03-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律 (2)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
该直线称转轴。
定轴转动
非定轴转动
刚体的自由运动：
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体定轴转动的运动学
角位置
(t )
>0 <0
0
z
(t )
p
{
逆时针转动 顺时针转动
x
转动平面
参考轴
d 角速度 dt
方向：右手螺旋定则
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2 1 1 1 1 2 2 2 mgh mv mv0 ( J J 02 ) 2 2 2 2
FN
FT FT
o P'
FT
m
FT
物体由静止开始下落
拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转 动的动能定理可得
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
FT
0
FT Rd R FT d
0
P
m
R
o
m' h m
FN
FT
m
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P'
1 E k J 2 2
刚体 转动 动能
1 2 平动动能 Ek mv 2 比较： 1 转动动能 Ek J 2 2
d d d d d d dd J J J J J J M JJ 4 定轴转动的动能定理 d d dt d dt d dt dt 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2 Md J d J J W Md J d J J 2 12 1 1 2 1 1 1 22 2
1 并考虑到圆盘的转动惯量 J mR 2 v R 2 mgh m 解得 v2 2 gh m 2m (m' 2) m
v0 0, 0 0
P
例2 一个高圆筒形烟囱由于基部毁坏而倒下，把烟囱当 作长为H的细杆处理，并令烟囱与垂直方向成角度θ。 （1）烟囱的角速率； （2）烟囱顶端的径向加速度和法向加速度。
例2 一个质量m’、半径R的均匀球壳绕竖直轴在无摩擦的 轴承上转动，一根无质量的绳绕过球壳的赤道，越过一 个转动惯量为J，半径为r的滑轮连上一个质量为m的小 物体，滑轮轴上无摩擦，绳在滑轮上不打滑。物体由静 止下落h时的速率是多少？
例2 如图所示，一均匀细杆AB，长为 l ，质量为 m A端挂在一光滑的固定水平轴上，它可以在竖直平面 内自由摆动。杆从水平位置由静止开始下摆，当下摆至 角时，B端的速度的大小?
3 转动动能 设转动角速度为，第i个质 元Δmi 的速度为: v i ri
ri
Δ mi
整个刚体的动能为:
N
1 1 2 其动能为: mi vi mi ri 2 2 2 2
N 1 1 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1
A
l
B
例3 如图，弹簧的劲度系数为 k =2.0N/m，轮子的 转动惯量为 0.5kg.m2 ，轮子半径 r =30cm。当质量为 60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物 体静止而弹簧无伸长。
>0
z
z
<0
d 角加速度 dt
（定轴转动可用角加速度的正负来表示 ） 角量与线量( v, a )的关系:
v r
at r an r
2
o
a
an r
et v a
t
2 a ret r en
定轴转动的特点 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
ij
rj
j
2 力矩做功
图为一个定轴转动刚体的 转动平面，o为转轴与转动 平面的交点.
d
dr
r
F
A
dW F d r F cos( )ds 2
o
x
Fr sin d Md
W Md
1 2
力矩的功
表明：力对刚体所作的功可用力矩与刚体角位移的乘积
方向：作用效果 逆时针M>0 顺时针M<0
r
F
*p
d
(定轴转动的力矩方向用正负号表示)
讨论
1）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
F
F
Fi 0 , Mi 0
Fi 0 , Mi 0
F
F
动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量
刚体内力的功=0 功能原理：非保守内力做功，引起系统的机械能变化 机械能守恒:对于含有刚体的系统，如果在运动过程中 只有保守内力作功，系统机械能守恒。
1 ' 2 例1 一质量为 m' 、半径为R 的圆盘（ J m R ）， 2 可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕 有轻绳，一端挂质量为m 的物体. 问物体在静止下落高 度h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 .
2）若力 F 不在转动平面内，把
力分解为平行和垂直于转轴方向
z
F Fz F
k Fz
F
M z rF sin
3）刚体各质点间的内力 产生的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
O
r
F
Mij M ji
d
ri
Fji iF
第三章
刚体的定轴转动
刚体：特殊的质点系 在外力的作用下，刚体不会变形 特点：刚体中任意两点的间距始终不变 连续分布的质点系 理想的物理模型
一．刚体的运动
平动：刚体中所有点的速度、加速度都相同；
任意两点的连线总是平行于它们初始位置间的连线。 刚体平动 质点运动
转动：刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动。
, , 2）任一质点运动 均相同，但 v, a 不同； 3）运动描述仅需一个坐标 . , 的方向用正负号表示.
三．刚体定轴转动的动力学
1 力矩
F 在转动平面内，力臂d
定义：
M
z
M
O
大小： M Fr sin Fd M F d Fr sin M r F r F M
定轴转动
非定轴转动
刚体的自由运动：
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体定轴转动的运动学
角位置
(t )
>0 <0
0
z
(t )
p
{
逆时针转动 顺时针转动
x
转动平面
参考轴
d 角速度 dt
方向：右手螺旋定则
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2 1 1 1 1 2 2 2 mgh mv mv0 ( J J 02 ) 2 2 2 2
FN
FT FT
o P'
FT
m
FT
物体由静止开始下落
拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转 动的动能定理可得
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
FT
0
FT Rd R FT d
0
P
m
R
o
m' h m
FN
FT
m
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P'
1 E k J 2 2
刚体 转动 动能
1 2 平动动能 Ek mv 2 比较： 1 转动动能 Ek J 2 2
d d d d d d dd J J J J J J M JJ 4 定轴转动的动能定理 d d dt d dt d dt dt 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2 Md J d J J W Md J d J J 2 12 1 1 2 1 1 1 22 2
1 并考虑到圆盘的转动惯量 J mR 2 v R 2 mgh m 解得 v2 2 gh m 2m (m' 2) m
v0 0, 0 0
P
例2 一个高圆筒形烟囱由于基部毁坏而倒下，把烟囱当 作长为H的细杆处理，并令烟囱与垂直方向成角度θ。 （1）烟囱的角速率； （2）烟囱顶端的径向加速度和法向加速度。
例2 一个质量m’、半径R的均匀球壳绕竖直轴在无摩擦的 轴承上转动，一根无质量的绳绕过球壳的赤道，越过一 个转动惯量为J，半径为r的滑轮连上一个质量为m的小 物体，滑轮轴上无摩擦，绳在滑轮上不打滑。物体由静 止下落h时的速率是多少？
例2 如图所示，一均匀细杆AB，长为 l ，质量为 m A端挂在一光滑的固定水平轴上，它可以在竖直平面 内自由摆动。杆从水平位置由静止开始下摆，当下摆至 角时，B端的速度的大小?
3 转动动能 设转动角速度为，第i个质 元Δmi 的速度为: v i ri
ri
Δ mi
整个刚体的动能为:
N
1 1 2 其动能为: mi vi mi ri 2 2 2 2
N 1 1 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1
A
l
B
例3 如图，弹簧的劲度系数为 k =2.0N/m，轮子的 转动惯量为 0.5kg.m2 ，轮子半径 r =30cm。当质量为 60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物 体静止而弹簧无伸长。
>0
z
z
<0
d 角加速度 dt
（定轴转动可用角加速度的正负来表示 ） 角量与线量( v, a )的关系:
v r
at r an r
2
o
a
an r
et v a
t
2 a ret r en
定轴转动的特点 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
ij
rj
j
2 力矩做功
图为一个定轴转动刚体的 转动平面，o为转轴与转动 平面的交点.
d
dr
r
F
A
dW F d r F cos( )ds 2
o
x
Fr sin d Md
W Md
1 2
力矩的功
表明：力对刚体所作的功可用力矩与刚体角位移的乘积
方向：作用效果 逆时针M>0 顺时针M<0
r
F
*p
d
(定轴转动的力矩方向用正负号表示)
讨论
1）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
F
F
Fi 0 , Mi 0
Fi 0 , Mi 0
F
F
动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量
刚体内力的功=0 功能原理：非保守内力做功，引起系统的机械能变化 机械能守恒:对于含有刚体的系统，如果在运动过程中 只有保守内力作功，系统机械能守恒。
1 ' 2 例1 一质量为 m' 、半径为R 的圆盘（ J m R ）， 2 可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕 有轻绳，一端挂质量为m 的物体. 问物体在静止下落高 度h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 .
2）若力 F 不在转动平面内，把
力分解为平行和垂直于转轴方向
z
F Fz F
k Fz
F
M z rF sin
3）刚体各质点间的内力 产生的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
O
r
F
Mij M ji
d
ri
Fji iF
第三章
刚体的定轴转动
刚体：特殊的质点系 在外力的作用下，刚体不会变形 特点：刚体中任意两点的间距始终不变 连续分布的质点系 理想的物理模型
一．刚体的运动
平动：刚体中所有点的速度、加速度都相同；
任意两点的连线总是平行于它们初始位置间的连线。 刚体平动 质点运动
转动：刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动。
, , 2）任一质点运动 均相同，但 v, a 不同； 3）运动描述仅需一个坐标 . , 的方向用正负号表示.
三．刚体定轴转动的动力学
1 力矩
F 在转动平面内，力臂d
定义：
M
z
M
O
大小： M Fr sin Fd M F d Fr sin M r F r F M