北师大版必修5高中数学第三章大体不等式word教案2

§大体不等式
2
a b
ab +≤
教学目标：
一、知识与技术目标：（1）掌握大体不等式2
a b
ab +≤
,熟悉其运算结构； （2）了解大体不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用大体不等式求简单的最值。

二、进程与方式目标：（1）经历由几何图形抽象出大体不等式的进程；
（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的进展进程,学会用数学的目光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解大体不等式。

教学难点：利用大体不等式2
a b
ab +≤求最值的前提条件。

教学进程：
一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图
引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系取得勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探讨——探讨赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会取得如何的不等式？
引导学生从面积关系取得不等式：a 2+b 2
≥ 2ab ，当直角三角形变成等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有22
2a b ab +=
（2）总结结论：一般的，若是)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （3）推理证明：作差法 二、教学新课
重要不等式：若是a 、b ∈R ，那么a 2
＋b 2
≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）
1.a b 去替换22
2a b ab +≥中的a ,b 能取得什么结论？a ,b 要知足什
么条件？ ab 2
a b
+(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。

2.推理证明：作差法
说明：1）咱们称
a ＋b
2
为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因此，
此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a 2
＋b 2
≥2ab 和
a ＋b
2
≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而
后者要求a ，b 都是正数.
3）“当且仅当”的含义：
当b a =时，等号成立，其含义是：若是b a =那么ab b
a =+2
仅当b a =时，等号成立，其含义是：若是ab b
a =+2
那么b a = 综合起来：其含义是：b a =等价于
ab b
a =+2
4）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 问：a ，b ∈R －
？ 3.(1)探讨:(讲义P88)
如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

引导学生发觉：
2a b
+ab CD,取得ab ≤2
a b
+(0,0>>b a )
几何意义：半弦长不大于半径长。

ab ,a b 的几何平均数，称2
a b
+为正数,a b 的算术平均数。

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解
例1：设b a ,为正数，证明不等式：b
a a
b 112+≥
证法（1）由0,0>>b a 知
ab ab
ab b a ab b
a =≤+=
+222112 故：b
a a
b 112
+≥
证法（2）由0,0>>b a 知b
a a
b ab b a b a b a 112121
1112
11+≥⇒≥+
⇒
⋅≥+ 证法（3）（几何解析 数形结合）
AB 是圆O 的直径，b CB a AC ==,，过C 作 AB CD ⊥交圆O 上半圆于点D ，过点C 作 OD CE ⊥交OD 于点E
在OCD Rt ∆中，由射影定理知OD DE DC ⋅=2
即：b
a b a ab OD
DC DE 112
22+
=+== 由于DE DC ≥得b
a a
b 1
12+≥
，当且仅当b a =时，等号成立
结论：22112
2
2b a b a ab b
a +≤
+≤≤+ 2)2(b a ab +≤ 222b a ab +≤ 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。

变：若1
02
x <<
，求(12)y x x =-的最大值。

设计用意：发觉运算结构，应用大体不等式求最值，把握大体不等式成立的前提条件
O
E
D
c
B
A
四、课时小结
1.知识要点：（1）大体不等式的条件及结构特征
（2）大体不等式在几何、代数两方面的意义2．思想方式技能：（1）数形结合思想
（2）换元法、作差法
（3）配凑等技能
五、作业。