2023年数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义完整版

高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化
圆幂与根轴
P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极, 调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1. 四边形ABCD中, AB=BC, DE⊥AB, CD⊥BC, EF⊥BC, 且。

求证:
2EF=DE+DC。

（10081902.gsp）
2. 已知相交两圆O和O'交于A.B两点, 且O'恰在圆O上, P为圆O的AO'B弧
段上任意一点。

∠APB的平分线交圆O'于Q点。

求证: PQ2=PA×PB。

（10092401-1.gsp）
3. 设三角形ABC的Fermat点为R, 连结AR, BR, CR, 三角形ABR, BCR, ACR
的九点圆心分别为D, E, F, 则三角形DEF为正三角形。

（10082602.gsp）
4. 在△ABC中, 已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D.E, 点A
关于D.E的对称点分别为F、G, △ADG和△AEF的外接圆交于A和另一
点P。

求证: AP//BC。

（10092102.gsp）
5. 圆O1和圆O2相交于A.B两点, P是直线AB上一点, 过P作两圆作切线, 分
别切圆O1和圆O2于点C.D, 又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E, F。

求证: AB.CE、DF共点。

（10092201.gsp）
6. 四边形ABCD中, M是AB边中点, 且MC=MD, 过C.D分别作BC.AD的垂
线, 两条垂线交于P点, 再作PQ⊥AB于Q。

求证: ∠PQC=∠PQD。

（10081601-26.gsp）
7. 已知RT△ABD∽RT△ADC, M是BC中点, AD与BC交于E, 自C作AM垂
线交AD于F。

求证: DE=EF。

（10083001.gsp）
8. 在△ABC中, AB=AC, D为BC边的中点, E是△ABC外一点, 满足CE⊥AB,
BE=BD。

过线段BE的中点M作直线MF⊥BE, 交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。

求证: ED⊥DF。

（2023年女子竞赛）（10081601-4.gsp）
9. 设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆, D.E、F分别是切点, 若I1D与EF交
于P点。

求证: AP平分底边BC。

（10082023-8.gsp）
10. 如图, ⊙O C, M是边BC上一点, AM
交CD于点N. 求证: M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。

（09031302.gsp）
11. 已知: BC是圆上的定弦, 而动点A在圆上运动, M是AC中点, 作MP⊥AB
于P。

求P点的轨迹。

（10081601-4.gsp）
12. △ABC外接圆为圆O, P为AB上一点, 过P分别作OA.OB的垂线, 与
AC.BC交于S、T, 与AB交于M、N。

求证: PM=MS的充要条件是PN=NT。

（10081601-3.gsp）
13. 在ΔABC中AC＞BC, F是AB的中点, 过F作它的外接圆直径DE, 使得
C.E在AB同一侧, 又过C做AB的平行线交DE于L。

求证: (AC+BC) 2＝4DL×EF。

（09011003.gsp）
14. 已知: P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点, PD⊥BC于D, PE⊥CA于
E, PF⊥AB于F。

求证: (BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。

（09012201-7.1.gsp）
15. 已知O是△ABC的外心, M是BC边中点, D是OM延长线上一点, 满足
DO=DB, E、F分别是AB.AC边上的点, 满足∠MEA=∠MFA=∠A。

求证: AD
⊥EF。

（10080302.gsp）
16. 已知△ABC中, AB＝AC, 线段AB上有一点D, 线段AC延长线上有一点
E, 使得DE＝AB。

线段DE与△ABC的外接圆交于点T, P是线段AT延长线上的一点。

求证: 点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。

（2023年国家集训队）（10082201-1.gsp）
17. 已知△ABC中, 内心I关于BC边中点M的对称点为I', S是BC弧（不含A
点）中点, 直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。

求证: P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。

（10082201-5.gsp）
B
S
18. 在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB, 联结AD.BE、CF。

求证: AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。

（10081601-2.gsp）
E
19. 过△ABC内一点O引三边AB.BC.CA的平行线与其它两边的交点分
别为E、F、G、H、I、K, 过O作△ABC的外接圆的弦AL。

求证: OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。

（09042023.gsp）
20. 一小圆内切大圆于点N, BA.BC是大圆的两条弦, 且分别切小圆于K、M, 劣
弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P, 又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。

求证: BPB1Q为平行四边形。

（10082023-1.gsp）
21. 圆O与圆O1.圆O2同时相切, 切点为S、T, 圆O1与圆O2交于A.B两点,
且圆O2的圆心恰在圆O1上。

设公共弦AB延长交圆O于C.D两点, 联结SC.SD分别交圆O1于P和Q。

求证: PQ与圆O2相切。

（40届IMO）
（10082023-12.gsp）
22. 设KL、KN是圆O的切线, M是KN延长线上一点, 过K、L、M三点的圆
与圆O交于P, 作NQ⊥LM于Q。

求证: ∠MPQ=2∠NML。

（98年伊朗竞
赛）（10081601-5.6.gsp）（09022203.gsp）
K
23. 设△ABC AB于F, 交AC延
长线于: TF⊥GE。

24. 已知圆O外一点P向圆O作切线PA.PB和一条割线PEF, M是EF上一点,
联结BM延长交圆O于C。

求证: AC//PEF的充要条件是M为EF中点。

（10092401-6.gsp）
P
25. 过点P任作圆O的两条割线PAB.PCD, 直线AD与BC交于Q, 弦DE//PQ,
BE交PQ延长线于M。

求证: OM⊥PQ。

（10092103-1.gsp）
26. 如图, 设⊙O1与⊙O2交于AB两点。

AC是⊙O2的切线, 交⊙O1于C点。

AD是⊙O1的切线, 交⊙O2于D点。

过A任作直线, 交⊙O1.⊙O2及通过
A.C.D三点的圆分别于M、N、P。

求证: AM=NP。

（10091002-6.gsp）
27. 两圆圆O1和圆O2相交于M、P, 过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过
M作圆O1的切线交圆O2于B, 在直线MP上截取PH=MP。

求证: 四边形
MAHB内接于圆。

（10091002-1.gsp）
28. 已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点, 且圆O1和圆O2
分别与圆O内切于S、T两点。

求证: OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。

（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）
29. 设以O为圆心的圆通过△ABC的两个顶点A和C, 且与边AB.BC分别交于
K和N, 又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。

求证: ∠OMB=90°。

（1985年IMO）（10090301-1.gsp）
30. 已知: 在△OAB与△OCD中, OA=OB, OC=OD, 直线AB与CD交于点P, △
PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。

求证: OQ⊥PQ。

（09022301.gsp）
A
C
AB 延长线于P , 设
: OM ⊥MP 。

32. 凸四边形ABCD 内接于圆O, 两组对边所在直线分别交于点E 、F, 对角线
AC.BD 交于G,
作GH ⊥EF 于H, 圆O 的弦MN 通过G 点。

求证: GH 与圆
O 交点恰是△HMN 的内心。

（10092103-2.gsp ）
33. ⊙O 为△ABC 的外接圆, P 为劣弧AB 上一点, E 、F 分别为AC.AB 延长线
上的点, BE 、CF 交于D, PE 、PF 分别交⊙O 于S 、R 。

若AD.BC.RS 共点,
求证: 点D在⊙O上。

（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）
E
34. 已知: D.E、F分别在△ABC三边上, 满足EB＝ED, FC＝FD, O是△ABC外
心。

求证: A.E、O、F四点共圆。

（09033102.gsp）
B
35. 如图, 设N是△ABC的BAC弧中点, M是BC边中点, I是△ABC的内心。

求证: ∠ANI＝2∠IMC。

（09021701.gsp）
36. 设T为△ABC的内切圆与BC边的切点, D为BC上任一点, I1.I2分别为△
ABD.△ACD的内心。

求证: T I1⊥T I2。

（10081701-9.gsp）
B
37. 矩形ABCD中, AB＝AC。

P是认为AB直径的半圆上任意一点, PC.PD分
别交AB于F、E。

求证: AE2＋BF2＝AB2。

（09013001.gsp）
B
38. AB是圆O的直径, P是过B所作切线上的任一点, 过P作圆O的割线PCE,
联结直线PO分别交AC.AD于E、F。

求证: OE=OF。

（10081001-4.gsp）
39. 自圆O外一点P作切线PA.PB及割线PCD, 自C作PA的平行线, 分别交
AB.AD于E、F。

求证: CE=EF。

（10081001-5.gsp）
40. A为圆O上一点, B为圆外一点, BC.BD分别相切圆O于C.D, DE垂直AO于
E, DE分别交AB.AC于F、G。

求证: DF＝FG。

（09042023.gsp）
A
41. P为圆外一点, PA.PD为切线, PCE为割线。

过D作PA的平行线, 分别与AC
延长线及线段AE交于B.F。

求证: D为BF中点。

（09031302.gsp）
42. 已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点, 满足∠ABP=∠QCB, 且
∠ACP=∠QBC。

求证: A.P、Q三点共线。

（10090101-1.gsp）
43. 已知锐角△ABC中, AD是高, O是外心, AO的延长线交过O、B.C三点的
圆于P, 自P作PE⊥AB于E, PF⊥AC于F。

求证: DEPF是平行四边形。

（10091701.gsp）
44. 是EF的中点, 自
E10091701-1.gsp）
45. AD为△ABC内角平分线, I1.I2为△ABD.△ACD的内心, 以I1I2为底向BC
边作等腰△E I1I2, 使得∠I1EI2＝∠BAC。

求证: DE⊥BC。

（10081701-1.gsp）
46. 已知P是凸四边形内一点, 满足∠PAB=∠CAD, ∠PCB=∠ACD。

求证:
PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。

（2023年IMO）（10091701-6.gsp）
（09030801.gsp）
47. 已知D是△ABC底边BC上任一点, P是形内一点, 满足∠1=∠2, ∠3=∠4。

求证: (PB/PC)=(AB/AC)。

（09030801.gsp）
C
48. 已知: D是△ABC的BC中垂线上一点, I1.I2是△ABD.△ACD的内心, E是
△ABC外接圆弧BAC的中点。

求证: A.E、I1.I2四点共圆。

（08081201.gsp）
49. 如图, △ABC中, M为BC的中点, 以AM为直径的圆分别与AB.AC交
于E、F两点, 圆在E、F两点的切线交于点D。

求证: DM⊥BC。

（09013101.gsp）
50. 已知: ⊙O两切线PA.PB和一割线PCD, AD.AP交C处的切线于E、F, BE
交DF于K。

求证: K在圆O上。

（09022201.gsp）
51. 设⊙O1与⊙O2交于C.D。

过D的直线交⊙O1与⊙O2于A.B。

点P在弧
AD上, PD与AC的延长线交于M, Q在弧BD上, QD与BC的延长线交于
N, O为△ABC外心。

求证: MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。

（09020401.gsp）
52. 设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。

求证: XP被Simson线所平
分。

（09031903.gsp）
53. 已知: AD是高, O、H是外心和垂心, 过D作OD垂线, 交AC于E。

求证: ∠
DHE=∠C。

（09022202.gsp）
54. △ABC中, AD为边BC上的中线, E、F、G分别为AB.AC.AD上的点, 且
A.E、G、F四点共圆。

设△BDE外心为O1.半径为r1；△CDF外心为O2.
半径为r2。

求证: GO12＋GO22＝r12＋r22。

（09031401.gsp）
B
55. 已知P是△ABC内一点, A1.B1.C1分别是圆弧BPC.CPA.APB的中点。

求证:
P、A1.B1.C1四点共圆。

（09042401.gsp）
56. 给定△ABC, D.E、F是边BC.CA.AB上的任意三点, M、N分别是△BDF、
△CDE的外心。

P、Q分别是BC.MN上的点, 满足(BP/PC)=(MQ/QN)。

AP 与⊙AEF相交于R点。

求证: （1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。

（09042601.gsp）
C
57. 已知⊙O1与⊙O2交于C.D两点, A.B分别是两圆上的点, 满足PA＝PB, E、
F 是弧AQ 、BQ 中点。

求证: C.D.E 、F 四点共圆。

（09022023.gsp ）
58. △ABC 中, D.E 、F 是边BC.CA.AB 的中点, X 、Y 、Z 是各边上高的垂足, EZ
与FY 交于L, FX 与DZ 交于M, DY 与EX 交于N 。

求证: L 、M 、N 三点共
线。

（10092101.gsp ）
59. 设△ABC 的内切圆分别与三边切于D.E 、F, 联结AD 交内切圆于另一点P ,
联PB.PE 、PF 。

求证: PF//BC
的充要条件是∠BPD=∠EPD 。

（10091002-7.gsp ）
60. 已知△ABC 和任意直线d, 自A.B.C 作d 的垂线, 垂足分别为A'、B'、C'； 再
自A'、B'、C'分别作对边BC.CA.AB 的垂线, 设这三条垂线共点于H 。

在d
上任取一个动点M, 自M作d的垂线, 分别交AB.AC所在直线于K、L。

在线段BK、CL及HA'延长线上分别取分点P、Q、X, 满足
(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA'/A'X)。

求证: XM⊥PQ。

（09031602.gsp）
61. 已知ABCD是等腰梯形, P是其底边BC上任意一点, E、F两点分别位于
AB.AC上, 满足EB＝EP, FP＝FC。

联接EF, 并作P点关于EF的轴对称点
）
Q。

求证: DQ⊥PQ。

（09041401.gsp
B C
62. 设D.E分别为△ABC的边AB.BC上的点, P是△ABC内一点, 且PE＝PC, △
DEP∽△PCA。

求证: BP是△PAD的外接圆的切线。

（09040601.gsp）
63. 在凸四边形ABCD中, ∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA,
E、F分别为AC.BD的延长线上的点, 且C.E、
F、D四点共圆。

平面上的一
点P使得DA是∠PDE的外角平分线, CB是∠PCF的外角平分线。

边AD 与BC所在直线交于点Q。

求证: 点P在边AB上的充足必要条件是点Q在
线段EF上。

（09033001.gsp）
64. 平面上有四个点A1.A2.A3.A4, 其中任意三个点都不在一条直线上。

并且它
们满足: A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。

对于任意｛i, j, k, l｝＝｛1, 2, 3, 4｝, 我们设Oi为△AjAkAl的外心。

若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi, 证明: 四条直线AiOi平行或共点。

（09030602.gsp）
2
A3
1
65. 圆O1和圆O2相交于P、Q两点, AB是两圆的外公切线, BP、AP分别交
另一圆于C.D, 直线AC.BD交于X点, 过X、A.B三点的圆与过X、C.D三点的圆交于另一点M。

求证: ∠MBX=∠MQP。

（10082901-1.gsp）
66. 在任意△ABC的BC边下方取D点, 满足∠ABD＝∠ACD＝120°, 并作正
三角形EBC。

求证: △ABC的Euler线平行于DE。

（10073102.gsp）
67. 已知M、N是四边形ABCD对边AD.BC上任意两点, E、F是对边AB.CD
上两点, 满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB), AN、BM交于P, CM、DN交于Q。

求证: PQ//EF。

（10082601-3.gsp）。