2013届高考数学(文)一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算(广东专版)

2．(2012·云浮调研)已知△ABC 和点 M 满足M→A＋M→B＋M→C＝0.若存
在实数 m，使得A→B＋A→C＝mA→M成立，则 m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 如图所示，由M→A＋M→B＋M→C＝0 知， 点 M 为△ABC 的重心，
设点 D 为边 BC 的中点，则由向量加法可知： A→B＋A→C＝A→H＝2A→D. 由重心的性质可知：|A→M|＝23|A→D|，且A→M与A→D同向，
第一节 平面向量的基本概念及线性运算
1．向量的有关概念 (1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做 向量的 长度 (或模)． (2)零向量： 长度为0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量． (4)平行向量：方向 相同或相反 的非零向量．平行向量又 叫 共线向量 ．规定：0与任一向量 平行 ． (5)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量． (6)相反向量：长度 相等 且方向 相反 的向量．
3＝3λ， ∴－2＝－λk， 因此 k＝2.
所以实数 k 的值为 2.,
如图 4－1－2 所示，△ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN＝13AC，在 AB 上取一点 M， 使得 AM＝13AB，在 BN 的延长线上取点 P，使得 NP＝12BN，在 CM 的延长线上取点 Q，使得M→Q＝ λC→M时，若A→P＝Q→A，试确定 λ 的值．
(2)通过创新情景，结合不等式的性质，考查分析、处理问题的能 力，以及转化化归思想．
应对措施：(1)解决此类问题的关键是把题目中的新定义读懂，理 解透，弄清所叙述问题的本质，然后应用到具体的解题过程之中．
(2)要类比联想，仔细分析题目中提供的命题，化陌生为熟悉，找 出其中的相似性和一致性．
1．(2012·汕尾质检)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下： 对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误 的是( )
1．(教材改编题)平面向量a，b共线的充要条件是( ) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．∃λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1、λ2，使λ1a＋λ2b＝0 【解析】 A忽略了方向相反的情况，B只考虑了特例，C没有包含a 是零向量而b是非零向量的情形，D是充要条件． 【答案】 D
【解】 由例 2 知，△ABC 为直角三角形， 且|A→M|＝|M→C|＝2. 又|A→C|＝2 2， ∴|A→C|2＝|A→M|2＋|M→C|2，则 AM⊥BC， 所以△ABC 是等腰直角三角形．
设两个非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2，C→D＝－8e1－2e2，求证：A、 C、D 三点共线； (2)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1－3e2，A→F＝3e1－ke2，且 A、C、F 三点共线，求 k 的值．
(4)错．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
【答案】 C
设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，B→C2＝16，|A→B＋
A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
【尝试解答】 如图所示，以 AB、AC 为邻边构造平行四边形 ABDC，且 AD、BC 相交于一点 M.
【解】 ∵A→P＝N→P－N→A＝12(B→N－C→N) ＝12(B→N＋N→C)＝12B→C， Q→A＝M→A－M→Q＝12B→M＋λM→C， 又∵A→P＝Q→A，∴12B→M＋λM→C＝12B→C，
即 λM→C＝12M→C，∴λ＝12
图4－1－2
创新探究之四 以向量为背景的新定义问题
(2011·山东高考)设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同 的四点，若A→1A3＝λA→1A2(λ∈R)，A→1A4＝μA→1A2(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则 下面说法正确的是( )
对 C：若 C、D 同时在线段 AB 上，则 0＜λ＜1,0＜μ＜1， ∴1λ＋1μ＞2，不符合条件； 对 D：若同时在线段 AB 延长线上，则 λ＞1，μ＞1，与1λ＋1μ＝2 矛 盾，故不可能．∴C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，D 正确．选 D 【答案】 D
创新点拨：(1)以向量共线为背景，定义新概念，考查阅读理解和 知识的迁移能力．
2．向量的加法和减法
(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． 运算性质：a＋b＝ b＋a ；(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
(2)减法与 加法 互为逆运算；服从三角形法则．
3．实数与向量的积
(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：
①长度：|λa|＝ |λ||a|；②方向：当 λ>0 时，λa与a的方向相同；当
时λ，＜λ0a与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝ .
0
(2)运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝ (λμ)；a
② λ＋μ)a＝ λa＋μa ；③λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线(平行)向量件是有且只有一个实数λ，使得
b＝λa
.
1．向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直 线上，这种说法正确吗？
A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
【解析】 若a与b共线，则有mq－np＝0，故A正确； 因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a.故B错误； 因为λa＝(λm，λn)，所以(λa)⊙b＝λmq－λnp.又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝ (λa)⊙b，故C正确； 因为(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝ |a|2|b|2，故D正确． 【答案】 B
【提示】 不正确．若向量A→B与向量C→D是共线向量，则向量A→B与 C→D所在的直线平行或重合，因此，A，B，C，D 不一定共线．
2．a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件吗？ 【提示】 当a≠0，b＝0时，a∥bD⇒/a＝λb，但a＝λb⇒a∥b， ∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分条件，不是充要条件．
(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)错．两向量是否共线要看其方向而不是起点与终点．
(2)对．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它
们的模均为实数，故可以比较大小．
(3)错．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
③若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形；
④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
其中不正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】 联想向量概念 → 注意零向量 → 逐一考 查判断
【尝试解答】 两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等； 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，①错；
A．C 可能是线段 AB 的中点 B．D 可能是线段 AB 的中点 C．C，D 可能同时在线段 AB 上 D．C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
【解析】 ∵平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则由条件知：A→C ＝λA→B(λ∈R)，A→D＝μA→B(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2.
对 A：若 C 为线段 AB 的中点，则 λ＝12，∴1μ＝0，显然不存在 μ， ∴A 是错误的，同理 B 也是错误的；
【思路点拨】 (1)A、C、D 三点共线⇔存在实数 λ 使A→C＝λC→D.
(2)A、C、F 三点共线⇔存在实数 λ，使A→C＝λA→F.
【尝试解答】 (1)A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2， ∴A→C＝A→B＋B→C＝4e1＋e2， 又C→D＝－8e1－2e2 所以C→D＝－2A→C，∴A→C与C→D共线， 又∵A→C与C→D有公共点 C， ∴A、C、D 三点共线． (2)∵A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1－3e2， ∴A→C＝A→B＋B→C＝3e1－2e2. ∵A、C、F 三点共线， ∴A→C∥A→F，从而存在实数 λ，使得A→C＝λA→F. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又 e1，e2 是不共线的非零向量，
∵A→B＋A→C＝A→D，A→B－A→C＝C→B，且|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|， ∴|A→D|＝|C→B|，则四边形 ABCD 是矩形． 由B→C2＝16，得|B→C|＝4， ∴|A→M|＝12|A→D|＝12|B→C|＝2.
【答案】 C
的形状；
若例 2 的条件中，再添加条件|A→C|＝2 2，试判定△ABC
2A→C＋C→B＝0，则O→C＝( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
【解析】 O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋2A→C＝O→B＋2(O→C－O→A)，
∴O→C＝2O→A－O→B.
【答案】 A
4．已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，
2．(2011·四川高考)如图 4－1－1，正六边形
ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
【解析】 ∵B→A＝D→E， ∴原式＝D→E＋E→F＋C→D＝C→D＋D→F＝C→F.
【答案】 D
图4－1－1
3．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足
则一定共线的三点是( )
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【解析】 ∵B→C＋C→D＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b，
∴B→D＝2a＋4b，又A→B＝a＋2b，
∴B→D＝2A→B，又A→B与B→D有公共点 B，
∴A、B、D 三点共线． 【答案】 A
给出下列四个命题：
∴A→M＝23A→D，则A→D＝32A→M. 所以A→B＋A→C＝2A→D＝3A→M，因此 m＝3.
【答案】 B
课时知能训练
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|a|＝|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故②不正 确；
因为A→B＝D→C，A、B、C、D 可能在同一直线上，所以③错； 零向量与任一非零向量都平行，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行， ④不正确．
【答案】 D
(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
(2)两个向量不能比较大小，但它们的长度能比较大小；