高考数学高三模拟试卷试题压轴押题 8

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合｝R ,2|||{∈≤=x x x A ，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则)(B A C R 等于
A ．R
B ．),0()2,(+∞--∞
C ．),2()1,(+∞--∞
D ．φ
【答案】B .
考点：集合间的基本运算；
2.若)
12(log 1)(2
1+=x x f ，则)(x f 的定义域为 A ．)0,21(- B ．),21(+∞- C ． ),0()0,21(+∞- D ．)2,2
1(- 【答案】C .
【解析】
试题分析：由题意知，)(x f 的定义域需满足：12log (21)0x +≠且210x +>，解之得0x ≠且12
x >-
，即函数)(x f 的定义域为),0()0,2
1(+∞- ，故应选C . 考点：1、对数函数；2、函数的定义域.
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间)30(，
内是增函数的是 A ．x x y -+=2
2 B ．x y cos = C ．||log 5.0x y = D ．1-+=x x y
【答案】A .
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；
4.已知34cos sin =+θθ)4
0(πθ<<，则θθcos sin -的值为 A ． 32 B ．32- C ． 31 D ．3
1- 【答案】B .
【解析】 试题分析：因为34cos sin =+θθ)40(πθ<<，所以两边平方可得：1612sin cos 9
θθ+⋅=，即7sin cos 18θθ⋅=，所以272(sin cos =12sin cos =1=99θθθθ---），又因为04
πθ<<，所以sin cos θθ<，所以sin cos 0θθ-<，所以2sin cos θθ-=B . 考点：1、同角三角函数的基本关系.
5.已知命题：p 在ABC ∆中，“B C >”是“B C sin sin >”的充分不必要条件；命题：q “b a >”是“2
2bc ac >”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是
A ．p 真q 假
B ．p 假q 真
C ． “∨p q ”为假
D ．“∧p q ”为真
【答案】C .
【解析】
试题分析：在ABC ∆中，B C >等价于c b >，根据正弦定理sin sin c b C B =可得，sin sin C B >，所以“B C >”是“B C sin sin >”的充分条件；反过来，在ABC ∆中，若“B C sin sin >”，则由正弦定理sin sin c b C B
=可得，c b >，于是B C >，即“B C >”是“B C sin sin >”的必要条件，故在ABC ∆中，“B C >”是“B C sin sin >”的充要条件，即命题p 是假命题；若0c =，则当满足b a >时，22bc ac >不成立，故“b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件是不正确的，故命题q 是假命题.综上所述，可知“∨p q ”为假.
考点：1、充分条件；2、必要条件；3、命题的真假判断.
6.将函数x x y 2cos 32sin +=的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图象，则||ϕ的最小值为
A ． 12π
B ．6π
C ． 4
π D ．125π 【答案】A .
考点：1、辅助角公式；2、三角函数的图像及其变换；3、函数的奇偶性.
7.已知x x x f π-=sin 3)(，命题：p 0)(),2,
0(<∈∀x f x π，则 A ．p 是假命题：：p ⌝0)(),2,0(≥∈∀x f x π
B ．p 是假命题：：p ⌝0)(),2,0(00≥∈∃x f x π
C ．p 是真命题：：p ⌝0)(),2,0(>∈∀x f x π
D ．p 是真命题：：
p ⌝0)(),2
,0(00≥∈∃x f x π 【答案】D .
【解析】 试题分析：因为x x x f π-=sin 3)(，所以'
()3cos 30f x x ππ=-≤-<，所以函数()f x 在R 上单调递
减，所以(0,
),2x π
∀∈都有()(0)0f x f <=，即命题p 为真命题，所以选项,A B 不正确，应排除；由全
称命题的否定可知：：p ⌝0)(),2,0(00≥∈∃x f x π
，故应选D .
考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、全称命题的否定.
8.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2
a f a f >-，则实数a 的取值范围是
A ．),2()1,(+∞--∞
B ．),1()2,(+∞--∞
C ． )2,1(-
D ． )1,2(- 【答案】D . 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性. 【思路点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，解答该题的关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在R 上的单调性，利用函数的单调性将所求的不等式)()2(2a f a f >-转化为一元二次不等式，最后运用一元二次不等式的求法求出实数a 的取值范围. 本题是函数的奇偶性与单调性相结合的一类最为典型、最主要的题型之一.
9.ABC ∆中，3π
=A ，3=BC ，则ABC ∆的周长为
A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB 【答案】D .
【解析】 试题分析：在ABC ∆中，应用正弦定理知sin sin sin BC AB AC A C B
==，即23sin sin sin sin sin sin 3
BC AB AC AB BC AC A C B A B C ++=====++，所以
23(sin sin sin )AB BC AC A B C ++=++3223[sin sin()]3
B B π=++- 6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，故应选D . 考点：1、正弦定理及其应用；2、三角恒等变换.
【思路点睛】本题考查正弦定理及其在解三角形中的应用和三角恒等变换，属中档题. 其解题的基本思路为：在ABC ∆中，由于已知一边、一角的大小，运用正弦定理可得出边与角的正弦之间的关系，然后运用等式的性质可求出ABC ∆的周长的表达式，再运用三角恒等变换将其变换为只含有角B 的表达式，进而得出所求的选项答案即可.
10.已知)(x f y =是奇函数，且满足0)(3)2(=-++x f x f ，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2
-=，则当]2,4[--∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）
A ． 1-
B ．31-
C ． 91-
D ．9
1 【答案】C .
考点：1、函数的奇偶性；2、二次函数在区间上的最值.
【思路点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式、求二次函数在闭区间上的最值和二次函数的性质的应用，重点考查学生分析问题、解决问题的能力，属中高档题.其解题的思路为：首先由函数)(x f y =是奇函数，且满足0)(3)2(=-++x f x f ，可得到等式(2)3()f x f x +=，从而得到11()(2)(4)39
f x f x f x =+=+，然后运用等式关系求出在[4,2]--上的函数()f x 的解析式；最后利用二次函数的图像及其性质求出二次函数在闭区间上的最值即可.
第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且
60,10,15===A b a ，则=B cos ．
【答案】36. 考点：1
、正弦定理的应用.
12.设⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=],1(,1]1,0[,)(2e x x
x x x f e (为自然对数的底数)，则dx x f e )(0⎰的值为． 【答案】43
. 【解析】
试题分析：因为231
0111114()ln 1001333e e e f x dx x dx dx x x x =+=+=+=⎰⎰⎰，所以应填43
. 考点：1、定积分的计算；2、分段函数.
13.若曲线234163x ax x y C --=：在1=x 处的切线与曲线x e y C =：2在1=x 处的切线互相垂直，则实数a 的值为．
【答案】13e
.
考点：1、利用导数研究曲线上某点切线方程.
14.若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在]1,2[-的最大值为4,最小值为m ，则实数m 的值为． 【答案】12或116
. 【解析】
试题分析：①当1a >时，()f x 在]1,2[-上单调递增，则函数()f x 的最大值为(1)4f a ==，最小值221(2)416
m f a --=-===；②当01a <<时，()f x 在]1,2[-上单调递减，则函数()f x 的最大值为2(2)4f a --==，解得12a =，此时最小值1(1)2m f a ===；综上所述，应填12或116
. 考点：1、指数函数的单调性及其应用.
【易错点晴】本题考查了指数函数的单调性和指数函数的最值，渗透了分类讨论的数学思想方法，重点考查学生思维的严密性、分析问题和解决问题的能力，属中档题.解答该题过程中最容易出现的错误是：没有考虑对底数a 进行分类讨论，要么只写出当1a >时或当01a <<时的答案，从而导致漏解，进而出现错误答案.
15.对于函数q px x x x f ++=||)(，现给出四个命题：
①0=q 时，)(x f 为奇函数；
②)(x f y =的图象关于),0(q 对称；
③0,0>=q p 时，方程0)(=x f 有且只有一个实数根；
④方程0)(=x f 至多有两个实数根
其中正确命题的序号为．
【答案】①②③.
【解析】
考点：1、命题的真假判断与应用；2、函数的单调性；3、函数的奇偶性4、函数与方程. 【易错点晴】本题考查了命题的真假判断及其应用、奇函数的图像的对称性和函数与方程等，考查学生分析问题、解决问题的能力，属中高档题. 解答该题应注意以下几个易错点：其一是在判断命题②时，不能将奇函数的图像的对称性与图像的平移变换联系起来，导致思路受阻，进而出现错误判断；其二是在判断命题③④时，不能有效地将函数的零点与方程的根的问题进行相互转化，从而导致错误判断.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分） 已知函数)0(212sin sin 23)(2>+-=ωωωx x x f 的最小正周期为π． (Ⅰ)求ω的值及函数)(x f 的单调递增区间；
(Ⅱ)当]2,0[π
∈x 时，求函数)(x f 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-
π+],k ∈Z ；(Ⅱ) 函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12
-]. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先运用倍角公式将函数)(x f 的解析式中半角化为整角，然后由公式2T πω=
求出ω的
值，
即求出了函数)(x f 的解析式，然后运用正弦函数的图像及其性质可求出函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 结合(Ⅰ)中所求函数)(x f 的解析式，问题转化为求区间上三角函数的最值问题，直接根据三角函数的图像 及其性质可得出函数)(x f 的取值范围．
考点：1、三角函数的图像及其性质；2、三角函数的值域.
【方法点晴】本题考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图像及其性质和三角函数的值域，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题. 三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强. 解决这类问题常用的方法之一就是化一法，化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用.
17.（本小题满分12分）
已知命题：p 方程0222=-+a ax x 在]1,1[-上有解，命题：q 只有一个实数0x 满足不等式
022020≤++a ax x ，若命题“∨p q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
【答案】a 的取值范围为(,2)
(2,)-∞-+∞. 【解析】
试题分析：首先分别根据已知条件解出命题p 和命题q 为真命题时，实数a 所满足的取值范围，然后由命 题间的相互关系知命题p 和命题q 均为假命题，再分别求出命题p 和命题q 为真命题时，实数a 所满足的 取值范围的补集，最后得出结论即可.
试题解析：由0222=-+a ax x 得0))(2(=+-a x a x ，∴2
a x =或a x -=，源∴当命题p 为真命题时12
≤a 或2||1||≤∴≤-a a . 又“只有一个实数0x 满足200220x ax a ++≤”，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a ∆=-=，∴0a =或2a =.∴当命题q 为真命题
时，0a =或2a =.∴命题“∨p q ”为真命题时，2a ≤.∵命题“∨p q ”为假命题，∴2a >或2a <-.即a 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞.
考点：1、二次函数的图像及其性质；2、一元二次不等式的解法；3、命题的逻辑连接词.
18.（本小题满分12分）
已知2)(,ln )(2
3+-+==x ax x x g x x x f ．
(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)对一切的),0(+∞∈x 时，2)()(2+'≤x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ))(x f 单调递增区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，e 1
；(Ⅱ)a 的取值范围是[)+∞-,2.
(Ⅱ)由题意:2123ln 22+-+≤ax x x x 即123ln 22++≤ax x x x ，
()+∞∈,0x 可得x x x a 2123ln --
≥，设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()2
2'213121231x x x x x x h +--=+-=，令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍)，所以当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时,()0'<x h ，∴当1=x 时,()x h 取得最大值,()x h max =2 2-≥∴a .
a ∴的取值范围是[)+∞-,2.
考点：1、导函数在研究函数的单调性中的应用；2、导函数在研究函数的最值中的应用.
19.（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且2,5
4
cos ==b B ． (Ⅰ)当
30=A 时，求a 的值；
(Ⅱ)当ABC ∆的面积为3时，求c a +的值． 【答案】(Ⅰ)3
5
=
a ；(Ⅱ)102=+c a .
考点：1、正弦定理；2、余弦定理.
【易错点晴】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，重点考查学生运用正、余弦定理解三角形在实际问题中的应用，属中档题. 解答该题应注意以下几个易错点：其一是第一问未注意到在三角形中内角的取值范围，易求出两解，进而出现错误；其二是第二问不能准确求解方程组，由于计算失误而导致错误. 20.（本小题满分13分）
已知函数e a ax e x f x
,0(1)(>--=为自然对数的底数)． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小值；
(Ⅱ)若0)(≥x f 对任意的R ∈x 恒成立，求实数a 的值．
【答案】(Ⅰ)函数)(x f 的最小值为l n (l n )l n 1l n 1.a
f a e a a a a a =--=--(Ⅱ)1a =.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用导数分析函数的单调性，根据0a >和0a ≤分类讨论得出函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)
中0a >时的单调性可知min ()(ln )f x f a =，即ln 10a a a --≥，构造函数()l n 1.g a a aa =--，由导函
考点：1、利用导数求函数的单调性；2、利用导数处理不等式的恒成立问题. 21.（本小题满分14分）
已知函数12
1ln )(2
+++
=x a x a x f ． (Ⅰ)当21-=a 时，求)(x f 在区间],1
[e e
上的最值；
(Ⅱ)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅲ)当01<<-a 时，有)ln(2
1)(a a
x f -+>恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)4
5
)1()(,421)()(min 2max ==+==f x f e e f x f ；（Ⅱ）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当01<<-a 时，)(x f 在),1
(
+∞+-a a
单调递增，在)1,
0(+-a a 上单调递减．当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减；（Ⅲ）a 的取值范围为11,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先求出函数)(x f 的定义域和导函数，然后利用函数的最值在极值处于端点出取得，即可 求出函数)(x f 在区间],1
[e e
上的最值；(Ⅱ)首先求出导函数'
()f x ，然后对参数a 进行分类讨论，分别利
用导数的正负判断函数在区间上的单调性即可；(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，当01<<-a 时，min ())1
a
f x f a -=+，
即原不等式等价于min ()1ln()2
a
f x a >+
-，由此解出该不等式即可得出所求a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）当2
1
-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ，∴x x x x x f 21221)(2-=+-='．∵)(x f 的定
义
考点：1、导数在研究函数的最值中的应用；2、导数在研究函数的单调性中的应用. 高
考
一
轮
复
习
微
课
视
频
手
机
观
看
地
址
：
http://xkw.so/wksp
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =⋅ ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()
()
2
2
5533
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。