上海市大同中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(含解析)

2023学年第二学期5月学情调研高一数学
90分钟 满分100分
班级__________姓名___________学号_________
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
1.设是等差数列，且，，则的通项公式为__________.
2.已知数列中，，，则数列的前9项和等于__________.
3.数列中，，，为的前项和.若，则__________.
4.已知数列是等比数列，且，则的值为_________.
5.已知数列的前项和满足，则其通项公式为__________.
6.已知向量，，且向量与共线，则实数_______.
7.数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______.
8.等差数列的前项和为，，，则
______.9.在平面直角坐标系中，已知，，C ，D 为y 轴上两个动点，且，则的最
小值为________.
10.已知是等比数列，，，则
____________.
11.已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内
的项的个数，则数列的前100项的和为_____________.12.已知集合
，.将的所有元素从小到大依次排列构
成一个数列.记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为____________.
二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）
13.已知方程的两虚根为，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
D.，14.在
复数运算中下列三
个式子是正确的：（1），（2），（3）
{}n a 13a =2536a a +={}n a {}n a 11a =()11
22
n n a a n -=+
≥{}n a {}n a 12a =12n n a a +=n S {}n a n 126n S =n ={}n a 353a a +=2
244462a a a a a ++{}n a n n S 21n n S =-()1,2a = ()3,4b = a b + 2ka b -
k ={}n a n n S n 12,5
2,5
n n n a n a a n +<⎧=⎨
-≥⎩20S ={}n a n n S 33a =410S =11
n
k k
S ==∑()2,0A ()1,0B -2CD =AC BD ⋅
{}n a 22a =51
4
a =1
1
i i i a a
+∞
+==∑{}n a n n S ()*341n
n S a n =-∈N m b {}n a (]()*0,m m ∈N {}m b {}*21,A x x n n ==-∈N {}
*2,n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 2
10x px -+=1x 2x 121x x -=p 1212z z z z +≤+1212z z z z ⋅=⋅
；相应的在向量运算中，下列式子：（1），
（2），（3）；正确的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
15.若，则在中，正数的个数是（ ）A.16
B.72
C.86
D.100
16.设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“数列”；②若是首项为正数、公比为的等比数列，则，是
为“数列”的充要条件.下列判断正确的是（
）
A.①和②都为真命题
B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题
D.①和②都为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.
在中，角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，其中，，.（1）求的值；（2）求的值.
18.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分.已知复数，（，为虚数单位）.（1）若为实数，求；
（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求.
19.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费为2万元，以后每一年的燃油费都比前一年增加0.2万元.现购买一辆该型号的汽车，解答以下问题：
（1）若每年养护保险费均为1万元.设年后支出的总费用为万元，求的表达式；
（2）由于部件老化和事故多发，前6年中，每年养护保险费均为1万元，从第7年起，每年的养护保险费都比前一年增加10%.设使用n 年后的年平均支出费用为，当时，最小.请列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）.
20.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.
()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅a b a b +≤+ a b a b ⋅=⋅
()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
()*2ππsin sin sin 777
πn n S n =++⋅⋅⋅+∈N 12100,,,S S S ⋅⋅⋅{}n a n n S *
n ∈N 1n n S a +<{}n a K {}n a K {}n a q [)2,q ∈+∞{}n a K A B C △4a =6c =1
cos 8
C =sin A b 112i z =+22i z b =+b ∈R i 12z z ⋅2z 1z 2z 1Z 2Z O 12OZ OZ ⊥
2z n n S n S n c 0n n =n c 6n >n c 0n 0n
已知数列满足，（，）.又数列满
足.（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列是严格增数列，求的取值范围.
21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
已知以为首项的数列满足：.
（1）当时，且，写出，；（2）若数列
是公差为-1的等差数列，求的取值范围；
（3）记为的前项和，当时.①给定常数，求的最小值；
②对于数列，当取到最小值时，是否唯一存在满足
的数列
请说明理由.
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
1.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.
2.【答案】27
【解析】∵时，，且∴是以为首项，为公差的等差数列∴.3.【答案】6
{}n a 11,2a a a a ⎛
⎫=∈≠- ⎪⎝⎭
R ()11121n n a a n n n -=+++n ∈N 2n ≥{}n b 1
1
n n b a n =+
+{}n b {}n a a 1a {}n a ()*11n n a a n +=+∈N 11
3
a =-10n a -<<2a 3a {}()*
110,n
a n n ≤≤∈N 1
a n S {}n a n 10a =()*
4,m
m m ≥∈N 1m S
-128,,,a a a ⋅⋅⋅8S ()*21126,j j a a j j +-=+≤≤∈N {}n a 63
n a n =-13a =33436d d +++=6d =()36163n a n n =+-=-2n ≥112n n a a -=+2112
a a =+{}n a 1a 1
2
9981
919182722
S ⨯=⨯+⨯=+=
【解析】∵，，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴.
4.9
【详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，
所以.5.6.【答案】-2
【详解】因为向量，，
所以向量与，因为向量与共线
所以，解得.故答案为：-2.7.【答案】31
【详解】由题意数列的前5项构成首项为1，公比为2的等比数列，
若从第5项起的数构成一个新的数列，则它的首项为，公差为-2，所以由题意.
故答案为：31.8.【答案】【解析】
试题分析：设等差数列的首项为，公差为，
由题意有：，解得，数列的前项和，裂项有：
，据此：12a =102n a a -={}n a ()21212612
n n S -==-264n
=6n =2243a a a =2435a a a =2
465
a a a =()2
222
2444633553522a a a a a a a a a a a ++=++=+353a a +=22444629a a a a a ++=12n n a -=()1,2a =
()3,4b = ()4,6a b += ()26,28ka b k k -=-- a b + 2ka b -
()()66428k k -=-2k =-54216a a ==()()()
20161614124816141615215312
S ⨯-=++++++⋅⋅⋅+-⨯=+=⎡⎤⎣⎦21
n n +1a d 112343
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩111a d =⎧⎨=⎩n ()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=()121
1211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
.9.【答案】-3【解析】
【分析】设C ，D 的坐标，利用向量的坐标运算求解.【详解】设，
1.若，则，，
可得，
当时，取到最小值-3；
2.若，则，，
可得，
当时，取到最小值-3；综上所述：取到最小值-3.
故答案为：-3.
10.设等比数列的公比为，由解得所以，于是.
因为
，所以数列是以8为首项、以为公比的等比数列.
因此
.11.319
【详解】，，则当时，，于是得，即，而，即，因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，
，
1111111122121223111n
k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()0,C a ()0,2D a +()2,AC a =- ()1,2BD a =+
()()22
222213AC BD a a a a a ⋅=-++=+-=+- 1a =-AC BD ⋅
()0,2D a -()2,AC a =- ()1,2BD a =-
()()22
222213AC BD a a a a a ⋅=-+-=--=-- 1a =AC BD ⋅
AC BD ⋅
{}n a q 1412,1,4a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩14,1
. 2
a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩1
3
1
111422n n n n a a q
---⎛⎫
⎛⎫==⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
3
2
111132224n n n
n n a a --+⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
()111
24n n n n a a n a a +-=≥{}1n n a a +14
11
8321
3
14
i i i a a +∞
+==
=
-∑*
n ∈N 341n n S a =-2n ≥11341n n S a --=-1344n n n a a a -=-14n n a a -=1113341a S a ==-11a ={}n a 14n n a -=
因为数列在区间
内的项的个数，则有，
，
，，
所以数列的前100项的和为1×3+2×12+3×48+4×37=319.12.【答案】27【解析】设，
则，
由得，，，，所以只需研
究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.
由，，∴，，
得满足条件的最小值为27.
二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）
13.A 14.B 15.C
16.C 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数，则有，即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列:为“数列”，则有，
m b {}n a (]()*0,m m ∈N 1231b b b ===45152b b b ==⋅⋅⋅==1617633b b b ==⋅⋅⋅==64651004b b b ==⋅⋅⋅=={}m b 2k n a =()()(
)1
221122122
1222k k
n S -⎡⎤⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+⎣
⎦⎣
⎦()
()11221212212122222
12
k k k k k ---++⨯--=
+
=+--112n n S a +>()22
12
221221k k k -++->+()()2
112202140k k ---->1522k -≥6k
≥5622n a <<()()()252512112212122222n
S m m +⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
121n a m +=+m 16m >()251221221m m ++->+2
24500m m -+>22m ≥527n m =+≥n {}n a d 0d ≤1112S a a d a =≥+=0d >()()21111113222n n n n d S a na d a nd n d a n a +-⎛⎫
-=+
-+=--- ⎪⎝⎭
()211322d f x x d a x a ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
132a x d =-1
032a x d
>
-()00f x >0x n ()0f n >1n n S a +>{}n a 10a >{}n a K 1121a S a a q =<=
即，，，
于是
，依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，
因此，所以是为“数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选:C
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17.解答：（1）在中，
由正弦定理，得
（2）在中，由余弦定理，有，代入数值得，解得.
18.解（1）.
由为实数，得，解得，故.
（2）由题意，，，且.
于是，解得，故.
19.解答：设第年的燃油费为万元，有.（1）.（2）设第年的养护保险费为万元，有当时，使用年后的总养护保险费为.
由（1），使用年后的总支出费用为.
1q >()111n n a q S q
-=
-11n n a a q +=()1111121021n n n n n
a q a q q q q q
q +-<⇔-+>⇔-<
-*
n ∈N 12n q q -<1x
y q ⎛⎫= ⎪⎝⎭1x ≥[)1,+∞10,q ⎛⎤ ⎥⎝⎦
202q q -≤⇔≥[)2,q ∈+∞{}n a K A B C △sin C =
sin sin a C A c =
=A B C △2
222cos c b a ab C =+-2200b b --=5b
=()()()()12
12i 2i 224i z z b b b ⋅=+-=++-12z z ⋅40b -=4b =224i z =+()11,2OZ = ()22,OZ b = 120OZ OZ ⋅=
220b +=1b =-22i z =-n n a ()20.21n a n =+-()
2121202020.20.1 2.9202
n n n n S a a a n n n n n -=+++⋅⋅⋅++=++⨯
+=++n n b 6
1,16
1.1,7.
n n n b n -≤≤⎧=⎨
≥⎩7n ≥n ()661.11.11611 1.151.11
n n ---+=⨯--n 2
60.1 1.915111.1n n
n -+++⨯
故，利用计算器可得.20.解答：（1）当时，，即，亦即.又，故，所以数列是等比数列.（2）由（1），，即，.由题意，对任意的正整数成立，对任意的正整数成立.因为数列严格增，且对任意的正整数成立，所以，又，因此的取值范围是.
21.解答：（1），因为，所以.同理，可求得.（2）由题意，当时，，此时，当时，，符合题意.于是，当时，，即.对于数列，有，由，可得.因此，的取值范围为.（3）①由，得.
，将代入上式，并化简得.由于，当为奇数时，的最小值为，此时.6
15111.10.1 1.9n n c n n n
-⨯=++
+012n =2n ≥()1111212211
n n n a a a n n n n n --=++=+-++11121n n a a n n -⎛
⎫+
=+ ⎪+⎝⎭12n n b b -=11
02
b a =+
≠0n b ≠{}n b 1122n n b a -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭111212n n a a n -⎛⎫+=+⋅ ⎪+⎝⎭111221n n a a n -⎛
⎫=+⋅- ⎪
+⎝⎭
1n n a a +>n ()()1
1
1
2
212
n a n n -+>-
++n ()()11212n n n -⎧⎫⎪⎪
-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭
()()1
10212n n n --<++n 102a +≥1
2a ≠-a 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
21213a a =+=10n a -<<22
3
a =-31
3
a =-
1,2,,9n =⋅⋅⋅111n n n n a a a a +-=+-=-1n a ≤-10n =10999111a a a a =+=--=-1,2,,9n =⋅⋅⋅()11n a a n =--()11n a a n =+-{}n a 129a a a <<⋅⋅⋅<91a ≤-19a ≤-1a (],9-∞-11m m a a -=+()2
2
2
111121m
m m m a a a a ---=+=++()222222
2312112121
m m m a a a a a a a a a m --++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-10a =()2
1112
m m S a m -=
-+2
0m a ≥m 1m S -12
m --
0m a =
当为偶数时，的最小值为，此时.②满足条件的数列存在，但不唯一.数列可以是0，-1，0，-1，0，-1，0，-1；0，1，-2，1，-2，1，-2，-1.
m 1m S -22
m --
2
1m a =128,,,a a a ⋅⋅⋅128,,,a a a ⋅⋅⋅。