高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期第一次阶段测试数学文试卷

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期第一次阶段测试数学（文）试卷
时间：.10.20 满分：160 分 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知全集U x 1 x 8 ， A x 2x 1 3，x U ，则 CU A ▲ ．
2．复数 1 (i 是虚数单位 ) 的实部为▲ ． 1+2i
3．已知命题 p : x (0, ), x2 x 2, 则命题 p 的否定是▲ ．
4．函数 f (x) 的定义域是[1,1] ，则函数 f (log 1 x) 的定义域为▲ ．
2
5．若 AB (3, 4) ， A 点的坐标为 2, 1 ，则 B 点的坐标为▲ ．
6．已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题：①若 ∥ ，则 l m ；②若 ，则 l∥m ；③若 l∥m ，则 ； ④若 l m ，则 ∥ .以上命题中，正确命题的序号是▲ ．
7．等比数列an 的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比为▲ ．
8．已知向量 a (1,2),b (0,1) ，设 u a kb ， v 2a b ，若 u // v ，则实数 k 的值为▲ ．
9．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等差数列．若其对角 2
线长为 6 ，则 b 的最大值为▲ ．
10．将函数 f (x) = tan(x + p )图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍得到函数 g(x) 的图像， 4
若
g(x0 )
2
，则
f
( x0
4
)
的值是▲．
11 ． 已 知 平 面 上 三 个 向 量 OA ， OB ， OC ， 满 足 OA 1 ， OB 3 ， OC 2 ，
OA OB 0 ，则 CA CB 的最大值为▲．
12．已知函数 f x =ex ，且函数 f x 与 g x 的图像关于点 1, 2 对称，若 f x g x m 恒成
立，则 m 的取值范围为▲ ．
13．若数列 an 满足 an1 an1 2an n 2 ，则称数列 an 为凹数列．已知等差数列 bn 的公差
为
d
， b1
4
，且数列

bn n

是凹数列，则
d
的取值范围为▲
．
14．设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， x R ，都有 f (2 x) f (2 x) ，且当 x [0, 2] 时，
f (x) 2x 2 ，若函数 g(x) f (x) loga (x 1) a 0, a 1 在区间 1, 9 内恰有三个不


同零点，则实数 a 的取值范围是▲ ．
二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 14 分）
已知向量 m (sinx,cosx), n (cosx,cosx)( 0) ，设函数 f (x) m n ，且 f (x) 的最小
正周期为 ．
⑴求 f (x) 的单调递增区间； ⑵先将函数 y f (x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，然后将图象向下
平移1个单位，得到函数 y g(x) 的图象，求函数 y g(x) 在区间上 [0, 3 ] 上的取值范 4
围．
16．（本题满分 14 分）
在如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 是正方形， EA 面 ABCD ， EF // AD ，且 AB 2 ，
AE 2 ， EF 1 . ⑴若 AC 与 BD 交于点 O ，求证: EO // 面FCD ；
⑵求证： DE 平面 ABF . 17．（本题满分 14 分）
已知函数 f (x) sin 2 x 2 3 sin x cos x sin(x ) sin(x ) （ x R ）.
4
4
(1)求 f (x) 的最小正周期和单调增区间；
(2)在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，角 A 为锐角，若 f ( A) f ( A) 2 ，
b c 7 ， ABC 的面积为 2 3 ，求 a 边的值.
18．（本题满分 16 分） 如图，扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠ AOB 的圆心角为 2 ，半径 OA 为 1km.为了便于
3 游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路由弧 AC、线段 CD
及线段 BD 组成，其中 D 点在线段 OB 上(不包括端点)，且 CD // AO .设 AOC . ⑴ 用 表示 CD 的长度，并写出 的取值范围； ⑵ 当 为何值时，观光道路最长？
19．（本题满分 16 分）
已知函数 f (x) x2 1 x2 kx ，且定义域为 0, 2 . ⑴求关于 x 的方程 f x kx 5 在 0, 2 上的解； ⑵若 f (x) 是定义域 0, 2 上的单调函数，求实数 k 的取值范围； ⑶若关于 x 的方程 f (x) 0 在 0, 2 上有两个不同的解 x1, x2 ，求 k 的取值范围.


20．（本题满分 16 分）
已知非零数列an 满足 a1 1 ， anan1 an 2an1 n N * .
⑴求证：数列
1
1 an

是等比数列；
⑵若关于 n 的不等式
1
1
n
log2
1
1 a1

n
log2
1
1 a2

1
m 3 有解，求
n
log2
1
1 an

整数 m 的最小值；
⑶在数列
1
1 an
1n

中，是否存在首项、第
r
项、第
s
项 1
r
s
6
，使得这三项依次
构成等差数列？若存在，求出所有的 r 、 s ；若不存在，请说明理由. 高三文科数学参考答案及评分意见
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1．2,8 2． 1 3． x (0, ), x2 x 2
5
4．[1 ,2] 5． 1,3 6．①③7．－2 或 1
2
8． 1 9．210． 3 11． 2 2 2
2
4
12． , 2e 413． (, 4] 14． (1 , 1) ( 3, 7 )
95
二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分）
15．（本小题满分 14 分）
解：⑴ f x =m n sinx cosx cos2 x 1 sin 2x 1 cos 2x
2
2
2 2
sin

2
x
4

1 2
，
………………………2 分
又 T 2 ， 1， 2
………………………4 分
故 f x 的单调递增区间是[ 3 k , k ], k Z ，………………………7 分
8
8
⑵ f (x)
2 2
sin(2x
) 4
1 2
横坐标纵伸坐长标为不原变来的2倍
f1 ( x)
2 sin(x ) 1 ……9 分
2
42


向下平移1个单位 g(x) 2 sin(x ) 1 ， ………………………11 分
2
42
x [0, 3 ], x [ , ] sin(x ) [0,1] ，
4
44
4
2 sin(x ) 1 [ 1 , 2 1] ， g(x) 的取值范围为[ 1 , 2 1] .…………14 分
2
4 2 22 2
22 2
16．（本题满分 14 分）
证明：⑴如图，取 CD 中点 G ，连 OG ， FG ，
在 CAD 中，因为 O, G 分别是 CA, CD 的中点，
OG ∥ AD ，且 OG 1 AD ，……………………2 分 2
又由已知得， EF ∥ AD ，且 EF 1 AD ， 2
EF // OG ，四边形 OGFE 是平行四边形， EO // FG ， ………………………5 分
又 EO 平面FCD ， FG 平面FCD ， EO // 平面FCD ………7 分 ⑵设 ED AF M ，在四边形 ADFE 中， EF EA ， FEA EAD 90 ，
EA AD FEA EAD ，EAF ADE ，AMD 90 ，即 DE AF ，……………10 分 又 EA 面 ABCD ， AB 面 ABCD ， EA AB ， 又 AD AB ， AB 面 EADF AB DE ，………………………12 分
DE AF ， AB AF A ， DE 平面 ABF .………………………14 分
17．（本题满分 14 分）
解：(1)f(x)=sin2x +
1 3sin2x + 2( sin2x
cos2x)(或者 f(x)=sin2x + 3sin2x
sin(x+ 4 ) cos (x+ 4 ))
1 cos2x
1
1 cos2x
1
= 2 + 3sin2x 2cos2x( = 2 + 3sin2x 2sin(2x+ 2 ))
1 = 3sin2x cos2x + 2
=2sin(2x
6
)+
1 2………………4
分
所以 f(x)的最小正周期为
由 2k 2 ≤2x 6 ≤2k + 2 ( k Z)，可得 k 6 ≤x≤k + 3 ( k Z)，


所以 f(x)单调增区间为[k 6 ，k + 3 ]( k Z).………………7 分
(2)由 f(A)+ f( A)=2 得， 2sin(2A
1 6 )+2
2sin(2A+ 6 )+21=2，
化简得 cos2A= 12，又因为 0<A< 2 ，所以解得 A= 3 .
………………10 分
由题意知，S
1 ABC=2bcsinA=2
3，解得 bc=8，
由余弦定理得，a2= b2+c2 2bccosA=(b+c) 2 2bc(1+cosA)=25，
故 a= 5.
………………14 分
18．（本题满分 16 分） 解：⑴ 解：(1) 在△ OCD 中，由正弦定理，得 CD OD CO ………2 分
sin COD sin DCO sin CDO
又 CD∥ AO，CO＝1，∠ AOC ，
所以 CD
2 3
sin

2 3

cos
1 sin ， OD 3
2 sin .………………………4 分 3
因为 OD＜OB，所以 sin 3 ，所以 0 .
2
3
所以 CD cos
1 3
sin
，θ
的取值范围为

0,
3

.………………………7
分
⑵ 设道路长度为 L ，则
L BD CD AC 1 2 sin cos 1 sin cos 1 sin 1 ，
3
3
3

0,
3

，
………………………9 分
L' 1 sin 3 cos 1
3
3
3 sin cos
1
2 3
sin
6

3 2

，………11
分
由
L'
0
，得 sin
6

3 2
.又

0,
3

，所以
6
.
当 0 时， y ' 0 ，∴ 函数在 (0, ) 上单调递增，
6
6
当 时， y ' 0 ，∴ 函数在 ( , ) 上单调递减，………………………14 分
6
3
63


所以当 时， L 达到最大值，观光道路最长．
6 答：当 时，观光道路最长．………………………16 分
6
19．（本题满分 16 分） 解：⑴ f (x) x2 1 x2 kx ， f (x) kx +3 即 x2 1 x2 3
当 0 x 1时， x2 1 x2 1 x2 x2 1，此时该方程无解………………2 分
当1 x 2 时， x2 1 x2 2x2 1，原方程等价于： x2 2, 此时该方程的解为 2 .
综上可知：方程 f (x) kx +3 在（0，2）上的解为 2 .………………4 分
⑵ f (x) x2 1 x2 kx ，
f (x) {kx1
x(0,1]
2 x2 kx1 x(1,2) ………………5 分
可得：若 f (x) 是单调递增函数，则 kk401此时k 0 ………………7 分
若 f (x) 是单调递减函数，则 kk402 此时k 8 ，
综上可知： f (x) 是单调函数时 k 的取值范围为 (,8] (0,) .………9 分 ⑶[解法一]：当 0 x 1 时， kx 1，① 当1 x 2 时， 2x2 kx 1 0 ，②
若 k=0 则①无解，②的解为 x 2 (1,2) 故 k 0 不合题意……………11 分 2
若 k 0 则①的解为 x 1 ， k
（Ⅰ）当 1 (0,1] 时，即 k 1时，方程②中 k 2 8 0, k
故方程②中一根在 1, 2 内另一根不在 1, 2 内，


设
g(x)
2x2
kx
1 ，而
x1 x2
1 2
0
则
g (1) g (2)
0 ,
0
k k

1 7,
2
又 k 1，故 7 k 1，………………13 分 2
（II）当
1 k
0,1 时，即
1
k
0
或
k
0
时，方程②在 1, 2
有两个不同解，而
x1 x2
1 2
0
，
则方程②必有负根，不合题意.
………………15 分
综上， 7 k 1. 2
………………16 分
法二、 f x 0 ，即 x2 1 x2 kx ，
x2
1
x2
2x2
1,1
x
2
，
1,0 x 1
故整理得， k
2

x1 x
1 ,0 x
,1
x
x
1
2
，
分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图像法做，必须画出草图，再用必要文字说明）
利用该分段函数的图像得 7 k 1. 2
20．（本题满分 16 分）
解：⑴由 anan1
an
2an1 ，得
1 an1
2 an
1 ，即
1 an1
1
2
1 an
1
，……………2
分
所以数列
1
1 an

是首项为
2，公比为
2
的等比数列；………………………4
分
⑵由⑴可得， 1 1 2n ，故 1 1 1 m 3 ，…………………5 分
an
n1 n 2
nn
设 f n 1 1 1 ，
n1 n 2
nn
则 f n 1 f n 1 1 1 1 1 0 ，
2n 1 2n 2 n 1 2n 1 2n 2
所以 f n 单调递增，………………………8 分
则
f min
n
f
1
1 2
，于是
1 2
m 3 ，即 m
7 2
，
故整数 m 的最小值为 4 ，………………………10 分


⑶由上面得， an
1 2n
1
，则设
bn
1
1 an
1n
2n
1n ，
要使得 b1 ， br ， bs 成等差数列，即 b1 bs 2br ，
即 3 2s 1s 2r1 21r ，得 2s 2r1 1s 21r 3 ，…………………12 分
s r 1
s
r
1 ，1s
21r
3
0
，

1s
1
，
1r 1
故 s 为偶数，r 为偶数，………………………14 分
3 s 6 ， s 4 ， r 3 或 s 6 ， r 5 .
………………………16 分


高考理科数学试题及答案
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合
题
目
要
求
的。

1. 3 i （） 1 i A．1 2i
B．1 2i
C． 2 i
D． 2 i
2. 设集合 1, 2, 4 ， x x2 4x m 0 ．若 1 ，则 （）
A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯
数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部
分所得，则该几何体的体积为（）
A． 90 B． 63
C． 42
D． 36
2x 3y 3 0 5. 设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的
y 3 0
最小
值是（）
A． 15 B． 9
C．1
D． 9
6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共
有（）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，
2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）


A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S （）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.
若双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（a
0 ， b 0 ）的一条渐
近线被圆 x 22 y2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的
离心率为（）
A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3
10. 若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)ex1`的极值点，则 f (x) 的极小值为（）
A. 1
B. 2e3
C. 5e3
D.1
11. 已知直三棱柱 C 11C1 中， C 120 ， 2， C CC1 1，则异面直线 1 与 C1 所成角的余弦值为（）
A． 3 2
B． 15 5
C． 10 5
D． 3 3
12. 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小值是
（）
A. 2
B. 3 C. 4
2
3
D. 1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次， 表示抽
到的二等品件数，则 D ．
14. 函数 f x sin2 x
3
cos
x
3 4
（
x
0,
2

）的最大值是．


15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
） 0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D 2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为
22
23b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知1152MN AB =
=
，1122NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．
1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+
-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
52111052
2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
=-⋅⋅ 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，
D C
则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
23324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34
y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
112222
122311n
k k
S n n n n ==+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，
∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，
l F
N M C B A
O
y
x
∴15cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C == （2） 箱产量50kg <
箱产量50kg ≥
中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
由计算可得2K 的观测值为
()2
2
2006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，3
3
OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 2
22
231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2610M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 26112AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2
122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =⋅-， 因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y = 故直线l 方程为3()P P Q y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
13
P Q P y y x x -⋅=-， ∴13
P Q P x y y x =-⋅+， ∵33P Q P y y x =+，
∴1(33)13
P P x x x =-++=-， 若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，
直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，
直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a =
． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥． 综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x -'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =
， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭
． 因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012
x x <<
时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则
又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<
，所以()014f x <． 因此，()201e 4
f x -<<
． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()2224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时AOB S △最大
max 1||||2
S AO HB =⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()32
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。