2022-2023北师大版数学必修4课时作业：13向量的减法-含解析

课时作业13 向量的减法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →
＝( )
A ．a －b
B ．b －a
C ．a ＋b
D ．－a －b
解析：CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →
)＝b －a .
答案：B
2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.EF →＝OF →＋OE →
B.EF →＝OF →－OE →
C.EF →＝－OF →＋OE →
D.EF →＝－OF →－OE →
解析：EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →
.故选B.
答案：B
3．下列式子不正确的是( )
A ．a －0＝a
B ．a －b ＝－(b －a )
C.AB →＋BA →
≠0
D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →
解析：根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →
是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．
答案：C
4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
＝( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →
＝a －b ＋c .
答案：A
5．给出下列各式：
①AB →＋CA →＋BC →
；
②AB →－CD →＋BD →－AC →
；
③AD →－OD →－AO →
；
④NQ →－MP →＋QP →＋MN →
.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →
＝0；
②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →
＝0；
③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →
＝0；
④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →
＝0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →
)＝________.
解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →
.
答案：PQ →
7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.
答案：0 2
8．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →
|＝|AB →－AC →|，则|AM →
|＝________.
解析：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|平行四边形ABCD 为矩形，
∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →
|＝4，M 是线段BC 的中点，
∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →
＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：
(1)AD →－AB →
；
(2)AB →＋CF →
；
(3)EF →－CF →
.
解析：(1)因为OB →＝b ，OD →
＝d ，
所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →
＝d －b .
(2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →
＝f ，
所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →
)＝b ＋f －a －c .
(3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →
＝c －e .
10．已知P 1P →＝32PP 2→，又PP 2→＝λP 2P 1→
，求实数λ.
解析：因为PP 2→＝λP 2P 1→
，
所以PP 2→＝λ(PP 1→－PP 2→
)，
可得λP 1P →＝(－1－λ)PP 2→
.
又因为P 1P →＝32PP 2→
，
所以λP 1P →＝32λPP 2→，可得－1－λ＝32λ，解得λ＝－25.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则
有( )
A ．A ，
B ，
C 三点必在同一直线上
B ．△AB
C 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角
C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°
D ．△ABC 必为等腰直角三角形
解析：如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →
，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →
.
因为|m |＝|n |，
所以|AC →|＝|DB →
|.
所以四边形ABCD 是矩形，
所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.
答案：C
12．给出下列命题：
①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →
；
②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →
；
③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →
；
④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →
.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为OD →＋OE →＝OM →
，
所以OD →＝OM →－OE →
，正确；
②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →
，正确；
③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →
，正确；
④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →
，正确．
答案：①②③④
13．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．
解析：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，
∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，
∴⎩⎨⎧ λk ＝2λ＝－1，∴⎩⎨⎧
k ＝－2λ＝－1，
∴k ＝－2.
14．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角．
解析：设OA →＝a ，OB →
＝b ，
则a －b ＝BA →
，
∵|a |＝|b |＝|a －b |，
∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →
|，
∴△OAB 是等边三角形， ∴∠BOA ＝60°.
∵OC →
＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA .
∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.。