高中 2021届一轮复习数学新高考新题型专练

数学新高考新题型专练：
(7)空间向量与立体几何
1.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，则()
A.直线1DD 的一个方向向量为()
0,0,1B.直线1BC 的一个方向向量为()
0,1,1C.平面11ABB A 的一个法向量为()
0,1,0D.平面1B CD 的一个法向量为()
1,1,12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M N ,分别为棱11C D ，1CC 的中点，则()
A.A M N B ,,,四点共面
B.平面ADM P 平面11CDD C
C.直线BN 与1B M 所成角的为60°
D.BN P 平面ADM
3.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则(
)
A.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为
B.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35
C.1A B ⋂平面11B D C =∅
D.点1B 到平面11A BD 的距离为12
5
4.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1,,45AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的()
A.A D BC
'⊥ B.三棱锥A BCD '-的体积为
22
C.CD ⊥平面A BD
'D.平面A BD '⊥平面A DC
'5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，
1C 重合）
，过点P 作平面α分别与棱ABC CD ，交于M N ，两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是（）
A ．1A C ⊥平面α
B ．存在点P ，使得1A
C //平面α
C ．存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为5
3
D ．用过P ，1M D ，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
6.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是()
A.DP 的最小值为35
5
B.DP
C.
1AP PC +
D.1AP PC +7.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点,,,,F B E G H 为过三点,,B E F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（）
A.//HF BE
B.三棱锥1B BMN -的体积为6
C.直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45︒
D.11:1:3
D G GC =8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是()．
A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线
B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线
C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大
D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小
9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是11,AB A D 的中点，下列正确的结论有()
A.1
MN BD P B.MN P 平面11
BB D C.BD CD
⊥D.四棱锥111D BB C C -的外接球的表面积等于12π
10.如图甲所示，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,ADE CDF BEF △△△分别沿,,DE DF EF 折起，使,,A B C 三点重合于点P (如图乙所示)，则下列结论正确的是()
A.PD EF
⊥
B.平面PDE⊥平面PDF
C.平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为1
3 D.点P在平面DEF上的投影是DEF
△的外心.
答案以及解析
1.答案：ABC
解析：111,(0,0,1),AA DD AA =∴uuu r Q P A 正确；111,(0,1,1),AD BC AD =∴uuu r P B 正确；AD ⊥平面
11,(0,1,0),ABB A AD =∴uuu r C 正确；1(1,1,1)AC =uuu r ，显然与平面1B CD 不垂直，∴D 错误.
2.答案：BC
解析：如图所示，对于A 中，直线,AM BN 是异面直线，故A M N B ,,,四点不共面，故A 错误；
对于B 中，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得AD ⊥平面11CDD C ，
所以平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；
对于C 中，取CD 的中点O ，连接,BO ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D 中，因为BN P 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误.故选：BC.
3.答案：ACD
解析：依题意11115,CB CD B D ===由于11A B CD P ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.在三角形11CB D 中，222
1155cos
5
B D
C +-∠==，所以异面直线1A B 与11B
D 所成角的余弦值为225.故A 选项正确，B 选项错误.
由于111,A B CD A B ⊄P 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1A B P 平面11B D C ，故C 选项正确.
设点1B 到平面11A BD 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，
所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125
h =，故D 选项正确.故选：ACD.
4.答案：CD
解析：如图所示：E 为BD 中点，连接'A E ，
AD BC P ，1AD AB ==，AD AB ⊥，得到45DBC ADB ∠=∠=︒，又45BCD ∠=︒，故BCD V 为等腰直角三角形，
平面A BD '⊥平面BCD ，CD BD ⊥，所以CD ⊥平面A BD '，所以C 正确；E 为BD 中点，'A E BD ⊥，则'A E ⊥平面BCD ，所以A E BC '⊥，如果A D BC '⊥，则可得到BC ⊥平面A BD '，故BC BD ⊥与已知矛盾.故A 错误；
三棱锥A BCD '-的体积为11223226
S =⨯=.故B 错误；
在直角三角形'A CD 中，222'''A C CD A D A C =+∴=，
在三角形'A BC 中，'1,2,'A B BC A C ===满足
222''''BC A B A C BA CA =+∴⊥，
又''BA DA ⊥，所以'BA ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故D 正确.综上所述：答案为CD.
5.答案：ACD
解析：连接11,,AD D P AM DB ，，
易得111,//,////,//AD PM C PM C PN DB C D MN .
对于A ，可得正方体中1A C ⊥面1DBC ，即可得1A C ⊥平面α，故A 正确.对于B ，可得面1//C DB 面PMN ，故1AC 不可能平行面PMN .故错.
对于C ，1A C ⊥ 平面α，且153A C =>，所以存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53
，故正确.
对于D ，用过1,,P M D 三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形11,PMAD PM AD ≠，四边形1PMAD 一定是梯形，故正确
.
故选：ACD.
6.答案：AD
解析：本题考查空间点，线、面的关系.求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易
知11A B A D BD ===，所以1A B
边上的高为h =连接111,A C BC ，得11A BC △，以1A B 所在直线为轴，将11A BC △所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为'C ，连接AC '，则AC '
即为所求的最小值，易知1112,AA A C AA C ''==∠=
，所以AC '=.7.答案：AD
解析：对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确；由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 的中点，故111112131,,,,2322
MA HD D G GC C N =====，对于B 选项，11111111134243232
B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断
错误；对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan NMB 13B N B M ∠=
=≠，故C 选项判断错误；对于D 选项，根据前面计算的结果可知1113,22
D G GC =
=，故D 选项判断正确.8.答案：A C
解析：因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；
平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜交，
所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；
F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB 点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选：A C.
9.答案：BD
解析：如图，取11A B 的中点K ，连接,MK NK ，则111,NK B D MK BB P P 且1111,NK MK K B D BB B ⋂=⋂=，∴平面MKN P 平面11BB D ，而MN ⊂平面MKN ，故MN P 平面11BB D ，故选项B 正确；取11B D 的中点O ，连接,ON OB ，则OB MN P ，而OB 与1BD 相交，故MN 与1BD 是异面直线，故选项A 错误；四棱锥111D BB C C -的外接球即正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其直径为正方体的体对角线，则直径
2R R ===224π4π12πS R ==⨯=
球，故选
项D 正确；由于11BD B D P ，连接1B C ，则11B CD V 为等边三角形，11B D ∴与1CD 的夹角是60°，则BD 与1CD 的夹角是60°，故选项C 错误，故选BD.
10.答案：ABC
解析：对于A 选项如图取EF 的中点H 连接,PH DH
由PEF △和DEF △为等腰三角形得,PH EF DH EF ⊥⊥又PH DH H ⋂=所以EF ⊥平面PDH 所以PD EF ⊥故A 正确.
对于B 选项根据折起前后可知,PE PF ，PD 三线两两垂直，
于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确
对于C
选项，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，
设图甲中的2AB =，则(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(1,2,0)P E F D EF FD =-=- 易知
(0,2,0)PD = 为平面EFD 的发向量为(,,)n x y z = ，则00
n EF n FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x z x y -=⎧⎨-+=⎩令2x =，则1,2y z ==，则(2,1,2)n = 为平面EFD 的一个法向量，
21cos ,233||||PD n PD n PD n ⋅<〉===⨯ .。