高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》单元汇编含解析

《数列》考试知识点
一、选择题
1．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
55
151
16(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
3．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列
{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(),3-∞-
B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1
21
n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】
∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.
∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，
∴2
n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，
∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2
2
110n n n
n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，
∴1
21
n λ<-
+对*n N ∈恒成立， ∴13
λ<-.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
2131
n n A n B n -=+，则3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}
(1)n
n a -的前40
项和为（ ） A ．0 B ．20
C ．40
D ．80
【答案】B
【解析】 【分析】
先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式
作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}
(1)n
n a -，两两组
合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362
a a S +=
= ，
∴134a a +=，①
∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，
∴{}
(1)n
n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，
故选：B . 【点睛】
本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题
6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则4
2
S S ( ) A ．3 B ．9
C ．10
D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2
60,0q q q --=>，解得q ，
再利用求和公式即可得结果. 【详解】
设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，
Q 满足645,3,a a a -成等差数列，
()
2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->，
260,0q q q ∴--=>，解得3q =，
则
()
()
4124221313131103131
a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
7．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项
公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10
6
S S 等于（ ） A ．-3 B ．5
C ．-31
D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公
式，即可求解10
6
S S 的值，得到答案.
【详解】
由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，
可得3133663
1
6(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105
1055
16
(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q
---===+=---. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-，
13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共
线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过
O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】
【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
12．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则
2020S 与2020a 的关系是（ ）
A ．2020202021S a =+
B ．2020202021S a =-
C ．2020202041S a =+
D ．2020202043S a =-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，
0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q ∴==，()20201202020201211a q S q
-=
=--，
因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
13．在数列{}n a 中，()111,1n
n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）
A ．2017⨯1008
B ．2017⨯1009
C ．2018⨯1008
D ．2018⨯1009
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件()n
n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】
()n
n 1n a a n 1+-=+-,
()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,
-=+--=+-=+--=+
⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-
将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)
201710092
+=⨯，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.
14．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）
A ．4
B ．19
C ．20
D ．23
【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】
设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，
由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，2
12213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以3
7813271623a a d q +=++=+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
15．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r
+-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
16．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2
1
2
4
n -- B ．1
12
2
n -- C ．21n - D ．122n +-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合
等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，
所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >
可得214128
a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，
所以数列{}n a 的前n 项和11(12)
122122
n
n n S --==-
-. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.
17．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得1
1322
a d a =-
-， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=-
-=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时
等号成立；
当10a <
时，11322a d a =-
-≥=
1a =立； ∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
18．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d <
②110S <
③120S >
④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >
其中正确命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．
【详解】 Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，
∴10a >，0d <，①正确；
Q 675S S S >>，
∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大，
∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，
12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>，
∴③⑤正确，②错误.
故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
19．设函数()221
x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）
A ．9
B ．11
C ．92
D ．112
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】 ()221
x f x =+Q ，()()()
22222212121221x
x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()
2122222211221x x x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，
则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，
两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）
A ．(1,2)
B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.
【详解】 由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则111
11113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.
因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，
所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 化简得11
1110113a a ⎛⎫<-<-
⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。