最新人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．下列不等式错误的是（ ）
A ．ln 32<
B ．3ln 2e <
C ．ln π<
D ．15<
2．若函数()3212
33
f x x x =+-在 区间(),5a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5,0-
B ．()5,0-
C ．[)3,0-
D ．()3,0-
3．已知变量()()12,0,0x x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（e 2.71828=为自然对数的底数）（ ）
A ．e
B C ．
1
e
D ．1
4．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知
()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0
f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()
()2,00,2-
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．()(),20,2-∞-
D ．()
()0,22,+∞
5．设函数()2
1ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+
D ．()
(),10,-∞-+∞
6．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
7．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()
()2
40x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()2,00,2-⋃
B ．()(),22,-∞-⋃+∞
C ．()()
2,02,-⋃+∞
D ．()(),20,2-∞-⋃
8．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
9．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且
(1)f e =，则不等式(ln )f x x <的解集为（ ）
A ．(,)e +∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,) e
D ．(0,1)
10．已知()'f x 是定义在
上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x
f x f x e +=-，当1
x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()5
23e f f ->
B ．()()5
23f e f ->
C ．()()523e f f <-
D ．()()5
23f e f >-
11．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3
x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）
①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
12．已知函数()x
e f x ax x
=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式
()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞
B ．(),e -∞
C ．,
2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题
13．已知函数2
1()12
x
f x e x kx =---有两个极值点，则k 的取值范围是____________. 14．已知函数2ln ()a x
f x x x
=
-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()
1221
0f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 15．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1
()()2
f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，
()f x 的最小值为1，则a =________.
16．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为2-，则()()
000
lim
x f x x f x x
→--=△△△______.
17．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,
上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.
18．若函数sin ()2cos x
f x x
=
+，则()f x '=__________
19．已知函数()f x 的导函数为
'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________
20．已知函数()()2
21f x x xf '=+，则()1f 的值为__________．
三、解答题
21．已知函数()3
2
f x ax x bx =++(其中常数,a b ∈R )分别在0x =处和2x =处取得极值.
（1）若()f x 在区间(),1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.
（2）证明：对一切0x ≥，不等式2
2()x x e e x x f x --+-恒成立.
22．已知函数()ln f x x x =，()2
()g x x ax a R =+∈.
（1）设()f x 图象在点()1,0处的切线与()g x 的图象相切，求a 的值； （2）若函数2()()()f x F x g x x =
+存在两个极值点1x ，2x ，且123
2
x x -≤，求()()12F x F x -的最大值.
23．已知函数32()3f x x x =-.
（1）求()f x 在点(1,4)P --处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若()f x 的定义域为[1,]m -时，值域为[4,0]-，求m 的最大值. 24．已知函数12()ln e e x f x x x
=
-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1
(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln x ex
≥-
； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.
25．已知函数2e ()1
x
f x ax x =++，其中a R ∈.
（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；
（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明. 26．设函数()()2
ln 23f x x x =++.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）求()f x 在区间31,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 引入函数()ln x
f x x
=，利用导数确定它的单调性，然后由单调性判断各选项． 【详解】 考查函数()()2
ln 1ln ,x x
f x f x x x -='=
由()0f x '>，得0x e << 由()0f x '<得x e >，
所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 选项:
32A e <<,
()
2f
f <ln 2
2<，
ln 32∴<
故本选项正确，不符合题意； 选项B ：
22e <()(
f e f ∴>
即
ln
e e >
3ln 2e ∴<故本选项正确，不符合题意； 选项:
C e e π<<
f
f ∴<
<
ln π∴>
故本选项错误，符合题意； 选项D
154e << 154e <<
()
4f
f ∴>
2ln
>=
15∴>
故本选项正确，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查实数的比较大小．解题关键是引入函数ln ()x
f x x
=，由导数确定它的单调性，由单调性可判断各选项．
2．C
解析：C 【分析】
利用导数求出函数()f x 的极小值为()2
03
f =-
，由题意可知()0,5a a ∈+，再由()()0f x f =求得x 的值，数形结合可得出实数a 的取值范围.
【详解】
解：由题意，()()2
22f x x x x x '=+=+，
当2x <-或0x >时，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<. 故()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上是增函数，在()2,0-上是减函数， 所以，函数()f x 的极小值为()203
f =-. 作其图象如图，
令
32122
333
x x +-=-得3230x x +=，解得0x =或3x =-， 结合图象可知3050a a -≤<⎧⎨+>⎩
，解得，[)3,0a ∈-.
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数
()f x 的极小值点在区间(),5a a +内，通过求得()()30f f -=，数形结合得出实数a 所
满足的不等式组，综合性较强.
3．A
解析：A 【分析】
不等式两边同时取对数，然后构造函数()ln x
f x x
=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论. 【详解】
21122112ln ln x x x x x x x x <⇒<，()12,0,,0x x m m ∈>，
12
12
ln ln x x x x ∴
<恒成立， 设函数()ln x
f x x
=
，12x x <，()()12f x f x <， ()f x ∴在()0,m 上为增函数，函数的导数()2
1ln x
f x x
-'=
， ()00f x x e '>⇒<<，即函数()f x 的增区间是()0,e ，
则m 的最大值为e . 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，
211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇒<⇒
<，转化为求函数()ln x f x x
=的单调区间. 4．B
解析：B 【分析】
由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】
由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，
构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.
又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.
故选：B ． 【点睛】
本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出
{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单
调性解不等式．
5．B
解析：B 【详解】
()21
ln 2
f x x ax bx =--,
,
,由
得
，
()()()111
1ax x f x ax a x x
+-=
-+-=-', 若
,由
,得,当
时,
,此时
单调递增；
1x > 时,
,此时
单调递减；
所以是
的极大值点．
若
,则由,得
或
．
时
的极大值点, ,解得
．综上：,的取值范围时
．故选B ．
【点晴】
本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对
求导,得
,由
得
,将代入到导函数中,可得
()()()111
1ax x f x ax a x x
+-=
-+-=-',接下来分和
两种情况,结合函数的单
调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．
6．D
解析：D 【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】
解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：
22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-
则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：
()g x ∴在(0,)+∞单调递减，
由()()2
1x f x f -21x <-
()()2211x f x x f ∴-<-
即()()1g x g < 即1x >；
当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-
综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】
主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
7．D
解析：D 【分析】
构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】
构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()
ln ()ln f x f x x xf x g x xf x x
x
+''=
+'=
，
已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，
因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,
由()()2
40x f x ->得224040
()0()0
x x f x f x ⎧⎧->-<⎨
⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】
本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.
8．B
解析：B 【分析】
将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数
()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．
【详解】
将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13
k =-，所以，
()1
33
f k '==-，
由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，
()()()133331303g f f ⎛⎫
''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭
，故选B ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点．
9．C
解析：C 【分析】
由不等式()f lnx x <，令t lnx =，可知()()t f lnx x f t e <⇔<，令()
()x f x g x e
=，求导可得函数单调性，从而可解：10lnx x e <⇔<<， 【详解】
解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e <⇔<，
令()()x
f x
g x e =
，则
()()
()0x f x f x g x e '-'=>， 因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>
()g x ∴在R 上单调递增，
∴()()()
()11t t
f t f t e
g t g e <⇔
<⇔<110t lnx x e ⇔<⇔<⇔<<， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
构造函数()
()x f x g x e
=
，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】
构造函数()()x
f x
g x e =
，因为2(1)(1)x
f x f x e +=-，所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=， 则(1)(1)
g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，
因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()
()0x
f x f x
g x e
''
-=>， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->， 即
3
223(3)(2)(2)(3)
,f f f f e e e e
---->>， 即5
(3)(2)e f f ->，5
(2)(3)e f f ->， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】
本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1
cos 3
f x x =- 令()/
1cos 03f
x x =-=有1cos 3
x =；因为0
1cos 3x =，则0x 为函数()1
sin 3f x x x =-
的一个极值点.
当[]
0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/
0f x >，函数递增，则③
错误，；当()0,x x π∈时()/
0f
x <，函数递减，④正确．
故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B
12．D
解析：D 【分析】
由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2
x
g x e ax =-，可知函数()y g x =在区间
()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分
离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2x
e h x x
=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求
得实数a 的取值范围. 【详解】
函数()x
e f x ax x
=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，
()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2
x
g x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，
所以，函数()2
x
g x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，
则()20x
g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2x
e
a x
∴≤，
令()2x
e h x x
=，其中0x >，则()min a h x ≤.
()()2
12x e x h x x
-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12
e h x h ==，2e a ∴≤.
因此，实数a 的取值范围是,2
e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】求导令有两根即有两解令函数然后分析函数的单调性及最值确定的取值范围【详解】因为则若函数有两个极值点则有两根则只需满足有两解令则当时则在上递减；当时则在上递增；所以故只需故答案为：【点睛】本题 解析：()1,+∞
【分析】
求导，令()0x
f x e x k '=--=有两根，即x k e x =-有两解，令函数()x
g x e x =-，然
后分析函数()x
g x e x =-的单调性及最值，确定k 的取值范围.
【详解】 因为2
1()12
x
f x e x kx =-
--，则()x f x e x k '=--， 若函数2
1()12
x f x e x kx =-
--有两个极值点，则()0f x '=有两根， 则只需满足x k e x =-有两解， 令()x
g x e x =-，则()1x
g x e '=-，
当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞上递减； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上递增； 所以()()min 01g x g ==， 故只需1k >. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】
本题考查根据函数极值点的个数求参数的取值范围，难度一般，解答的一般方法如下： 第一步：求函数()f x 的导函数()f x '；
第二步：令()0f x '=，将问题转化为根据方程根的个数确定参数的取值范围问题，或利用参变分离法将问题转化为()k g x =的模型，
第三步：讨论函数()g x 的单调性及极值最值，确定k 的取值范围.
14．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函 解析：(,24]-∞
【分析】
依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '
≤恒成立，再根据参变分离，即可得解. 【详解】
解：由()()
1221
0f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30a
F x xf x a x x F x x x
'=
=-=
-≤，∴33a x ≤.
∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤⨯=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞. 故答案为：(,24]-∞. 【点睛】
本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
15．1【分析】根据函数的奇偶性确定在上的最大值为求导函数确定函数的单调性求出最值即可求得的值【详解】是奇函数时的最小值为1在上的最大值为当时令得又令则在上递增；令则在上递减得故答案为：1【点睛】本题考查
解析：1 【分析】
根据函数的奇偶性，确定()f x 在(0,2)上的最大值为1-，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a 的值． 【详解】
()f x 是奇函数，(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，
()f x ∴在(0,2)上的最大值为1-，
当(0,2)x ∈时，1
()f x a x
'=-， 令()0f x '=得1x a =
，又12
a >，1
02a ∴<<，
令()0f x '>，则1
x a <
，()f x ∴在1(0,)a 上递增；令()0f x '<，则1x a
>， ()f x ∴在1
(a
，2)上递减，1
11()()1max f x f ln a
a
a
a ∴==-=-，1
0ln a
∴=，得1a =． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．2【分析】根据函数在处导数为2得然后对进行变形利用导数定义即可得出为2【详解】解：依题意有所以故答案为：2【点睛】本题考查导数的定义关键是导数定义的等价变形属于基础题
解析：2 【分析】
根据函数()y f x =在0x 处导数为2得()()
000
lim
2x f x x f x x
→-=-△+△△，然后对
()()
000lim
x f x x f x x →--△△△进行变形，利用导数定义即可得出为2.
【详解】 解：依题意有()()
000
lim
2x f x x f x x
→-=-△+△△，所以
()()()()()()
0000000
00lim
lim lim 2x x x f x x f x f x x f x f x x f x x x x
→→→-----=-=-=△△△△△+△△-△△.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查导数的定义，关键是导数定义的等价变形，属于基础题.
17．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数
解析：43. 【分析】
先求导数，判断函数单调性和极值，结合3
2
()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,
上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】
32()26f x x x m =-++，
2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,
令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，
当20x -<<时，()0,()f x f x '
<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '
>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，
所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,
上的最小值， 即(0)3f m ==，
函数在[]22-,
上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，
∴函数在[]22-,上的最大值为43.
故答案为：43 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.
18．【分析】由导数的运算公式和导数的四则运算法则准确运算即可求解得到答案【详解】由导数的运算公式和导数的四则运算法则可得函数的导数为【点睛】本题主要考查了导数的运算法则的应用其中解答中熟记导数的运算公式
解析：
2
12cos (2cos )x
x ++
【分析】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，可得函数()f x 的导数为
2222
2
(sin )(2cos )sin (2cos )2cos 12cos (cos sin ()(2cos )(2cos )2cos )x x x x x x x f x x x x
x ''+-+++'==++=++. 【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则的应用，其中解答中熟记导数的运算公式和导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力
解析：-1 【解析】 【分析】
首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()()1
'2'1f x f x
=+
， 令1x =可得：()()1'12'11
f f =+，则()'11f =-. 【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．-3【解析】由函数则令所以解得即所以
解析：-3 【解析】
由函数()()2
21f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，
令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()2
4f x x x =-，
所以()2
11413f =-⨯=-.
三、解答题
21．（1）[]0,1；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据题意(0)0
(2)1240f b f a b ==⎧⎨='='++⎩，解得,a b ，从而可得解析式，利用导数求出函数
的单调递增区间()0,2，只需0
12m m ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式即可.
（2）将不等式转化为()31203
x x
g x x x e e -=-+-≥在[0,)+∞上恒成立，利用导数求出
()min 0g x =，即证.
【详解】
（1）由()3
2
f x ax x bx =++知，()2
32f x ax x b '=++，
因为()f x 在0x =处和2x =处取得极值，
所以(0)0(2)1240f b f a b ==⎧⎨='='++⎩，解得130
a b ⎧=-⎪
⎨⎪=⎩，
所以()3
213
f x x x =-
+，()22f x x x '=-+， 所以令()0f x '>，02x <<，令()0f x '<，0x <或2x >， 所以()f x 在()0,2上单调递增，在(),0-∞和()2,+∞上单调递减， 若()f x 在(),1m m +上单调递增，
则012m m ≥⎧⎨+≤⎩
解得01m ≤≤，
即实数m 的取值范围[]0,1. （2）当0x ≥时，()22x
x
e e
x x f x --+-≥恒成立，
即2321
23
x x
e e
x x x x --+--+在[0,)+∞上恒成立，
整理得，
3
1203
x x x x e e --+-≥在[0,)+∞上恒成立，
令()3
123
x x g x x x e e -=
-+-，[0,)x ∈+∞， ()222x g x x e '=-+，当[0,)x ∈+∞时，()0g x '≥恒成立，
所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()()min 00g x g ==， 所以()0g x ≥，即3
1203
x x x x e e --
-+-≥在[0,)+∞上恒成立， 所以当0x ≥时，()22x
x
e e x x
f x --+-≥恒成立.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间以及最值，考查了转化能力、分析能力. 22．（1）3a =或1-；（2）15
4ln 24
-. 【分析】
（1）利用导数的几何意义求出()f x 图象在点()1,0处的切线方程，再根据判别式可求得a 的值；
（2）利用12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根，可得12x x +，12x x ，不妨设1201x x <<<，根据单调性可得12()()F x F x >，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数可求得最大值. 【详解】
（1）()ln f x x x =，1
()ln 1ln f x x x x x
'=+⋅
=+， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线的斜率为(1)1f '=， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线方程为1y x =-，
联立2
1y x y x ax
=-⎧⎨=+⎩，消去y 并整理得2
(1)10x a x +-+=， 依题意可得2
(1)40a ∆=--=，解得3a =或1-. （2）2()
()()f x F x g x x
=
+22ln x x ax =++(0)x >，2222
()2x ax F x x a x x
++'=++=
(0)x >， 依题意可得12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根，
所以122
a
x x +=-
，121=x x ，
不妨设1201x x <<<，则当12x x x <<时，2220x ax ++<，则()F x '0<，()F x 在
12(,)x x 上单调递减，则12()()F x F x >，
所以1212()()()()F x F x F x F x -=-2
2
1112222ln 2ln x x ax x x ax =++---
22
1
12122
()2ln
x x x a x x x =-+-+ 2
222222222
11112()()2ln x x x x x x x =
--+-+ 22
2222
12ln x x x =-
-， 令2
2t x =，则1t >，
又1232x x -≤
，所以22
132x x -≤，即2
222320x x --≤，解得212x <≤，所以14t <≤，
设1()2ln h t t t t =--(14)t <≤，则2
22
12(1)()10t h t t t t
-'=+-=≥， 所以()h t 在(1,4]上单调递增，
所以当4t =时，()h t 取得最大值115
()42ln 44ln 244
h t =--=-， 即()()12F x F x -的最大值为15
4ln 24
-. 【点睛】
关键点点睛：设1201x x <<<，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数求最大值是解题关键.
23．（1）950x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2)；（3）3. 【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程； （2）令()0f x '<和()0f x '>分别可得单调递减和递增区间；
（3）根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，结合(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；
(3)0f =以及值域为[4,0]-可得03m ≤≤，从而可得结果.
【详解】
（1）由32()3f x x x =-，得2
()36f x x x '=-，所以'(1)9f -=
所以切线方程为49(1)y x +=+，即：950x y -+=
（2）令2
()360f x x x '=-<，得02x <<，令()0f x '>，得0x <或2x >，.
所以()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2).
（3）由（1）知，函数()f x 在区间(1,0)-和(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减，且(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =.
所以当03m ≤≤时，()f x 的值域为[4,0]-；当3m >时，()(3)0f m f >=，()f x 的值域为[4,()]f m -. 所以m 的最大值等于3. 【点睛】
关键点点睛：第3问根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，利用(1)4f -=-；(0)0f =；
(2)4f =-；(3)0f =以及值域为[4,0]-解题是关键.
24．（Ⅰ）12
()+10e e
x y -1--=；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】
试题分析：（1）求导()2112x f x e x ex =-
-+'，得到切线斜率()
1
11e
f '=-，利用点斜式得到直线的方程；（2）“要证明()1ln 0x x ex ≥-
>”等价于“1
ln e
x x ≥-”，构造新函数确定函数的最小值大于等于1
e
-即可；（3）曲线()y f x =是位于x 轴下方即证明
(f x ) 0<，利用（Ⅱ）可知()1111x x x f x e ex x e e ⎛⎫≤
-=- ⎪⎝⎭，转证()1
0x x k x e e
=-<即可. 试题
函数的定义域为()0,+∞，
()2
112
x f x e x ex =-
-+'. （Ⅰ）()111e f '=-，又()1
1e f =-，
曲线()y f x =在1x =处的切线方程为
111
11e e e
y x ⎛⎫+
=--+ ⎪⎝⎭， 即121+10x y e e ⎛⎫
---=
⎪⎝⎭
.
（Ⅱ）“要证明1ln (0)x x ex ≥->”等价于“1
ln e
x x ≥-” 设函数()ln g x x x =.
令()=1+ln 0g x x '=，解得1
x e
=
.
因此，函数()g x 的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.故1ln x x e
≥-. 即1ln x ex
≥-
. （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下： 由（Ⅱ）可知1
ln x ex
≥-，所以()1111x x x f x e ex x e e ⎛⎫≤-
=- ⎪⎝⎭. 设()1x x k x e e =
-，则()1x
x
k x e
='-. 令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >.
所以()k x 在()0,1上为增函数，()1
+∞，上为减函数. 所以当0x >时，()()1=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，()10k =. 又因为()1
10e
f =-
<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. 点睛：在导函数中证明不等式的方法： (1)直接构造新函数，转为新函数的最值问题；
(2)构造两个函数，转化为两个函数的最值比较，即最小值大于最大值； （3）利用上一问进行合理的放缩，简化后再进行证明． 25．（1）{|,x x ∈R 且1}x ；函数()f x 有极小值(0)1f =;（2）函数()g x 存在两个
零点. 【分析】
若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e
()1
x f x x =+，故可求得函数
()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而
确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数
2e ()11
x
g x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由
单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数． 【详解】
（1）函数e ()1
x
f x x =+的定义域为{|x x R ∈，且1}x
.
22e (1)e e ()(1)(1)
x x x
x x f x x x +-==++'. 令()0f x '=，得0x =，
当x 变化时，()f x 和()'
f x 的变化情况如下：
故的单调减区间为，；单调增区间为)． 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. （2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：
由题意，函数2e ()11
x
g x x x =-++，
因为 2
2
13
1()02
4
x x x ++=++
>， 所以函数()g x 的定义域为R .
求导，得22222e (1)e (21)e (1)
()(1)(1)
x x x x x x x x g x x x x x ++-'+-==++++， 令()0g x '=，得10x =，21x =，
当x 变化时，()g x 和()'g x 的变化情况如下：
故函数的单调减区间为；单调增区间为，)．
当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e
(1)13
g =-. 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =， 所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =， 所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠.
因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2
e (2)107
g =->，
所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）.
26．（1）单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭；（2）最大值为
17ln 162+，最小值为1
ln 24+. 【分析】
（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令()0f x '=求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知()f x 在区间31,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
求出得到函数的最小值，又因为31044f f ⎛⎫⎛⎫
--< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，得到()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为
14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
求出得到函数的最大值. 【详解】
解:（1）由题意得()()141232223232x x f x x x x x ⎛
⎫++ ⎪⎛
⎫⎝⎭'=+=>- ⎪
++⎝
⎭. 令()0f x '≥，解得21x ≥-
或312
x -<≤-；令()0f x '<，解得112x -<<-. 所以函数()f x 单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫-
--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭.
（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.
所以当1
2x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224
f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.
又393ln 4162f ⎛⎫-
=+ ⎪⎝⎭，11
7ln 416
2f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
而319
317131ln ln ln ln 0
44162162272f f ⎛⎫⎛⎫-
-=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以当14
x =
时，函数()f x 取得最大值为：17
ln 162+. 即()f x 在区间31,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.。