【配套K12】高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率课时跟踪检测理

第十章算法、统计与概率
第一节算法初步
1．算法与流程图
(1)算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．
(2)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
2．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．
其结构形式为
(2)选择结构是先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构．
其结构形式为
(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．
其结构形式为
3．基本算法语句
(1)赋值语句、输入语句、输出语句
赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)其作用是对程序中的
变量赋值；输入语句“Read a ，b ”表示输入的数据依次送给a ，b ，输出语句“Print x ”表示输出的运算结果x .
(2)算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If —Then —Else 语句，其格式是If A Then
B
Else C End If
.
————————
(3)算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现． ①当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示． “For”语句的一般形式为
For I From“初值”To“终值”Step“步长” 循环体End For
说明：上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step 步长”，那么重复循环时，I 每次增加1.
②不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构．
当型语句的一般格式是 ，
直到型语句的一般格式是 .
[小题体验]
1．(教材习题改编)如图所示，算法流程图的输出结果是________．
解析：s ＝0，n ＝2,2
＜8，s ＝0＋12＝12；
n ＝2＋2＝4,4＜8，s ＝12＋14＝34
； n ＝4＋2＝6,6＜8，s ＝34＋16＝1112
；
n ＝6＋2＝8,8＜8不成立，输出s 的值为11
12
.
答案：1112
2．对于如图所示的伪代码，若输入a ＝4，则输出的结果为________．
Read a
If a >0 Then a ←2a ＋3
End If b ←－a Print b
解析：∵a ＝4>0，∴a ＝2×4＋3＝11，b ＝－a ＝－11. 答案：－11
3．如图所示的伪代码的功能为________________________________________________．
S ←1i ←2
While i ≤10
S ←3i
×S i ←i ＋1End While Print S
解析：当i ＝10时，满足条件，执行循环体，S ＝32
×33
×…×310
＝354
，i ＝11，不满足“i ≤10”，结束循环，输出S .
答案：计算32
×33
×…×310
的值
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
[小题纠偏]
1．(2016·扬州中学检测)如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋1
29的值的一个流程图，则
图中①处应填的是________，②处应填的是________．
解析：根据所求式子的分母为1,3,5,7，…，29，得①处应填“n ←n ＋2”，而1＋13＋
1
5＋…＋1
29
是15个数的和，可知②处应填“i >15”或“i ≥16”．
答案：n ←n ＋2 i >15(或i ≥16)
2．(2016·镇江名校高三联考)下面伪代码的输出结果为________．
A ←8
B ←7A ←A ＋B B ←A －B
C ←A ×B A ←C
Print A ，B
解析：伪代码运行的过程中，A ，B
，C 的值的变化情况为：A ＝8，B ＝7，A ＝15，B ＝8，
C ＝120，A ＝120，故输出结果是120,8.
答案：120,8
考点一 算法的基本结构重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的算法流程图输出的S 值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4的值为________．
第1题图 第2题图
解析：由算法流程图可知，S ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a a －
b ，a ≥b ，b
a ＋
，a <b ，
因为2cos 5π3＝1,2tan 5π
4＝2,1<2，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4＝2(1＋1)＝4. 答案：4
2．(2015·陕西高考改编)如图所示框图，当输入x 为2 006时，输出的y ＝________. 解析：x 每执行一次循环减少2，当x 变为－2时跳出循环，y ＝3－x
＋1＝32
＋1＝10. 答案：10
[由题悟法]
解决流程图基本问题的3个常用变量及1个关键点 (1)3个常用变量
①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ←i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S ←S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ←p ×i . (2)1个关键点
处理循环结构的流程图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．
[即时应用]
(2016·南京师大附中检测)根据如图所示的流程图回答以下问题：
(1)该流程图解决的是一个什么问题？
(2)若当输入的x的值为0和4时，输出的f(x)的值相等，则当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为多大？
解：(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的f(x)的值相等，
即f(0)＝f(4)．
∵f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
∴－16＋4m＝0，∴m＝4，
∴f(x)＝－x2＋4x.
∵f(3)＝－32＋4×3＝3，
∴输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.
考点二算法的交汇性问题(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．
常见的命题角度有：
(1)与统计的交汇问题；
(2)与函数的交汇问题；
(3)与不等式的交汇问题；
(4)与数列求和的交汇问题．
[题点全练]
角度一：与统计的交汇问题
1．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．
解析：由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i＜5或i≤4.
答案：i＜5或i≤4
角度二：与函数的交汇问题
2．(2015·山东高考)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
解析：当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
答案：13
3．(2016·南京外国语学校检测)如图所示的流程图的输入值x∈[－1,3]，则输出值y 的取值范围为________．
解析：由流程图可知，当x∈[0,3]时，输出y的值是函数y＝log2(x＋1)的值，此时输出值y的取值范围为[0,2]；当x∈[－1，0)时，输出y的值是函数y＝2－x－1的值，此时输出值y的取值范围为(0,1]．综上可知，输出值y的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
角度三：与不等式的交汇问题
4．执行如图所示的算法流程图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为________．
解析：第一次循环：x＝2，y＝5，
|2－5|＝3<8；
第二次循环：x ＝5，y ＝11， |5－11|＝6<8；
第三次循环：x ＝11，y ＝23， |11－23|＝12>8.
满足条件，输出的y 的值为23. 答案：23
角度四：与数列求和的交汇问题
5．(2015·湖南高考改编)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝________.
解析：第一次循环：S ＝1
1×3，i ＝2；
第二次循环：S ＝11×3＋1
3×5，i ＝3；
第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋1
5×7，i ＝4，
满足循环条件，结束循环． 故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝121－13＋13－15＋15－17＝37
. 答案：37
[方法归纳]
解决算法交汇问题的3个关键点
(1)读懂算法流程图，明确交汇知识； (2)根据给出问题与算法流程图处理问题； (3)注意流程图中结构的判断．
考点三 基本算法语句(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．执行如图所示的伪代码，输出的结果是________．
i←2
While i≤5
a←i＋2
i←i＋1
S←2a＋3
End While
Print S
解析：初始值：i＝2，
2<5，第一次循环：a＝4，i＝3，S＝11；
3<5，第二次循环：a＝5，i＝4，S＝13；
4<5，第三次循环：a＝6，i＝5，S＝15；
5＝5，第四次循环：a＝7，i＝6，S＝17.因为6>5，所以结束循环．输出的结果为17.
答案：17
2．运行如图所示的伪代码，输出的结果为________．
i←3
Do
S←4i＋3
i←i＋2
Until i≥10
End Do
Print S
解析：当i＝9时，满足条件，执行循环体，S＝4×9＋3＝39，i＝9＋2＝11，判断条件“11≥10”成立，跳出循环，输出39.
答案：39
[由题悟法]
算法语句应用的4个关注点
(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．
(2)赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．
(3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．
(4)循环语句：分清“for”和“while”的格式，不能混用．
[即时应用]
1．运行如图所示的伪代码，则输出的结果是________．
S ←1
For I From 1 To 10 Step 3S ←S ×I End For Print S
解析：根据伪代码可得I ＝1时，S ＝1×1＝1；I ＝4时，S ＝1×4＝4；I ＝7时，S ＝4×7＝28；I ＝10
时，S ＝28×10＝280，此时退出循环，输出的S 的值为280.
答案：280
2．(2014·无锡期末)已知一个算法如图，则输出结果为________．
解析：初始值a ＝1，b ＝1，n ＝3.第一次循环：b ＝2，a ＝1，n ＝4；第二次循环：b ＝3，
a ＝2，n ＝5；第三次循环：
b ＝5，a ＝3，n ＝6；第四次循环：b ＝8，a ＝5，n ＝7；第五次循
环：b ＝13，a ＝8，n ＝8；第六次循环：b ＝21，a ＝13，n ＝9；第七次循环：b ＝34，a ＝21，
n ＝10；第八次循环：b ＝55，a ＝34，退出循环，输出b
的值为55.
答案：55
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．执行如图所示的算法流程图，若输入的实数x ＝4，则输出结果为________．
解析：依题意，输出的y ＝log 24＝2. 答案：2
2．阅读如图所示的流程图，若输出结果为15，则①处的处理框内应填的是________．
解析：b ＝15时，2a －3＝15，a ＝9.当a ＝9时，2x
＋1＝9，x ＝3，故应填“x ←3”． 答案：x ←3
3．若运行如图所示的伪代码后输出y 的值为9，则应输入的x 的值为________．
Read x
If x <0 Then y x ＋2Print y End If
解析：算法表示求函数y ＝(x ＋1)2
，x <0的值，当y ＝9时，由(x ＋1)2
＝9，得x ＝－4
或2(舍去)．
答案：－4
4．执行如图所示的算法流程图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 的取值范围为________．
解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2
.
函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]． 答案：[－3,4]
5．执行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为________．
解析：第一次执行程序，得到S ＝0－12
＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22
＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32
＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6， 到此结束循环，输出的S ＝－15. 答案：－15
二保高考，全练题型做到高考达标
1．当下面的伪代码运行后输出结果时，循环语句循环的次数是________．
x ←0i ←3
Do
x ←x ＋i
2
i ←i ＋3Until i >12End Do Print x
解析：x ＝0，i ＝3；x ＝9，i ＝6；x ＝45，i ＝9；x ＝
126，i ＝12；x ＝270，i ＝15，结束循环，循环次数为4.
答案：4
2．(2016·苏州模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的S 值是________．
解析：由算法流程图可知n ＝1，S ＝0；S ＝cos π4，n ＝2；S ＝cos π4＋cos 2π
4，n ＝3；
这样依次循环，一直到
S ＝cos π
4＋cos
2π4＋cos 3π4＋…＋cos 2 014π4
＝251⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π
4＋cos 2π4＋…＋cos 8π4＋cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 6π4
＝251×0＋
22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋(－1)＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22＋0 ＝－1－
2
2
，n ＝2 015. 答案：－1－
2
2
3．下面伪代码输出的结果是________．
解析：S ＝1＋2＋3＋…＋i ，当i ＝6时，S ＝21<25，继续循环．当i ＝7时，S >25，终止循环，此时输出的i ＝8.
答案：8
4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．
i ←0S ←0
Do
i ←i ＋2
S ←S ＋i 2
Until i ≥6End Do Print S
解析：i ＝2时，S ＝4；i ＝4时，S ＝20；i ＝6时，S ＝56，这时退出循环体，输出S ＝56.
答案：56
5．执行如图所示的流程图，已知集合A ＝{x |流程图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |流程图中输出的y 的值}，全集U ＝Z.当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝________________.
解析：当x＝－1时，输出y＝－3，x＝0；
当x＝0时，输出y＝－1，x＝1；
当x＝1时，输出y＝1，x＝2；
当x＝2时，输出y＝3，x＝3；
当x＝3时，输出y＝5，x＝4；
当x＝4时，输出y＝7，x＝5；
当x＝5时，输出y＝9，x＝6，
当x＝6时，∵6>5，∴终止循环．
此时A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，
∴(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．
答案：{－3，－1,7,9}
6．某算法流程图如图所示，则该程序运行后输出的s值为________．
解析：根据算法流程图，所求的值可以通过逐次循环求得，i＝5，s＝1；i＝4，s＝2×1＋1＝3；i＝3，s＝7；i＝2，s＝15；i＝1，s＝31，循环结束，故输出的s＝31.
答案：31
7．(2016·苏北四市调研)执行如图所示的算法流程图，输出的s是________．
解析：第一次循环：i ＝1，s ＝1；第二次循环：i ＝2，s ＝－1；第三次循环：i ＝3，s ＝2；第四次循环：i ＝4，s ＝－2，此时i ＝5，执行s ＝3×(－2)＝－6.
答案：－6
8．(2016·无锡模拟)数列{a n }满足a n ＝n ，阅读如图所示的算法流程图，运行相应的程序，若输入n ＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.
解析：该算法流程图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129. 答案：129
9．求S ＝120＋121＋…＋1
2n 的值，写出一个算法及伪代码．
解：算法如下： 第一步，i ←0； 第二步，S ←0； 第三步，S ←S ＋1
2i ；
第四步，i ←i ＋1；
第五步，如果i >n ，则输出S ，否则，返回第三步． 可写出如下伪代码：
或者写出如下伪代码：
10．(2016·南京调研)阅读下面的问题：1＋2＋3＋…＋( )>10 000，虽然括号内可填写的数字不唯一，但是我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数字只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法，并画出相应的流程图．解：算法：
第一步，p←0；
第二步，i←0；
第三步，i←i＋1；
第四步，p←p＋i；
第五步，如果p>10 000，则输出i，否则，返回第三步．
流程图如图所示：
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．执行如图所示的算法流程图，若输入的a的值为3，则输出的i＝________.
解析：第1次循环，得M＝100＋3＝103，N＝1×3＝3，i＝2；
第2次循环，得M＝103＋3＝106，N＝3×3＝9，i＝3；
第3次循环，得M＝106＋3＝109，N＝9×3＝27，i＝4；
第4次循环，得M＝109＋3＝112，N＝27×3＝81，i＝5；
第5次循环，得M＝112＋3＝115，N＝81×3＝243，i＝6，
此时M<N，退出循环，输出的i的值为6.
答案：6
2．(2016·连云港调研)如图是一个求20个数的平均数的伪代码，则在横线上应填入________．
错误!
解析：设20个数分别为x1，x2，…，x19，x20，由伪代码知：i＝1时，进入循环S＝0＋x1＝x1，
i＝2时，进入循环S＝x1＋x2，
i＝3时，进入循环S＝x1＋x2＋x3，
…
i＝20时，进入循环S＝x1＋x2＋…＋x20，此时i＝21，应终止循环．故横线上应填入“i>20”或“i≥21”．
答案：i>20(或i≥21)
3．(2016·启东中学月考)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式，并画出流程图，写出相应的伪代码．
解：当0<x≤100时，P＝60；
当100<x≤500时，P＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x.
所以P ＝f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
60，0<x ≤100，x ∈N ，
62－0.02x ，100<x ≤500，x ∈N ，
流程图如图所示：
伪代码如下：
Read x
If x ≤100 Then P
←60 Print
P Else
If x ≤500 Then
P ←62－0.02x Print P Else
Print“无意义” End If End If
第二节 统计初步 第一课时 随机抽样
1．简单随机抽样
(1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数表法． 2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样的步骤
假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；
(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n
不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′
n
，并将剩下的总体重新编号；
(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；
(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．
[小题体验]
1．(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是____________．
解析：因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样． 答案：系统抽样
2．(教材习题改编)某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．
答案：10
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x 名学生，则x 50＝3
10
.解得x ＝15.
答案：15
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n
不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n
总体个数N .
[小题纠偏]
1．为了了解某校高三年级学生的学习情况，将该校高三年级的300名学生编号为0,1，…，299，用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若某一段上抽到的编号为38，则第49段上抽到的编号为________．
解析：从300名学生中抽取一个容量为60的样本， 即分段间隔为5.
设从第1段编号0～4中抽到的编号为n 0， 编号38在第x 段，
则38＝n 0＋5(x －1)，x ∈N *
，n 0∈N ，且0≤n 0≤4， 则x ＝8，n 0＝3，
则第49段上抽到的编号为3＋(49－1)×5＝243. 答案：243
2．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．红星中学共有1 600名学生，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10名，则该校有女生________名．
解析：设女生有x 名，则男生有(1 600－x )名．由题意知2001 600×(1 600－x )＝2001 600×x
＋10，解得x ＝760.
答案：760
考点一 简单随机抽样基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知下列抽取样本的方式：
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是________．
解析：①不是简单随机抽样，因为被抽取的总体的个体数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．所以不是简单随机抽样的个数是4.
答案：4
2．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个
体M 被抽到的概率为________．
解析：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1
100，用简单随机抽样方法
从该总体中抽取容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率为1100×5＝1
20
.
答案：1
20
3．(2016·南京学情调研)某个车间的工人已加工100件某种轴承．为了了解这种轴承的直径，要从中抽出20件在同一条件下测量，用简单随机抽样的方法得到样本的步骤为：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
解析：按照抽签法的方法得到样本，步骤为：(1)将100件轴承分别编号1到100；(2)写号签；(3)搅拌均匀后逐个抽取20个．
答案：将100件轴承分别编号1到100 写号签 搅拌均匀后逐个抽取20个．
[谨记通法]
一个抽样试验用抽签法的2个注意事项
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
考点二 系统抽样(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的第一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________________．
解析：采用系统抽样的方法抽出5名学生的号码，间隔为12，随机抽得的第一个号码为04，则剩下的四个号码依次是16,28,40,52.
答案：16,28,40,52
2．(2015·苏州模拟)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为______________．
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组
各有12名学生，第k (k ∈N *
)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，
因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得103
4<k ≤42，因此第Ⅱ营区
被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.
答案：25,17,8
[由题悟法]
解决系统抽样问题的2个关键步骤
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
[即时应用]
1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本．已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应是________号．
解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号，20号，33号，46号．
答案：20
2．(2016·常州调研)要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是________(填序号)．
①将总体分11组，每组间隔为9； ②将总体分9组，每组间隔为11；
③从总体中随机剔除2个个体后分11组，每组间隔为9； ④从总体中随机剔除3个个体后分9组，每组间隔为11.
解析：因为102＝9×11＋3，所以需从总体中随机剔除3个个体后分9组，每组间隔为11.
答案：④
考点三 分层抽样的交汇命题(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误．
常见的命题角度有： (1)与频率分布相结合问题； (2)与概率相结合问题．
[题点全练]
角度一：与频率分布相结合问题
1．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如图所示的部分频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题．
(1)求分数在[120,130)内的频率；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
解：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.
(2)估计平均分为x －
＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
(3)由题意，得[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)， [120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，分别记为m ，n ； 在[120,130)分数段内抽取4人，分别记为a ，b ，c ，d .
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，所有基本事件有(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共15个，其中事件A 包含9个．
∴P (A )＝915＝3
5
.
角度二：与概率相结合问题
2．(2016·无锡调研)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
z ＝2y . (1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．
解：(1)由题意知x
500＝0.3，所以x ＝150，所以y ＋z ＝60，
因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，
则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50
500×20＝2，
应抽取“不赞成改革”的学生人数为50
500
×40＝4.
(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，
至少有1名教师的选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，
故至少有1名教师被选出的概率P ＝1620＝45
.
[方法归纳]
进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数
； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是________(填序号)．
①抽签法；②随机数表法；③系统抽样；④分层抽样．
解析：由留下的学生座位号均相差一排可知是系统抽样． 答案：③
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01.
答案：01
3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为________．
解析：设样本容量为n ，则10n ＝200
800
，解得n ＝40. 答案：40
4．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为________．
解析：设样本容量为n ，则52＋3＋5＝60
n
.
解得n ＝120. 答案：120
5．某校2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020＝12
人．
答案：12
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2016·淮安调研)为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为________．
解析：由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9. 答案：9
2．(2016·扬州检测)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．若采用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为________．
解析：因为特长生总人数为25＋35＋40＝100，所以抽样比为40100＝2
5，所以抽取的体育
特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为25×25＝10,35×25＝14,40×2
5
＝16.
答案：10,14,16
3．(2015·南京调研)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝________.
解析：由已知条件，抽样比为13780＝1
60，
从而35600＋780＋n ＝1
60，解得n ＝720.
答案：720
4．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为________．
解析：根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500，所以n ≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
答案：482
5．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为________．
解析：利用分层抽样的比例关系，
设从乙社区抽取n 户，则270360＋270＋180＝n
90.
解得n ＝30. 答案：30
6．某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市________家．
解析：根据分层抽样的知识，设应抽取中型超市t 家，则801 000＝t
200
，解得t ＝16. 答案：16
7．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组。