第12讲 函数的单调性与最值(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习考点帮(天津专用)

第12讲函数的单调性与最值
类核心考点精讲精练）
（6
1.5年真题考点分布
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断通过导数的正负判断函数的单调性
2.能掌握集合函数最值与导数的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值
4.会通过函数的单调性解抽象不等式.
【命题预测】
本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。

知识点一.函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y ＝f (x )在
区间(a ，b )上可导
f ′(x )＞0
f (x )在(a ，b )内单调递增f ′(x )＜0
f (x )在(a ，b )内单调递减f ′(x )＝0
f (x )在(a ，b )内是常数函数
2.常用结论
（1）在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．知识点二．函数的最值与导数1.函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件
如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2.求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤（1）求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；
（2）将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
3.常用结论.
（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1.（广东·高考真题）设函数=En，则的单调递增区间为．
2.（重庆·高考真题）设函数op=3+B2−9−1(<0).若曲线=的斜率最小的切线与直线12+ =6平行，求：
（Ⅰ）的值;
（Ⅱ）函数=的单调区间.
1.（2005·北京·高考真题）已知函数=−3+32+9+
(1)求的单调减区间；
(2)若在区间−2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
2.（2024·黑龙江·模拟预测）已知op=B+vos+2−π=0.
(1)求s的值；
(2)求在区间[0,π]的单调区间和极值.
3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数=e−ln+1的图象在点0,0处的切线过点2,1．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
1.（·北京·高考真题）已知函数op=2K(K1)2，求导函数'(p，并确定op的单调区间．
2.（全国·高考真题）已知a∈R，求函数op=2B的单调区间.
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数op=B−1−(+1)lno≠0)，讨论函数op的单调性.
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数=2B−ln+1，≠0．
(1)若=1，求函数的极值；
(2)试讨论函数的单调性．
3.（北京·高考真题）已知函数op=3+B2+3B+o≠0)，且op=op−2是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数op的单调区间．
1.（2023·全国·高考真题）已知函数=e−ln在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A．e2B．e C．e−1D．e−2
2.（2023·全国·高考真题）设∈0,1，若函数=+1+在0,+∞上单调递增，则a的取值范围是.
1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f
（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．
2.（2016·全国·高考真题）若函数=−13sin2+Lin上单调递增，则
A．−1,1B．−1,C．−13D．−1,−
3.（上海·高考真题）已知函数op=2+（≠0，常数∈）.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在[2,+∞)上为增函数，求的取值范围.
4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数=2−e−B在0,5上为减函数，则的取值范围是（）
A．−∞,5e B．5e,+∞C．1,+∞D．1,+∞
5.（2023·宁夏银川·三模）若函数op=22−ln在区间(s+13)上不单调，则实数m的取值范围为（）A．0<<23B．23<<1
C．2
1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数ℎ=ln−12B2−2在[1,4]上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）
A．−1,+∞B．−1,+∞C．−∞,−D．−∞,−
2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间(0,π)上，函数=K cos存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）
A．(−∞,1)B．(−∞,π
2]
C．(−∞,π
2)D．(−∞,1]
1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数op=3+B2+3132上存在单调递增区间，则的取值范围是（）
A．−5,+∞B．−3,+∞C．−∞,−5D．−∞,−3
2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数=ln+B2−2在区间122内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）
A．−2,+∞B．−18,+∞C．−2，18D．−2,+∞
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数=144−233+22−ln1e2上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）
A．−∞,2e−1e2B．−∞,2
C．−∞,2e−1e2D．−∞,2
4.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数=ln+B2−2在区间141内存在单调递增区间，则实数的取值范围是．
5.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数=，其中=−ln>0，
(1)求'；
(2)若=在[1,+∞)是严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)若=在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
考点五、求已知函数的最值
1.（2021·全国·高考真题）函数op=|2−1|−2ln的最小值为.
2.（2018·全国·高考真题）已知函数=2sin+sin2，则的最小值是．
1.（2021·北京·高考真题）已知函数=3−22+．
（1）若=0，求曲线=在点1,1处的切线方程；
（2）若在=−1处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
2.（2020·北京·高考真题）已知函数op=12−2．
（Ⅰ）求曲线=op的斜率等于−2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线=op在点(s op)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为op，求op的最小值．3.（2017·北京·高考真题）已知函数op=e cos−．
（Ⅰ）求曲线=op在点(0,o0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数op在区间[0,π
2]上的最大值和最小值．
4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数=322++4−2ln在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围为（）．
A．（5，9）B．（－5，9）C．(−9,5)D．(−9,−5)
5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数=3−3−在区间0,3上的最大值、最小值分别为s，则−=（）．
A．14B．16C．18D．20
考点六、利用单调性解抽象不等式
1.（2007·陕西·高考真题）是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足B'+≤0．对任意正数a，b，若<，则必有（）
A．B≤B B．B≤B
C．B≤D．B≤
2.（2004·湖南·高考真题）设op、op分别是定义在上的奇函数和偶函数，当<0时，'(pop+ op'(p>0．且o−3)=0，则不等式opop<0的解集是（）
A．(−3,0)∪(3,+∞)B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(3,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,3)
1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数，若满足−1n≥0则必有
A．0+2<21B．0+2≤21
C．0+2≥21D．0+2>21
2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为'，且1=e，当>0时，'<1+e，则不等
>1的解集为（）
A．0,1B．0,+∞C．1,+∞D．0,1∪1,+∞
3.（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为−∞,0，其导函数'满足B'−2>0，则不等式+2024−+20242−1<0的解集为（）
A．−2025,−2024B．−2024,0
C．−∞,−2024D．−∞,−2025
4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数op的图象是一条连续不断的曲线，'(p是op的导函数，当>0时，3op+B'(p>0，且o2)=2，则不等式(+1)3o+1)>16的解集为（）A．(1,+∞)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
5.（2024·江西南昌·三模）已知函数op的定义域为R，且2=−1，对任意∈，op+B'(p<0，则不等式+1+1>−2的解集是（）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
1．（2020高三·山东·专题练习）若函数=3+2+B+1是上的单调函数，则实数的取值范围是（）．A．−∞,13B13+∞C．−∞,13D13+∞2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数op=122+cos，则不等式olnp>o1)的解集为（）A．(0,e)B．(e,+∞)C1e e D．0,1e∪(e,+∞) 3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知=22−B+ln在区间1,+∞上单调递增，则实数的取值范围是.
4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数=3−3B2−2+5在0,1内单调递减，则实数的取值范围是
5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数op=122−2En+(−2).
（1）当=−1时，求函数op的单调区间；
（2）是否存在实数，使函数op=op−B在(0,+∞)上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
6．（20-21高三上·天津·期中）设函数=3+B+1，曲线=在点1,1处的切线与轴平行.（1）求实数；
（2）求的单调区间.
7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数=ln+.
(1)当=2时，求在1,1处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若≥3−恒成立，求m的取值范围.
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数=B−sin
cos3,∈0,π2
(1)当=0时，求ππ
(2)当=8时，讨论函数的单调性；
(3)若<sin2，求的取值范围.
2．（2023·天津河北·一模）已知函数=ln−2.
(1)求的单调区间；
(2)证明：<e−−1；
(3)若>0,>0，且B>1，求证：+<−2
3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数=ln+1，=e.
(1)求曲线=在点0,0处的切线方程；
(2)证明：≥+1；
(3)当≥0时，B⋅≤−−1恒成立，求实数的取值范围.
4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数=4B2+K1e.
(1)当=1时，求曲线=在点0,0处的切线方程；
(2)当>0时，求函数=的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当∈1,3时，12≤≤1，求实数的取值范围. 5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数op=(−1)e+B2，∈．
(1)讨论op的单调性；
(2)当<−1时，若op的极小值点为0，证明：op存在唯一的零点1，且1−0≥ln2．6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数=e+−1−1，其中∈.
(1)当=3时，求曲线=在点0,0处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当>1时，证明：>ln−cos.
7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数=ln++1+1，∈，=e．
(1)若曲线在点1,1处的切线的斜率为3，求的值；
(2)当≥−2时，函数=−+2有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若∀∈0,+∞，不等式'−≥e恒成立，求实数的取值范围．
1.（重庆·高考真题）设函数=3−3B2+3B的图象与直线12+−1=0相切于点1,−11．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间．
2.（海南·高考真题）设函数=ln2+3+2
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间−3414
3.（北京·高考真题）已知函数()=In(1+)-+
22(≥0)．
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间．
4.（2023·全国·高考真题）已知函数=1+ln1+．
(1)当=−1时，求曲线=在点1,1处的切线方程．
(2)若函数在0,+∞单调递增，求的取值范围．
5.（天津·高考真题）若函数=log3−B（>0且≠1）在区间−12,0内单调递增，则的取值范围是（）
A141B34,1C．94+∞D．94
6.（2022·全国·高考真题）函数=cos++1sin+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）
A．−π
2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
7.（2022·全国·高考真题）当=1时，函数op=En+取得最大值−2，则'(2)=（）A．−1B．−12C．12D．1
11。