2018_2019学年高二数学上学期第一次联考1月试题文

2018—2019学年度上学期联考试卷
高二数学（文科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．
２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）命题“对32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是( )
（A ）不01,20300≤+-∈∃x x R x （B ）01,20300≤+-∈∃x x R x
（C ）对01,23>+-∈∀x x R x （D ）01,20300>+-∈∃x x R x
（2）在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3321=++a a a ，则有（ ）（A ）3
,21=-=d a （B ）3,21-==d a （C ）2,31=-=d a （D ）2,31-==d a
（3）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若)cos 31(cos 3B c C b -=，则=A C s i n :s i n （）
（A ）32（B ）34（C ）3（D ）2
3 （4）已知0,0a b >>,直线1ax by +=过点(1,3),则
113a b
+的最小值为( ) （A ）4（B ）3（C ）2（D ）1 （5）已知实数0,a b m R >>∈，则下列不等式中成立的是（）
（A ）b m b a m a +>+（B ）11()()22a b <（C ）m m a b
>（D ）22a b --> （6）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）
（A ）23（B ）2
2（C ）21（D ）21- （7）点(,)P x y 为不等式组220380210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
所表示的平面区域上的动点，则y x 最大值为（） （A ）13
（B ）1（C ）2（D ）3 （8）已知函数23,0(),0
x m x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，给出下列两个命题，p ：存在(,0)m ∈-∞，使得方程
()0f x =有实数解；q ：当13
m =时，((1))0f f =，则下列命题为真命题的是（ ） （A ）p q ∧（B ）()p q ∨⌝（C ）()p q ∧⌝（D ）p q ⌝∧
（9）已知椭圆22
22+1x y a b
=（0a b >>）的左顶点、上顶点和左焦点分别为,,A B F ，中心为O ， 其离心率为12
，则:ABF BFO S S ∆∆=（） （A ）1:1（B ）1:2（C
）(2:2（D
2
（10）用数学归纳法证明()+∈≥++++++++N n n n n n n ,2
11312111 时，k n =到1+=k n
时，不等式左边应添加的项为（）
（A ）()121+k （B ）2
21121+++k k （C ）
11221121+-+++k k k （D ）2111221121+-+-+++k k k k
（11
）已知离心率2
e =:C 22221x y a b -=（0,0a b >>）右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于,O A 两点，若AOF ∆的面积为4，则a 的值为( ）
（A
）B ）3（C ）4（D ）5
（12）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121n n a S n +=++（n N *∈），
若对任意的n N *∈，
123111120n
n a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立，则实数λ的取
值范围为（） （A ）
1]3∞（-,（B ）1]4∞（-,（C ）7(,]12-∞（D ）1]2
∞（-, 第II 卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
（13）设公比为q （0q >）的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2232S a =+，
4432S a =+，则q =.
（14）已知0338:2>--x x p ,q ：1x a ->
（0a >）,若p 是q 的充分不必要条件，则a 的
取值范围为__________. （15）函数3sin y x =+__________.
（16）已知椭圆22
22+1x y a b
=（0a b >>）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，
若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则该椭圆离心率e 的取值范围为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）(本小题满分10分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1cos 23
A =-
，c =
sin A C =.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若A ∠为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.
（18）（本小题满分12分） 已知函数()3f x x =-； （Ⅰ）求不等式()32f x x ≥--的解集； （Ⅱ）若()24f x m x ≤-+的解集非空，求m 的取值范围.
（19）(本小题满分12分)
已知数列{}n a 为等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
（20）(本小题满分12分)
已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）令()()n
n n n n b a c 211++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . （21）（本小题满分12分） 已知动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线3x =
的距离的比是常数
3. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程C ；
（Ⅱ）直线l 交曲线C 于,A B 两点，若圆P ：222
(1)(1)x y r -++=以线段AB 为直径，求圆 P 的方程.
（22）（本小题满分12分） 设椭圆1:2222=+b
y a x C ()0>>b a 的离心率是22，过点()1,0P 的动直线L 于椭圆相交于B A ,两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）在y 上是否存在与点P 不同的定点,Q 使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求
Q 的坐标；若不存在，说明理由.
2018—2019学年度上学期联考试卷
高二数学（文科）试卷参考答案
一、选择题
1. D
2.A
3.C
4. A
5. B
6. C
7. B
8. D
9. A10. C 11. C12. B
二．填空题
13. 32 14. (]4,0 15. 41 16.[1]2
三、解答题：
（17）(Ⅰ)正弦定理C
c A a sin sin =，…………………………2分
得a ==，…………………………4分 （Ⅱ）∵31sin 212cos 2-=-=A A ，且2
0π<<A ∴36sin =A ，3
3cos =A ………………………….5分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得5b =，…………………………7分
∴1sin 22
ABC S bc A ∆==…………………………10分 （18）（Ⅰ）()32f x x ≥--即为323x x -+-≥，
当2x ≤时，得253x -+≥，则1x ≤，…………………………2分
当23x <<时，无解…………………………4分
当3x ≥时，得253x -≥，则4x ≥，
综上(][)+∞∞-∈,41, x …………………………6分 （Ⅱ）()24f x m x ≤-+的解集非空即4+32x x m ++≤有解， 等价于min 2(4+3)m x x ≥++，…………………………8分 而4+3(4)(3)7x x x x +-≥+--=.…………………………10分 ∴27m ≥，72
m ≥.…………………………12分 （19）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，∵24a =，∴3=4a q ，244a q =．
∵32a +是2a 和4a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+．…………………………1分 即22(42)44q q +=+，化简得220q q -=．…………………………3分 ∵公比0q ≠，∴2q =．…………………………4分
∴222422n n n n a a q --==⨯=（n N *
∈）.…………………………6分 （Ⅱ）∵2n n a =，∴22log 121n n b a n =-=-．…………………………7分
∴221n n n a b n +=+-．…………………………8分 23(222++2)(13521)n n T n =+++++++-
2(12)(121)122
n n n -+-=+-…………………………10分 1222n n +=+-…………………………12分
（20）(Ⅰ)当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+…………………………2分
当1=n 时111
1==S a ，符合上式所以65n a n =+…………………………3分 则⎩⎨⎧+=+=322
211b b a b b a ，得⎩⎨⎧==341d b 所以13+=n b n
…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1
1(1)3(1)2(2)n n n n n
n a c n b +++==+⋅+…………………………8分
()[]1322123223+⨯+++⨯+⨯⨯=n n n T
()[]24321232232+⨯+++⨯+⨯⨯=n n n T
两式作差得：232n n T n +=⋅…………………………12分
（21）(Ⅰ)
=，…………………………1分 整理得：22
132
x y +=， ∴点M 的轨迹方程为C ：22
132
x y +=…………………………4分 (Ⅱ)∵圆P 以线段AB 为直径，∴,A B 的中点为(1,1)P -，……………5分
由题意知直线AB 的斜率存在，
设直线l 的方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x +=， 由22(1)113
2y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(23)6(1)3(1)60k x k k x k +-+++-=， 0∆>恒成立，1226(1)23k k x x k ++=+，21223(1)623k x x k
+-=+，……………………7分
∵122x x +=，∴
26(1)223k k k +=+，解得23
k =，…………………………8分 ∴122x x +=，12710x x =，…………………………9分
∴12AB x =-=
==，…………………………11分 ∴22113()230
r AB ==， ∴圆P 的方程为2213(1)(1)30
x y -++=…………………………12分 （22
）（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点±（）
，
因此，解得2,a b =
所以椭圆E 方程为22
142
x y +=；…………………………4分 （Ⅱ）设Q 点的坐标为00,y （）
， 当直线l 与x 轴垂直时，直线AQ 与BQ 的倾斜角均为90︒，满足题意， 此时0y R ∈，且01y ≠…………………………5分
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立221142
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)420k x kx ++-=， 其判别式0∆>， ∴2
122412k x x k
+=-+，122212x x k =-+，…………………………7分 ∵直线AQ 和直线BQ 的倾斜角互补，
∴0AQ BQ k k +=，…………………………8分 ∴102012
0y y y y x x --+=， 即
10201210kx y kx y x x +--+=， 整理得120122(1)()0kx x y x x +-+=，…………………………10分 把2
122
412k x x k +=-+，122212x x k =-+代入得0(2)0k y -=， ∵k R ∈，02y =，即(0,2)Q ，
综上所述存在与点P 不同的定点(0,2)Q 满足题意。

…………………………12分。