信号的傅里叶变换及其性质(复变函数与积分变换课程论文)

复变函数与积分变换
课程论文
题目信号的傅里叶变换及其性质任课老师王学顺
学院班级工学院自动化xxx
姓名学号Xxx xxxxxxxxx
时间2013年12月4日
信号的傅里叶变换及其性质
xxx
（北京xx大学，自动化xxx，xxxxxxxxxx）
摘要：傅里叶变换的概念是针对非周期信号引入的，但周期信号也存在傅里叶变换，本文指出求解周期信号的傅里叶变换有三种方法：一是在一个周期内积分求傅里叶系数，二是利用对应的单脉冲信号频谱与傅里叶系数的关系求，三是利用傅里叶变换的时移性求。

本文讨论了不同方法所求周期信号傅里叶变换结果之间的内在联系，进一步揭示出信号的时域与频域的对称特性。

关键词：周期信号，傅里叶变换，傅里叶系数，对称性，级数
引言
信号傅里叶变换是信号与系统中非常重要的一部分，它在数学许多分支、物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，也是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

周期信号傅里叶变换是一系列冲激，其冲激强度与傅里叶系数有关。

如果傅里叶系数不容易求解，可从对应的单脉冲信号的频谱求得。

本文分析了周期信号从不同角度所得傅里叶变换结果的内在联系及其性质。

1．傅立叶变换概念
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

1.1定义
f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。

则有下图①式成立。

称为积分运算f(t）的傅里叶变换，
②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。

F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做
F（ω）的像原函数。

F（ω）是f(t）的像。

f(t）是F（ω）原像。

①傅里叶变换
②傅里叶逆变换
1.2相关
* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).
2．傅里叶变换的性质
2.1线性性质
傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。

具体而言，假设函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则有
2.2尺度变换性质
若函数的傅里叶变换为，则对任意的非零实数，函数的傅里叶变换存在，且等于
对于的情形，上式表明，若将的图像沿横轴方向压缩倍，则其傅里叶变换
的图像将沿横轴方向展宽倍，同时高度变为原来的。

对于的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。

2.3平移性质
若函数的傅里叶变换为，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换等于
也就是说，可由向右平移得到。

2.4微分关系
若函数的傅里叶变换为，且其导函数的傅里叶变换存在，则有
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

更一般地，若的阶导数的傅里叶变换存在，则
即阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

2.5卷积特性
若函数以及都在上绝对可积，则卷积函
的傅里叶变换存在，且
2.6Parseval定理以及Plancherel定理
若函数以及平方可积，二者的傅里叶变换分别为与，则有
上式被称为Parseval定理。

特别地，对于平方可积函数，有
上式被称为Plancherel定理。

这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符（若不考虑因子）。

2.7对称性的应用
前面指出对称性可以看做是对所有性质的一个总结。

实际上，傅里叶变换的定义式本身即体现了该性质。

同时也可以直接利用傅里叶正反变换的定义式来证明该性质。

反之，该性质可以用于傅里叶正、反变换的求解，另外利用对称性，还可以实现时移特性与频移特性、时域微分特性与频域微分特性、时域卷积特性与频域卷积特性的互推。

下面给出其推导过程。

为了叙述方便，设
()()ωF t f FT
T −→←，()()ω11F t f FT −→
←和 ()()ω22F t f FT −→←的推导中，都利用到展缩特性的特例:：
()()ω-−→←-F t f FT。

（1）由时移特性推导频移特性
由对称性得:
()()ωπ-−→←f t F FT
2
由时移特性得:
()()0
20t j FT
e f t t F ωωπ--−→←-
再利用对称性得:
()()
0220t F e t f FT jtt --−→←--ωππ
利用展缩特性 t t -→，ωω-→得:
()()
00
t F e
t f FT jtt -−→←ω，频移特性得
证。

( 2) 由时域微分特性推导频域微分特性
由对称性得:
()()ωπ-−→←f t F FT
2
由时域微分特性得: ()
()
ωπω-−→←f j dt
t dF FT
2
再利用对称性可得:
()])([2])([2)(2ωωπωωππd dF d dF t tf j FT
--=--−→←-
利用展缩特性，
t t -→，ωω-→，可得:
ωωωωd dF d dF t jtf FT )()()()(=-−→←-，频域微分特性得证。

( 3) 由时域卷积特性推导频域卷积特性
由对称性得:()()ωπ-−→←112f t F FT ，()()ωπ-−→←222f t F FT
由时域卷积特性得:()()()()ωπωπ-*-−→←*2
12122f
f t F t F FT
再利用对称性得:()())
()(2222121ωωπππ-*-−→←-•-F F t f t f FT
用展缩特性，
t t -→，ωω-→，得:
由此频域卷积特性得证。

()())
()(22121ωωπF F t f t f FT
*−→←
3． 从傅里叶系数角度求周期信号的傅里叶变换
周期信号 ƒT (t)满足狄里赫利条件,可展开成指数形式的傅里叶级数
()∑∞
-∞
=Ω=n t
jn n T
e F t
f （2）
式中 Ω=
T
π
2是基波角频率, n F 是傅里叶复系数 ⎰-Ω=2
2
t jn -T (t)e 1T
T n dt f T F （2）
对(1)式两端取傅里叶变换可得
()()Ω-−→←n F t f n FT
T ωδπ2 （3）
(3)式表明,周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成,这些冲激函数位于信号的谐波角频率 () ,2,1,0±±=Ωn n 处,其强度为傅里叶复系数 n F 的π2倍。

4． 从时域卷积角度求周期信号的傅里叶变换
设从周期信号()t f T 中截取一个周期（如2T -
~2T 或4T -
~43T
）可得到对应的单个脉冲
信号，令其为
()
t f 0，那么
()()()
t t f t f T T δ*=0 （4）
上式中，()∑∞
-∞
=-=
n T nT t t )
(δδ为周期冲激序列。

设
()
t f 0的傅里叶变
换为
()
ωj F 0，根据时域卷积定理可得()t f T 的傅里叶变换
()()()∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=ΩΩ-ΩΩ=-Ω•=Ω•−→←n n o o FT
T n jn F nT j F j F t f )
()()
()(0ωδωδωωδω （5）
（5）式表明，周期信号()t f T 的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的谐波角频率 () ,2,1,0±±=Ωn n 处，其强度为对应单个脉冲信号()
t f 0的傅里
叶变换
()
ωj F o 在() ,2,1,0±±=Ωn n 时刻的值。

5． 不同角度所得结果的讨论
（3）式是从周期信号分解为无穷多个指数分量的离散和角度得出的；（5）式是根据周期信号可以看成单个脉冲信号与周期冲激序列卷积得出的结果，它们是同一周期信号的傅里叶变换，两者之间应当有必然联系，将（3）式和（5）式对比可得
)
(20ΩΩ=jn F F n π
所以
Ω==Ω=
n n j F T jn F T F ωω)(1
)(100 （6）
（6）式表明，周期信号的傅里叶复系数
n
F 等于对应单个脉冲信号的频谱
)
(0ωj F 在
频率 Ωn 处的值乘以T 1。

（6）式建立了周期信号傅里叶复系数n F
与对应单个脉冲频谱 )
(0ωj F 之间的关系，揭示出周期信号的频谱包络线形状与对应单个脉冲信号的傅里叶变换
的包络线形状相同。

这一点可以从周期信号频谱的特点得到验证，当周期变大时，基波频率 Ω 变小，相应的离散谱线变密!各频率分量的幅度变小，但频谱包络线的形状不变。

当T 趋于无穷大时，周期信号转化为对应的单个脉冲信号，虽然各频率分量的幅度趋于无穷小，但频谱包络线的形状依然不变。

周期信号()t f T 还可以看成对应单个脉冲信号()t f 0时移后的叠加，两边取傅里叶变换有
()()()∑∞
-∞
=--=+++−→←+-++=n nt
j T
j T j FT
T e j F e j F j F e j F T t f T t f t f ωωωωωωω)()()()(000000 （7）
（7）表明，周期信号在频域中可以分解成无限多个时间为呢nT ，复振幅为 )
(0ωj F 的
指数分量nt
j e
ω-的离散和。

与此相对应，（2）式表明的是周期信号在时域中可以分解成无
限多个频率为Ωn 复振幅为
n
F 的指数分量 ) nt
j e
Ω的离散和，如果说（2）式表示的是时
域函数的频域展开，则（6）式表示的是频域函数的时域展开!它们共同揭示了时域与频域之间的对称性。

（3）和（5）式从不同的角度揭示了周期信号的傅里叶变换是一系列相距为基波频率Ω的冲激函数，而（7）式表示的是周期信号傅里叶变换在时域内的级数展开，因而表示形式上差别较大。

6． 结论
信号的时域和频域分析是信号与系统课程中的一个重要组成部分，也是难点之一。

我们不但要掌握多种方法。

不能被表示形式的表象所迷惑，还要搞清楚不同方法之间的内在联系。

参考文献：
[1].“傅里叶变换”词条，百度百科
[2].杨毅明，著.数字信号处理[p].89，机械工业出版社2012.
[3].吴大正主编，杨林耀，张永瑞，编.信号与线性系统分析[M].3.北京：高等教育出版社，2005。

[4].马金龙，胡建萍，王宛平.信号与系统[M]北京：科学出版社2006.
[5].管致中，夏恭恪，孟桥.信号与线性系统[M].4版.北京：高等教育出版社，2004.
[6].宋琪.一个关于傅里叶变换求解问题的探讨[J].电气电子教学学报，2008，8，Vol.30.No.4.
[7].奥本海姆著.信号与系统[M].2版.刘树棠，译.西安：西安交通大学出版社，2004。

[8].郑君里，教与写的记忆LL信号与系统评注［B］I 北京: 高等教育出版社.2005,8.。