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主定理简介
使⽤主定理求解递归式
主定理是分治算法分析中⾮常重要的定理。

如，我们要处理⼀个 规模为 n 的问题通过分治，得到 a 个规模为 n
b 的问题，分解⼦问题和合并⼦问题的时间是 f (n )。

在 T (n )=aT (n
b )+f (n ) 这个式⼦⾥，要求 a ⩾1,b >1（如果 b =1 时，递推⽆意义），f (n ) 是渐进意义上的正数。

回顾⼀下 a 和 b 的含义：
a 个⼦问题，即 a 是原问题分为⼦问题的个数；每个⼦问题的规模是 n
b ；
分治算法共三部分，分治合，⽽ f (n ) 就是分 + 合的时间。

n b 和 n
b ，向下取整和向上取整的细节，并不会影响主定理的推导。

⽽后呢，根据上⾯的式⼦我们会得到三种情况：
若有实数⼤于零 (ε>0),f (n )=O (n log b a −ε)，则 T (n )=Θ(n log b a )；
若 f (n )=Θ(n log b a )，则 T (n )=Θ(n log b a log n )；若有实数⼤于零 (ε>0)f (n )=Ω(n log b a +ε)，使得较⼤的 n ，满⾜ af (n b )⩽cf (n )，这时候则 T (n )=Θ(f (n ))。

这三种情况看起来很复杂，搞清楚他们之间的关系，快速记忆就简单了。

对于三种情况的每⼀种，我们将函数 f (n ) 与 n log b a ⽐较，俩个函数较⼤者将决定递归式的解。

若函数 n log b a 更⼤，如情况 1，则解是 T (n )=Θ(n log b a )；注意 f (n ) ⼩于 n log b a 是渐进意义上的，要差⼀个因⼦量级 n ε(ε>0)。

若函数 f (n ) 更⼤，如情况 3，则解是 T (n )=Θ(f (n ))；注意 f (n ) ⼤于 n log b a 是渐进意义上的，要差⼀个因⼦量级 n ε(ε>0)，还要满⾜ af (n
b )⩽cf (n )；
若俩个函数相等，如情况 2，则乘上⼀个对数因⼦，解为 T (n )=Θ(n log b a log n )；
上⾯的三种情况并未覆盖 f (n ) 的所有可能性，情况 1、情况 2 之间存在间隙，f (n ) 可能⼩于 n log b a 但不是多项式意义上的⼩于；情况 2、情况 3 之间也存在间隙，f (n ) 可能⼤于n log b a 但不是多项式意义上的⼤于；若函数 f (n ) 在这俩个间隙中，或者是情况 3 中要求的 af (n
b )⩽cf (n ) 条件不成⽴，就不能使⽤主⽅法来解决递归式。

⾸先，得明⽩⼀个基准函数：Θ(n log b a )。

有了基础函数之后，就可以根据它来判定情形之间的关系。

那我们该如何记忆这个基准函数呢 ？？
原来的函数是：aT (n
b )+f (n ) 为底数，如果化为对数形式也是以 b 为底 (log b a )；
原函数是⼀个多项式，a 和 b 都是常数，算出来肯定也是⼀个具体的数值。

所以，我们要记这样⼀个基准多项式（基准函数）：Θ(n )，次⽅（即 ?）是取对数的。

接下来，是以上三种情况的判定：
f (n ) 是弱于基准的，O (n lo
g b a −ε)<Θ(n log b a )；
f (n ) 是等于基准的，Θ(n lo
g b a )=Θ(n log b a )；
f (n ) 是强于基准的，Ω(n lo
g b a +ε)>Θ(n log b a )。

例⼦
例 1：T (n )=4T (n
4)+Θ(1)（乐⾼铺积⽊）
⌊⌋⌈⌉
分析，a=b=4，基准函数是Θ(n log44)，因为 log44=1，所以基准函数是Θ(n)。

⼜因为f(n)=Θ(1) ⽐基准函数Θ(n) 要弱，我们取⼀个实数 (ε=1)，即Θ(1)=O(n1−1
2)=O(√n)。

得到T(n)=Θ(n)。

例 2：T(n)=T(n
2)+Θ(1)（⼆分查找）
分析，a=1,b=2，基准函数是Θ(n log21)，因为 log21=0，所以基准函数是Θ(1)。

⼜因为f(n)=Θ(1)，基准函数也是Θ(1) ，f(n)=基准函数，再乘上⼀个 log n，即T(n)=Θ(log n)。

例3：T(n)=2T(n
2)+Θ(n) （归并排序）
分析，a=b=2，基准函数是Θ(n log22)，因为 log22=1，所以基准函数是Θ(n)。

⼜因为f(n)=Θ(n)，基准函数也是Θ(n)，f(n)=基准函数，最后T(n)=Θ(n logn)。

摘⾃。

Processing math: 100%。