高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时

双基限时练(二十二)
基 础 强 化
1．下列各组的两个向量，共线的是( ) A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2) D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4) 解析 ∵a 4＝－1
2b 4，∴a 4∥b 4.故选D. 答案 D
2．若向量a ＝(2，－1)，b ＝(x,2)，c ＝(－3，y )，且a ∥b ∥c ，则x ，y 的值分别为( )
A ．x ＝2，y ＝3
2 B ．x ＝－4，y ＝－3
2 C ．x ＝－4，y ＝3
2
D ．x ＝－4，y ＝－3
解析 ∵a ∥b ，∴2×2－(－1)x ＝0，∴x ＝－4. ∵a ∥c .∴2y －(－1)×(－3)＝0，∴y ＝3
2.故选C. 答案 C
3．已知A (4,7)、B (2,4)、C (－6，y )三点共线，则y 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．±8
D ．3
解析 AB →＝(－2，－3)，AC →
＝(－10，y －7)， ∵A 、B 、C 三点共线，
∴－2×(y －7)－(－3)×(－10)＝0， ∴－2y ＋14＝30，∴y ＝－8. 答案 B
4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n ＝( ) A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2
解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， ∵m a ＋n b 与a －2b 共线， ∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0. ∴－14m －7n ＝0，∴m n ＝－1
2. 答案 C
5．设向量a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
sin α，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，12，且a ∥b ，则α的一个值为( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.5π12
解析 ∵a ∥b ，∴12sin α＝3
2cos α， ∴tan α＝3，∴α＝π
3. 答案 C
6．设a ＝(1,1)，b ＝(－2,3)，若a ＋2b 与2a ＋λb 平行，则实数λ的值为( )
A ．4
B ．1 C.827
D ．－1
解析 a ＋2b ＝(－3,7)，2a ＋λb ＝(－2λ＋2,3λ＋2)． ∵(a ＋2b )∥(2a ＋λb )，
∴－3(3λ＋2)＝7(－2λ＋2)，∴λ＝4.
答案 A
7．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (8，－4)和重心G (2,1)．则C 点坐标为________．
解析 设C (x ，y )，由GA →＋GB →＋GC →＝0得GC →＝－GA →－GB →
. 又∵GA →＝(0,2)，GB →＝(6，－5)，GC →
＝(x －2，y －1)， ∴(x －2，，y －1)＝－(0,2)－(6，－5)＝(－6,3)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－6，y －1＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，y ＝4，
∴C (－4,4)． 答案 (－4,4)
8．已知a ，b ∈R ，非零向量α＝(2a ＋1，a ＋b )与β＝(－2，0)平行，则a ，b 满足的条件是________．
解析 ∵α∥β，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2(a ＋b )＝0，2a ＋1≠0，∴⎩
⎨⎧
a ＋
b ＝0，
a ≠－1
2
.
答案 b ＝－a 且a ≠－1
2.
能 力 提 升
9．设向量a ＝(x ，y )，其中x 2＋y 2＝20，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
解析 ∵a 与b 的方向相反， ∴a ∥b 且x <0，y <0， ∴2y －x ＝0且x <0，y <0. 又x 2＋y 2＝20，
∴x ＝－4，y ＝－2.∴a ＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)
10．设点A (－1,2)，B (n －1,3)，C (－2，n ＋1)，D (2,2n ＋1)，若向量AB
→
与CD →
共线且同向，求n 的值．
解析 由题意AB →＝OB →－OA →
＝(n －1,3)－(－1,2)＝(n,1)， CD →＝OD →－OC →
＝(2,2n ＋1)－(－2，n ＋1)＝(4，n )， 由AB →∥CD →
，∴n 2＝4.∴n ＝±2.
当n ＝2时，AB →＝(2,1)，CD →＝(4,2)，AB →＝12CD →
共线同向；
当n ＝－2时，AB →＝(－2,1)，CD →＝(4，－2)，∴AB →＝－12CD →
共线反向． ∴n ＝2.
11．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →
，求点C 的坐标．
解析 (1)若A 、B 、C 三点共线，则AB →与AC →
共线． AB →
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)， AC →
＝(a －1，b －1)， ∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0. ∴a ＋b ＝2.
(2)若AC →＝2AB →
，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3.
∴点C 的坐标为(5，－3)． 12.
如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：
(1)DE ∥BC ；
(2)D ，M ，B 三点共线． 证明
如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →
|＝2.
∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)． (1)∵ED →
＝(－1,1)，－(0,0)＝(－1,1)， BC →
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →
，即DE ∥BC .
(2)连接MB ，MD ，∵M 为EC 的中点，∴M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，
∴MD →＝(－1,1)－⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，12＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，12，
MB →＝(1,0)－⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，12＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1，－12，
∴MD →＝－MB →，∴MD →∥MB →
. 又MD 与MB 有公共点M ， ∴D ，M ，B 三点共线．
品 味 高 考
13．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A. 2 B. 2 C ．－2或 2
D ．0
解析 ∵a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，且a ∥b ，∴1×2＝m 2，解得m ＝±2. 答案 C。