
又∵x为2、4、7的公倍数，
∴这个班的学生最多共有28人．
7、某公司要招甲、乙两种工作人员30人，甲种工作人员月薪为600元，乙种工作人员月薪为1000元，现要求每月所付的工资不能超过2.2万元，问至多可招乙种工作人员多少名？
【解】设招聘甲种工种的工人为x人，则招聘乙种工种的工人为（30-x）人，依题意得：
600x+1000（30-x）≤22000
解得：x≥20.即30-x≤10.
答：至多可招乙种工作人员10名．
8、小王家里装修，他去商店买灯炮，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知这两种灯泡的照明效果和使用寿命都一样，已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当两种灯炮的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算？（用电量（度）=功率（千瓦）×时间（时）
【解】设使用寿命为x小时，选择节能灯才合算，依题意得
2+0.5×100
1000
x＞32+0.5×
40
1000
x
解得x＞1000．
答：当这两种灯的使用寿命超过1000小时的时侯，小王选择节能灯才合算．
9、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种业务使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种业务使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话为x分钟，则根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
【解】由题意，通话x分钟甲种业务费用为（0.3x+15）元，乙种业务费用为0.6x元，
由0.3x+15＜0.6x，解得x＞50；
由0.3x+15=0.6x，解得x=50；
由0.3x+15＞0.6x，解得x＜50．
∴当x＞50分钟时，甲种业务更优惠；当x=50分钟时，两种业务一样优惠；当x＜50分钟，乙种业务更优惠．
10、在一次射击比赛中，某运动员前6次射击共中52环，如果他在10次射击中要打破89环的记录，那么他第7次射击不能少于
多少环？
【解】设他第7次射击的成绩为x环，得：
52+x+30＞89
解得x＞7
由于x是正整数且大于7，得：
x≥8
答：运动员第7次射击不能少于8环
11、甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
【解】（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元，
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元；
（2）①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
②当0.8x+60＞0.85x+30时，
解得x＜600，而x＞300，
∴300＜x＜600．
即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，
即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
【课外拓展】
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处
理污水量及年消耗费如下表：
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2 040吨，为了节约资金，
应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，
污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年
节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
【解】（1）设购买污水处理设备A型x台，
则B型（10-x）台．
12x+10（10-x）≤105，
解得x≤2.5．（3分）
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．
有三种购买方案：购A型0台、B型10台；
A型1台，B型9台；
A型2台，B型8台．
（2）240x+200（10-x）≥2040，
解得x≥1，
所以x为1或2．（6分）
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元），
所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
102+10×10=202（万元），
若将污水排到污水厂处理：
2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．
节约资金：244.8-202=42.8（万元）．。