高考数学提能测试题及答案(七) 2.4

高考数学提能测试题及答案
课时提能演练(七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知x ∈R,函数f(x)=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12)为偶函数,则m 的值是
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( ) (A)f(2)＜f(1)＜f(4) (B)f(1)＜f(2)＜f(4) (C)f(2)＜f(4)＜f(1) (D)f(4)＜f(2)＜f(1)
3.(2012·随州模拟)设二次函数f(x)=ax 2+bx+c ，如果f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，则f(x 1+x 2)等于( ) (A)b 2a -
(B)b a
- (C)c (D)2
4ac b 4a
-
4.(预测题)如图是二次函数f(x)=x 2-bx+a 的部分图象，则函数g(x)=lnx+f ′(x)的零点所在的区间是
( )
(A)(1，2) (B)(2，3) (C)(14，12) (D)(12
，1)
5.函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是
( )
(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]
(C)[-2,0] (D)[-3,0]
]恒成立,则a的最小值是6.(易错题)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,1
2
( )
(D)-3
(A)0 (B)2 (C)-5
2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2011·南京模拟)已知函数f(x)=4x2+kx-8在[-1,2]上具有单调性,则实数k 的取值范围是_________.
8.(2012·武汉模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在［a-1,2a］上的偶函数，则函数y=f(x)的最小值为_________.
9.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-25
,-4],则m的取值范围为
4
_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中的一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)
的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式,并作出其图象.
11.(2012·荆州模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a＞1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是［1,a］,求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈［1,a+1］,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围. 【探究创新】
(16分)已知直线AB过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B(1,-1)、C 两点.
(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S △OAD =S △OBC ?若存在, 请求出D 点坐标,若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.由已知f(-x)=f(x)⇒(m-2)x=0, 又x ∈R,∴m-2=0,得m=
2.
2.【解析】选A.依题意,函数f(x)=x 2+bx+c 的对称轴方程为 x=2,且f(x)在[2,+∞)上为增函数, 因为f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2＜3＜4, ∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4).
3.【解析】选C.∵f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2),
∴
12x x b
22a
+=-, 即x 1+x 2=- b a ,∴f(x 1+x 2)=f(-b a )=a(-b a )2+b ·(-b
a
)+c=c.
4.【解析】选D.由二次函数的图象知2a 0
b
0121b a 0
⎧⎪⎪⇒⎨⎪⎪-+=⎩＞＜＜
a 0
,1b 2⎧⎨
⎩
＞＜＜又f ′(x)=2x-b,∴g(x)=lnx+2x-b, 则g(12)=ln 12+2×12-b=ln 1
2+1-b,
∵ln 12＜0,1-b ＜0,∴g(1
2
)＜0,
g(1)=ln1+2-b=2-b＞0,
∴g(1)·g(1
2
)＜0,故选D.
5.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,
当a≠0时，需
a0
,
a3
1
2a
⎧
⎪
-
⎨
-≤-
⎪⎩
＜
解得-3≤a＜0,
综上可得-3≤a≤0.
【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为二次函数.
6.【解析】选C.方法一：设g(a)=ax+x2+1,
∵x∈(0,1
2
],∴g(a)为单调递增函数.
当x=1
2
时满足：
1 2a+1
4
+1≥0即可，解得a≥-5
2
.
方法二：由x2+ax+1≥0得a≥-(x+1
x )在(0,1
2
]上恒成立,
令g(x)=-(x+1
x ),则知g(x)在(0,1
2
]为增函数,
∴g(x)max=g(1
2)=-5
2
,∴a≥-5
2
.
【方法技巧】关于二元不等式恒成立问题的求解技巧：
(1)变换主元法：求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题，当正面思考较繁或难以入手时，我们可以变换主元，将问题转化为求解关于另一个变量的函数的最值或值域问题，从而求解.
(2)分离参数法：根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边，从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问题.
7.【解析】函数f(x)＝4x2+kx-8的对称轴为x=-k
8
,
依题意有：- k 8≤-1或-k 8
≥2,解得 k ≥8或k ≤-16. 答案：k ≥8或k ≤-16
8. 【解析】由条件可知，f(x)为偶函数，∴b=0,
又定义域为［a-1,2a ］，根据偶函数的定义，知2a=1-a,即a=13
,∴f(x)= 13
x 2+1. 又x ∈［22,33
-］,∴31
27
≥f(x)≥1. 答案：1
9.【解题指南】可作出函数y=(x-32
)2-25
4
的图象，数形结合求解. 【解析】y=x 2-3x-4=(x-32
)2-254
, 对称轴为x=32
,
当x=3
2时,y=-
254
, ∴m ≥3
2
,
而当x=3时,y=-4,∴m ≤3.
综上：32≤m ≤3.
答案：3
2
≤m ≤3
10.【解析】当x ≤-1时,设f(x)=x+b,则由0=-2+b,即 b=2,得f(x)=x+2;
当-1＜x ＜1时,设f(x)=ax 2+2,则由1=a(-1)2+2,即 a=-1,得f(x)=-x 2+2; 当x ≥1时,f(x)=-x+2.
故f(x)= 2x 2,x 12x ,1x 1,x 2,x 1+≤-⎧⎪
--⎨⎪-+≥⎩
＜＜其图象如图.
11.【解析】(1)∵f(x)=(x-a)2+5-a 2(a ＞1),
∴f(x)在［1,a ］上是减函数，又定义域和值域均为［1,a ］，∴()()
f 1a
,f a 1=⎧⎪⎨
=⎪⎩即22
12a 5a
a 2a 51
-+=⎧⎨-+=⎩，解得a=2. (2)若a ≥2,又x=a ∈［1,a+1］，且(a+1)-a ≤a-1, ∴f(x)max =f(1)=6-2a,f(x)min =f(a)=5-a 2.
∵对任意的x 1,x 2∈［1,a+1］,总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, ∴f(x)max -f(x)min ≤4,即(6-2a)-(5-a 2)≤4, 解得-1≤a ≤3, 又a ≥2,∴2≤a ≤3.
若1＜a ＜2,f(x)max =f(a+1)=6-a 2, f(x)min =f(a)=5-a 2,
f(x)max -f(x)min ≤4显然成立, 综上1＜a ≤3. 【探究创新】
【解析】(1)设直线对应的函数解析式为y=kx+b, 由题知,直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴2k b 0
,k b 1
+=⎧⎨
+=-⎩解得k=1,b=-2.
∴直线的解析式为y=x-2,
又抛物线y=ax 2过点B(1,-1),∴a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-x 2.
(2)直线与抛物线相交于B 、C 两点,故由
方程组2
y x 2
,y x =-⎧⎨=-⎩
解得B 、C 两点坐标为 B(1,-1),C(-2,-4).由图象可知, S △OBC =S △OAC -S △OAB = 12
×|-4|×2-
1
2
×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点D,使 S △OAD =S △OBC , 可设D(t,-t 2), ∴S △OAD = 12
×2×t 2=t 2, ∴t 2=3,∴t= 3或t=- 3.
即存在这样的点D(3,-3)或(-3,-3).。