一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf分岔研究

陕西理工大学学报！自然科学版)
Journal of Shaanxi University of Technology ( Natural Science Edition)
2021年6月第37卷第3期
June. 2021Vol. 37 No. 3
引用格式：高燕鑫,石剑平.一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hgf 分岔研究［J ］.陕西理工大学学报(自然科学版)，
2021,37(3) &52-60.
一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf 分岔研究
高燕鑫，石剑平*
*收稿日期：2020-11甲8
修回日期：2021-02-03
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11561034 )；云南省教育厅科学研究基金资助项目(2017ZZX133)
*通信作者:石剑平(1975—),女，侗族，贵州省黎平县人，博士，副教授,主要研究方向为非线性动力系统。

(昆明理工大学理学院，云南昆明650500)
摘 要：研究了 一类时滞分数阶计算机病毒SIR 模型的Hopf 分岔问题。

首先通过再生矩阵
方法分析系统基本再生数与正平衡f 之间的关系；其次以时滞作为分岔参数,利用线性化方法
和Laplace 变换法分析系统在正平衡f 附近发生Hopf 分岔的条件，并推导了时滞临界值公式； 最后通过选择恰当的系统参数进行数值模拟,验证了理论分析结果的正确性，并显示了分数阶 变化对系统稳定域的影响。

关键词：分数阶；时滞;正平衡f ; Hopf 分岔；计算机病毒模型
中图分类号：0193 文献标识码：A 文章编号：2096-3998(2021 )03-0052-09
现实问题里很多系统的变化过程不仅依赖当前时刻的状态，还依赖于过去某个时刻或某段时刻的
状态，这种特性称为时滞。

由于物质和能量在变化的时候往往不能瞬间传递，时滞发生在几乎所有类型 的自然和社会系统中口甲］。

计算机病毒模型$3甲%是一种以时间为状态变量的微分方程系统，引入时滞来
描述和分析其动力学特征早就成为研究者的共识$5甲］,并取得了很多有价值的成果。

近几十年,分数阶微积分［7］在众多科学与工程领域得到了成功的应用。

由于能够描述存在于医
学、物理学、生物学、工程应用等系统中所固有的记忆和遗传特性［8-10］,相比整数阶微积分，分数阶微积
分为系统性能的描述提供了更为丰富的自由度，有助于更加科学有效地研究系统的稳定性以及分岔等 动力学性质［11-13］(本文基于前人的研究结果，对一类时滞计算机病毒传播模型［14］引入分数阶进行描 述，通过增加系统的时滞项，获得一个分数阶时滞计算机病毒模型。

并以时滞项作为控制参数，研究系
统在正平衡点处的稳定性以及出现Hopf 分岔的条件。

1
由于状态变量在分数阶的情况下可以考虑不同的变化率，因此本文对文献［14 ］研究的一类时滞计
算机病毒传播模型引入不同的分数阶，并对最后一个方程也加入时滞项，获得下述的改进系统模型
■；0
D?S (r 8p --#S (r - .),(r -(“ + C )S (t),
t) =#S ( t -.), t) - ($+( , t),
⑴
'；0
D t D( t) 8 $G( t) t) +C( t-T)+(1 - J - - , F 0 8 "( t) + G( t) + D( t),
其中F 为网络中的节点总量(可以看作PC 机或服务器等)，S ( t)、G ( t)和D ( t 分别为网络中易感染、已
被感染以及处于恢复状态的计算机节点,P 为新节点的感染率,-为新节点的接入数，“为节点的死亡 率,#为节点的有效传染率,k 为预防病毒措施的实施率,$为已感染节点的恢复率。

p 、-、“、#、$和k 均
-52 -
第3期高燕鑫，石剑平一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf分岔研究
为正常数,.>0为由计算机病毒潜伏期造成的时滞。

0<B,B,B<1为分数阶,R N B(i=1,2,3)为Ca­puto分数阶导数,设初始时刻为U，则初值条件为S(R=*(R>0,/(0)=0,D(0)=0,t,[R-研究分数阶微分方程系统的稳定性和分岔问题，目前并没有完善的理论体系。

文献[15%利用线性化近似系统在平衡点处的稳定性来研究原系统的稳定性和分岔问题,并给出了明确的定义，说明系统时滞项.满足一定的条件，在平衡点处会出现Hopf分岔。

此研究思想的核心是以时滞.作为控制参数分析分数阶系统平衡点的稳定性。

定义1[15%对于以下n维时滞分数阶系统
1,2,…,n，(2)
R N t&(R=/,(&1(R,…,&”(R；.),J=
0<g V1和.+0，如果系统(2)满足以下3个条件：
(1)当.=0时，系统(2)在平衡点&"=(&1"，&2",.,&；)处的线性化系统的系数矩阵记为C,c的所有特征根)(\1,2，…,n)必须都满足lara())I>乎；
(2)当.=.时，系统(2)在平衡点&"=(&1"，&",•••,&；)处的线性化系统的特征方程存在一对纯虚根S(.0)=土ii0;
(3)横截条件Re[豊；)].=.,1=5>0成立，其中s(.)是系统(2)在平衡点&"=(&1"，&2",•••,&”")处线性化系统的特征方程的根,Re[-%指提取复数的实部；
贝y当时滞.=.0时，系统(2)在平衡点&"=(&1"，&2",•••,&；)处出现Hopf分岔。

注1：定义1中,条件(1)说明当时滞.=0时，分数阶微分方程系统(2)在0<B<1时，分数阶可扩大模型的稳定区域，即当特征值穿过虚轴时,系统仍然可能稳定$7%(
下文将根据这个定义，结合系统(1)研究其在正平衡点处的稳定性和Hopf分岔。

2Hopf分岔分析
2.1平衡点及基本再生数
计算系统(1)的为
k-+(1_p)(“+k)—
((+k)
/($+“#—-(“+k)(“+$)-($+(-$-k)+((k-$)
U#，#(“+$)，册($+(
由于系统参数均大于零,/是系统(2)的一个无病平衡点。

但是当2(R=0时，系统中已没有感染节点。

本文主要研究存在感染节点的平衡状态下系统的稳定性，为此，需要考虑系统参数满足什么条件时,/为正平衡点。

由于模型⑴的参数较多,下面通过引入基本再生数来分析系统存在正平衡点的条件
基本再生数是传染病模型的重要概念，描述已感染的病人在平均患病时间内感染易感染者的人数,记作D(在计算机病毒传播模型中,可用基本再生数描述病毒传播的情况:若D>1时,病毒侵入易感节点;若D<1,经过一定的时间，病毒将被彻底清除。

下面采用再生矩阵方法[16]计算(系统(1)对应的整数阶系统为
d"d R)=.-#s(r-.)2(r-(“+c)s(r,
■d；(R=#s(t-.)2(r-($+(2(r,(3)
.d DR=$2(R—D(R+k(R-.)+(1-p)b,
令-(R=(2(R,S(R,D(R)T,则当.=0时,(3)式可以表示为
叫。

=/(U(R)-9(U(R),(4)
・53・
陕西理工大学学报(自然科学版)第37卷
其中
代-(t "描述新感染个体的比率,9 -(t "则表示转移比率。

■ #S ( 11( t -■
($+( /(t
■
/( U ( t ) 8
, 9( U ( t ) ) 8一 p -+#s ( r /( r + (/ + k ) S ( t
-0---$/( 1 + /iD (1 — k (t — (1 — _-)--
计算1( -(t )和9 U( t )在无病平衡点/处的Jacobian 矩阵
-#P -
M + k
0-0
($ +( 砂-M + k -$
(5)
由文献［16%可知再生矩阵为45"，基本再生数D 是再生矩阵的谱半径p(45U1)，即再生矩阵45"的
特征值入0模的最大值。

由(5)式可得
I )0$ - 45一
)2 ( . 一 P ­
0 (「I “+$)(“+k
8 0，
其中$是单位矩阵。

故系统(3)的基本再生数为
D 0 8
-(45 ) 8 wp 1 儿 1 8 (“+$乙 +k )(
(6)
定理1若D>1,则系统(1)存在唯一的正平衡点/* =/1，若D )1,则系统(1)不存在正平衡点。

证明 由(6)式，系统(1)的平衡点/的各分量可写为
$ +“ = P - 1# M + k D
*
一(( + k )(( + $) #( m + $)
M + k
-($+( - $(($ - k ) +((k-$) - P -
#(( $ +(
(7)
.$
(M + $) M
(1-D ) +
k- 1 + (1 -((+ k )( D 0 (000 -
5 =
0 0 ■
(/ + k ) 0-k
(
显然恒有S * >0,当D >1时，厂>0,D * >0,即系统(1)存在唯一的正平衡点/
=/1 (S *，/* ,D * ),当
D )1时，有，*)0，即系统不存在正平衡点。

2.2正平衡点的稳定性及Hopf 分岔分析
在本节中，以时滞作为参数分析系统(1 "发生Hopf 分岔的条件。

首先，在正平衡点/ "做变换
&(r
=S (r - S * , ;(r =/(r - /* , Z(r 8 D (r - d * ,
系统(1)
为
■p D &(r 8— - &(r - .) + S * %[;(r + /* % -(M + k )[&(r + s * ],
'
p
D t ;( r 8 #[&( r 一 .)+ S *][;( r + G * % 一( $ +([;( r + g * %,
(8)
\0 D B 3 z( r 8 $[ ；( r + /* %
Z( r + D * % + k [&( t-.) + S * % + (1 - .-,
系统(8)在原点处的线性化系统为
D t &(方)8 >11 &(方)+ >12；(方)+ >13&( t-.),
t D b 2
；(方)8 >21 &( R 一 .),
0D R z
(方)8 >31 &( R 一 丁)+ >32；(方)+ >33z(方),
中
>31 8k ,
>32 ,
>33 — — M o
-54 -
(9)
>11 8 - (/ + k ), >12 8 一#S * , >13 8 -#厂,>21 8 #G * ,
(10
)
第3期高燕鑫，石剑平 一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf 分岔研究
下面根据定义1,分析系统(1)在正平衡点发生Hopf 分岔的条件。

条件1 . =0时，线性化系统(9)系数矩阵的特征根分析。

当.=0时，系统(9)的系数矩阵对应的特征方程为
计算得
入3 - ( >11 + >13 + >33 )入2 + ( >n >33 + >13 >33 - >12 >21 )入 + >12 >21 >33 = 0 ,
(11)
111 /~2--------------------------------------------------------------2
入 1 = >33 , 入2,3 = >13 + "2>11 — "2 V >11 + 2>11 >13 + 4>12>21 + >13 (
为了分析.=0时(11)式的根=1,2,3)的取值情况,不妨作如下假设:
( H1 )
—(>n + >13 + >33 ) * ( >n >33 + >13 >33 — >12>21 ) — >［2>21 >33 > 0 o
引理1如果假设(H1 "成立，那么线性化系统!9)系数矩阵的所有特征根)(j = 1,2,3"均具有负
实部。

证明
当.=0时，系统(9)系数矩阵的特征方程为式(11)，由式(10)，有-(>11 + >13 + >33) >0 ,
>12>21 >33 >0。

若假设(H1)成立，那么根据Routh-ur-itr 准则可得方程(11 )的所有特征根均有负实部,
即特征根)(\1,2,3)均满足 1-()) I >®%(B =max (B ,b ,B ))。

2
由引理1可得，分数阶系统(1 )的阶次B (i = 1,2 ,3)需满足0<B <4min Irg ( )) I (
77\1,
2,3
注2若引理1中的条件(H1)被其他条件所替代，这些条件可以保证方程(11)的所有特征根均满
足1-()) I >* (g =max (B ,b ,B ))，贝卩引理1仍然成立。

条件2 .>0时系统(1)产生Hopf 分岔的临界值分析。

对系统(9)的两侧分别作Laplace 变换［17］，得
sb
T (s) - sb 一&(0) = >n T (s) + >12S (s) + >13e _T (T (s) +
I e _T *(R d R ,
儿
o-.
■ SB S (s) - SB 一;(0) =>21e -s (T (s) +
I
e -'*( t) dt) ,
(12)
J r -.
.SB Z ( s) - SB 一 z(0 ) = >31)一"( T ( s) +
I
e _'*( R d R + >32 S ( s) +>33 Z ( s),
J r -一
其中X ( s)、S ( s)、Z ( S 分别是&(R 、y (R 、z(R 的Laplace 变换(s 为复参变量)，且初始值为&( t)=
*( R >0,；(0) =0 ,<0) =0丿，［R -.,R )° 系统(12)可以写为
-T ( S -
&( s)* S ( s)
-Z ( s -
-：1 (S -
：2( S)
-：3(S )-
中
- 1
>13 >11
->12
0--：1 (S -
&( S)=
-SS
>21SB
：2( S)
=
>31
->32
s B 3 ->33 -
-£( S)-
SB _ &(0) +>13)一.
)一"*( R d t
J r -一
sb 一;(0) + >21 e -1'
%
)一"*( R d
方
J r -.
一
sb 一 z(0) +>31)一"
|
e -'*( R d t
」r -一
&( s)被看作系统(9 )的特征矩阵，其中系数>11、>12、>13、>21、>31、>32、>33由(10 )式决定，故系统(9 )的特
征方程为
U ( S +U ( T •e 一T =0,
(13)
中
-55 -
陕西理工大学学报(自然科学版)第37卷
S?1+B2 +B3>
11
S? +B3>33S++>n>33S?,
U(S)=>13>33S?->13SB2+B3>12>21$+>12>21>33(
由定义1可知，系统(1"发生Hopf分岔的条件之一是当.=.时，线性化系统9)的特征方程有一对纯虚根。

不妨假设S=i i=1(cos(%/2)+isin(%/2))(1>0,i为虚数单位)是(13)式的根，代入分离实部和虚部并化简，将cos(1.)和fn(1.)看作未知项，可得到以下方程组
r O1+O2cos(1.)+32sin(1.)=0,
l3[+32cos(1.)-O2sin(1.)=0,
(14)
其中O和32分别是(13"式实部和虚部经过整理后,cos(1.)和fn(1.)项的系数部分,01和31则是剩余的常数项。

求解方程组(14"可得
son(1.)=°232+3232=G1(1),cow1.)=O10+32328G2(1)((15)当系统(1)中的所有参数给定时，联立公式wn2(1.)+cos2(1.)=1,可以计算出1的值(代入(15)求解
=—$arc sin(M1(1))+2Z tt], 1丄$aecos(M2(1))+2Z tt],
1
(=0,1,2，…。

(16)
根据时滞的实际意义,主要关注出现Hopf分岔的最小正值，因此,将该分岔点描述为
.08mm!(80,1,2，…，(17)由等(16)式定义,.0对应的1值记为10，即特征方程(13)存在一对纯虚根S=±10i(
由于arcsinx和aecoso的值域分另J为［-号，号］和［0,%］,对于1的所有正值1,(J=1,2，…，”)计算1,2;=1,2,…)时需要考虑以下4种情况：
(C M(1J>0和M(1J+0,此时1,.,(0,号］，则
aesin((1-))+2(
1J arccos(G?(1J)+2I t
(=0,1,2，…；
3
(iC G1(1)>0和G2(1)<0，此时1.,(号,%)，贝!J
.(()=%-d e s m(G1(1))+2(=d e c o s(G2(1))+2T(=0]2.…
33
(x C G1(1)v0和G2(1))0,此时1.，(%,¥]，则
⑴%-arcsin(G[(1-))+2(2%-arccos(G?(1-))+2I t
.8------------------------------------8--------------------------------------,%80,1,2，…；
11
(c)G1(1)v0和G2(1)>0，此时1.，(¥，2%)，则
(%2%+aesin(G[(1-))+2(2%-aecos(G2(1-))+2(
.8-------------------------------------8--------------------------------------,%80,1,2,…。

11
3
条件3横截条件分析。

根据隐函数求导法则，在(13)式两边分别对.求导，可得到
U(I半+U2(I e-呼
dd 其中U(I是U(s)(i=l,2)的导数，整理可得
d s
d.+U2(s)e-I(-T¥-s)80 , ?(s)
FI，
中*56*
(18"
第3期高燕鑫，石剑平一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf分岔研究
(S=U(S se：F(S=U(S+U(S yw—U(S.y,
通过计算，可以得到
P-d s?1F1+?2F2
［嘉］.”1「F+F2，
其中和F(\1,2)分别是?(S、F(S的实部和虚部。

其解析过程略。

给出以下假设：
(H2)?F1+?2F2>0,
则得到横截条件成立的引理。

引理2若假设(H2)成立，令s(.)=$(.)+iz(.)是⑴)式在.=.0附近满足$(=0,1(= 10的根,下面的横截条件成立
［d s
Re>0((19)
..0,110
综上所述，由定义1得到以下结论:
定理2假设！H1)和(H2)成立，给定参数组(--,(#,$,k),则当.=.0时，系统(1)在正平衡点/"处产生Hopf分岔,.0为(17)式定义的时滞临界点。

3数值模拟
在本节中，基于文献［18%介绍的Adama-Cashforth-Moulton预估-校正方法，给出数值实例来验证前述理论分析方法的可行性和结果的正确性，其中步长取E=0-01(
为了更具有对比性，模拟所用的系统参数均来自文献［14］,P=0.9,-=1,#=0.4,$=0.1,“=0.1,
k=0.1,则系统(1)为
，；0N B2(R=0.4S(t-.)2(R-0.22(R,(20)
仇N B S(R=0.9-0.4S(t—.)2(R-0.2S(R,
■R N B D(R=0.12(R-0.1D(R+0.1S(t-.)+0.1。

通过计算可得基本再生数D=————k=9>1，正平衡点(S",2",D")=(0.5,4.0,5.5)(
当.=0时，计算得到！H1)条件为0.918>0,且线性化系统系数矩阵的特征值为)1=-0.1,)2=-0-2,
2
=-1-6,各特征值的辐角主值均为％，可得0<B<2min lara())丨<2,故系统(20)的分数阶0< B,B,B<1均满足定义1的条件(1)(不失一般性，选择分数阶B=0.92,B=0.95,B=0.98(计算可得.=.0=1.0248时存在一对纯虚根s(.0)=±10i=±1.6559i,此时横截条件为0.6775>0(由定理2可知，当时滞.=.0=1.0248时，系统(20)在正平衡点(0.5,4.0,5.5)处产生Hopf分岔。

为了验证此结果的正确性，本文模拟了两种情况:选取初值为(0-2,4.5,5.4)，分数阶为B1=0.92, B=0.95,B=0.98，取时滞.=0.98<.0=1.0248时，系统(20)在平衡点(S",2",D")=(0.5,4.0, 5.5)处是渐近稳定的(见图1)。

此结果说明随着时间的推移，易感节点、感染节点和恢复节点均趋于稳定值，虽然系统仍然存在感染节点,但是数量稳定，有利于采取恰当措施对系统进行干预，彻底清除病毒,恢复健康的网络状态(当取时滞.=1-07>.0=1.0248时，系统(20)在平衡点(0.5,4.0,5.5)处发生Hopf分岔(见图2)，说明此时系统在平衡点处是不稳定的，易感节点、感染节点和恢复节点的数量产生了随着时间t的推移而出现的周期振荡，这对于清除病毒,调节和控制网络系统恢复到健康状态是极为不利的。

下面讨论分数阶的变化对系统(20)的时滞分岔临界点.0的影响，具体的做法是保持其中两个阶不变,考察另一阶变化对于分岔点的影响(由于时滞.表示的是因计算机病毒的潜伏期造成的延迟，故处于恢复状态的计算机节点上的分数阶B的变化对于分岔临界点基本不产生影响(见表1)，但是分数阶B、B的变化都对分岔临界点有较大的影响。

B从0.5到0.6的变化过程中，时滞.0随着B的增大而
-57-
陕西理工大学学报（自然科学版）第37卷
增大，在0.6到0.7之间出现转折，之后随着？1的不断增大，时滞.0越来越小（见表1,图3）。

而对于分数阶?2，在0.5到1之间，分岔点一直随着?2的增大而增大（见表1，图4）o显然，可以通过调节各变量分数阶的取值来改变系统分岔临界值的大小，从而调节系统的稳定域。

3.60.2
（0）已感染节点/的波形图（d）恢复节点7?的波形图
图1.二0.98<.0时，系统（20）的相图和各分量的波形图
5.8〕
（a）系统（20）的相图
（0）已感染节点/的波形图（d）恢复节点7?的波形图
图2.二1.07〉.0时，系统（20）的相图和各分量的波形图
・58・
第3期高燕鑫，石剑平 一类时滞分数阶计算机病毒模型的Hopf 分岔研究
表1 B 变化对于系统（20） Hopf 分岔临界值（10 ,.0）的影响
B 2 =0- 95 ,B 3 =0- 98 ,B 1 改变
B 1 =0- 92 ,B 3 =0- 98 ,B 2 改变
B 1 =0- 92 ,B 2 =0- 95 ,B 3 改变
B 1.010横截条件
B 2
.010
截
B 2
.010
截
0- 501 - 084 52-165 9
0. 398 8 >00. 500. 939 21 - 825 00. 781 1 >00. 501 - 024 81.655 90. 677 5 >00- 551. 108 8 2. 049 0
0. 416 5 >00. 550. 946 51 - 806 1
0. 772 7 >00. 551 - 024 81.655 90. 677 5 >00. 601. 121 2 1.957 7
0. 439 6 >00. 600. 954 4 1.787 10. 763 5 >00. 601 - 024 81. 655 90. 677 5 >00. 621. 123 3 1.926 6
0. 450 2 >00. 620. 957 7 1.779 5
0. 759 6 >00. 621 - 024 81.655 90. 677 5 >00. 651. 123 81 - 884 60. 467 4 >00. 650. 962 8 1.768 00. 753 8 >00. 651 - 024 81. 655 90. 677 5 >00. 681. 121 41 - 847 4
0. 485 9 >00. 680. 968 2 1.756 6
0. 747 2 >00. 681 - 024 81. 655 90. 677 5 >00- 781 - 095 6 1.749 5
0. 557 3 >00. 780. 987 4 1.718 7
0. 724 1 >00. 781 - 024 81.655 90. 677 5 >00- 851 - 064 5
1.697 9
0. 614 7 >00. 85 1.002 11.692 50. 706 0 >00. 851 - 024 81. 655 90. 677 5 >00 - 951 - 005 6
1.640 1
0. 705 5 >00. 95 1.024 81.655 90. 677 5 >00. 951 - 024 81.655 90. 677 5 >00- 980. 985 3
1.625 4
0. 733 7 >00. 98 1.032 0
1.645 10. 668 3 >00. 981 - 024 8
1.655 90. 677 5 >01.000. 971 1
1.616 2
0. 752 8 >0
1.00 1.036 9
1.638 0
0. 662 0 >0
1.001 - 024 8
1.655 9
0. 677 5 >0
0.960.92
分数阶％
图 3 B 2 = 0. 95, g 3 二 0. 98 时，系
统（20）中.0随B 1的变化
图 4 B 1 二 0. 92 ,B 3 二 0. 98 时，系
统（20）中.0随g 2的变化
上述模拟结果显示,与文献［15%研究的整数阶系统比较，分数阶的引入延迟了系统Hopf 分岔的发
生，放大了稳定区间。

通过调节分数阶的大小，可以在一定范围内有效控制系统正平衡点的稳定域。

分
数阶系统获得了比整数阶系统更为灵活的控制方式。

4结论
本文通过研究一类具有不同分数阶的时滞计算机病毒传播模型的Hopf 分岔,讨论了系统正平衡点
的稳定性问题。

由于该模型参数较多,首先引入流行病学中基本再生数的概念讨论了系统存在正平衡
点的条件。

继而以时滞为分岔参数研究系统在正平衡点的稳定性，分析了该模型发生Hopf 分岔的3个 显式条件，结果表明时滞是造成系统不稳定的主要因素之一,而分数阶的引入不仅以更多的自由度丰富
了系统的性能，也影响时滞的变化，继而影响系统正平衡点的稳定域。

为了验证理论分析的正确性,选 择了恰当的参数做数值模拟，结果说明时滞临界值确实是分数阶计算机病毒模型出现Hopf 分岔的一个
分水岭。

在给定参数值的情况下，时滞的大小是决定系统稳定性的重要因素之一，对于调节和控制系统
从病毒侵害状态恢复到健康状态有直接的影响。

此外，数值模拟也说明了分数阶变化引起系统Hopf 分
岔临界值的变化，进一步解释了分数阶对于模型稳定域控制的有效性。

需要指出的是，分数阶模型线性化以后，通过Laplacc 变换得到对应的特征方程，其纯虚根的求解 是基于假设，反代入方程后通过计算求出的，并没有采用理论的方法获得严密的证明，这个具有理论意
义的问题将在后续的工作中加以研究。

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[责任编辑：张存凤] Hopf bifurcation analysis of a fractioni-crdcr delay computer viruo modcl
GAO Yan-xin#SHI Jian-ping
(Department of System Science and Applied Mathematics#Kunming University of Science and Technology#
Kunming650500#China)
Abstract:Hopf bifurcation of a fractional-crder delay computer vies model is studied.Firstly#basing on the renewable matWe method#relationship between the equilibeum point and the basic reproductive number is analyzed.Secondly#reaarding the delay as a parameter#the conditions of emeraenca of Hopf bifurcation near the positive equilibeum point are analyzed by linearization method and Laplace tranWoei method.Moeo-ver#theshold fomiula of d elay is deduced.Finily#numeecal simulations are made to veefy the yiidity of the theoretical result.Those also show the influence of fractional-crdar vveation on the stability eaion of the sysiem.
Keywords：fractional-crdar;delay;positive equilibeum；Hopf bifumiion；computer vims model
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