四川省成都市实验外国语学校2021届高三下学期4月月考数学(理)试题 Word版含答案

成都试验外国语学校高2021届4月月考（理科）数学试题
（总分150分，时间120分钟）
命题人：赵光明
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合1222x A x Z ⎧⎫
=∈≤≤⎨⎬⎩⎭
，}{cos ,B y y x x A ==∈，则B A =( )
A ．{0}
B ．{1}
C ．{0，1}
D ．{-1，0，1}
2．已知复数z 满足2
(3)(1i z i i
+=+为虚数单位）
，则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 其次象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
3．左下图是某高三同学进入高三来的12次数学考试成果的茎叶图，第1次到第12次的考试成果依次记为：
1212,,
,A A A 。

右下图是一个关联的算法流程图。

那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．9
B ．5
C ．12
D ．10
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()tan 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的一个对称中心；
B ．设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 大约削减2.5个单位；
C ．命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =，则ABC ∆
D ．对于命题:
01x P
x ≥-
，则:01
x P x ⌝<-。

5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.3160
B.23264+
C. 103
D.2888+
6. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则
这样的三位数n 有（ ）
A ．12种
B ．24种
C ．28种
D ．36种 7.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。

若存在两项,m n a a 14a =，则19
m n
+的最小值为( )
A ．
83 B. 114 C. 145 D. 17
6
8. 双曲线112
4:
2
22=-y x C 的半实轴长是半焦距长与抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点横坐标的等比中项，过抛物线1C 的焦点F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与抛物线1C 交于两点B A ,，则=||AB （ ） A.4
B.
3
14 C.
3
16 D.12
9.已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x
=，
2
5
)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x 的方程250((0,1))2abx b ++=∈有两个不同实根的概率为（ ）
A.
5
1
B.
5
2 C.
5
3 D.
5
4 10．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。

当[0,1]x ∈时，
2()(),()1(1),5则x f f x f x f x ==--150( )2015f -+151
( )2015
f -+
170(
)2015
f +-171
+(
)2015f -= ( )
A . 275-
B. 5-
C. 6- D .11
2-
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知锐角α的终边上一点()
1cos 40,sin 40P -，则锐角α= ▲
7 8 9
10 11 9 6 3
5 4 3 7 8
2 3 7
0 （主视图） （左侧视图）
12.若5
(21)x +=252010201120122015a a x a x a x +++
，则201120132015a a a ++的值为 ▲
13.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的取值范围 ▲ .
14.已知正四周体ABCD 的棱长为1，M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，则2
()AP BP +的最小值为 _____▲ ________； 15.已知函数1,0
()ln ,0.
x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩则函数[()1]y f f x =+的零点个数 ▲
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本题满分12分） 已知0x ，0π2x +
是函数()()22
πcos sin 06f x x x ωωω⎛⎫=--> ⎪⎝
⎭的两个相邻的零点.
（1）求π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）若对7π,012x ⎡⎤
∀∈-⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x m -≤，求实数m 的取值范围. ▲
17． (本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，点()1,n n S S +在直线11x y
n n
-=+上，其中*n N ∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设112n n n n n S S T S S ++=
+-，证明：123
433
n T T T T ≤+++<。

▲ 18．（本题满分12分）
随着人们对雾霾环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此成都市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓舞市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，便利更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；
⑦租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间超过3小时，按每小时扣2 分收费（不足1小时的部分按1小时计算）．
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不
超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2． （1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ． ▲
19.（本小题满分12分）
如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且
GD AG 3
1
=，GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点，四周体BCG P -的体积为38.
（1）求过点P ，C ，B ，G 四点的球的表面积； （2）求直线PD 与平面PBG 所成角的正弦值；
（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线DF 与GC 所成的角为060，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由.
▲
20.(本小题满分13分)
椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，过1F 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于,A B 两点.
（1）若2ABF ∆为正三角形，求椭圆的离心率；
（2
）若椭圆的离心率满足102
e <<，O 为坐标原点，求证：222
OA OB AB +<. ▲
21.(本小题满分14分)
已知函数()()()
32
1ln 1,0x ax bx x f x c x x c ⎧-++<⎪=⎨≥≠⎪⎩在0x =和23x =处存在极值.
（1）求实数,a b 的值.
（2）求函数()f x 在[]1,e -上的最值；
（3）对于任意给定的正实数c ，曲线()y f x =上是否存在两点P .Q ，使OPQ ∆（O 为原点）是以O 为直
角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？假如存在，求正实数c的取值范围；假如不存在，说明理由.
成都试验外国语学校高2021届4月月考理科数学试题
理科数学答案 一 ：选择题
1-5：B A A D C 6-10:C B C B D 二:填空题
11：70º ； 12：122 ； 13 ：
(,1]-∞；
14
：13
+
15： 4 ； 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本题满分12分）
（1）()22
πcos sin 6f x x x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭=π1cos 21cos 2322x x ωω⎛
⎫+- ⎪
-⎝⎭-
=
1πcos 2cos 223x x ωω⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
π23x ω⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ ----------4分 由题意可知，()f x 的最小正周期为πT =，所以1ω=，即(
)π23f x x ⎛⎫
=
+ ⎪⎝
⎭ -----5分
所以πππ212123f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ -----6分 （2）由于，()1f x m -≤等价于()()11f x m f x -≤≤+
所以，对7π,012x ⎡⎤
∀∈-
⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x m -≤恒成立，等价于()()max min 11f x m f x -≤≤+ ----------8分
又7π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得5πππ2633x -≤+≤
，即π322234x ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，----------10分
所以，114m -
≤≤-. 即，实数m
的取值范围为1,142⎡--⎢⎣⎦
----------12分 17.（本题满分12分）
解：（1）由于点()1,n n S S +在直线
11x y n n -=+上，所以，111n n S S n n +-=+，即n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
构成以1121S a ==为首
项，公差为1的等差数列。

所以，
()211n
S n n
=+-⨯，2n S n n =+， 当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，验证当1n =吻合；
所以，2n a n =。

-----6分 （2）由于1
12n n n n n
S S T S S ++=
+-， 所以，()()
()()2
22
2112
11n n n n n
T n n
n n ++++=
+
-++++222n n n n +=
+-+22
2n n =-
+ 当*n N ∈时，22
02
n T n n =->+，所以123143
n T T T T T +++≥=
； 又12311111
1213242n T T T T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
＝223312n n --<++， 所以，
1234
33
n T T T T ≤+++<。

-----12分
18（本题满分12分）
分别记“甲扣0、1、2分”为大事123，它们彼此互斥，且123)0.1A = 分别记“乙扣0、1、2分”为大事123,,B B B ，它们彼此互斥，且123()0.6,()0.2,()0.2P B P B P B === 由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 记甲、乙两人所扣积分相同为大事M ，则112233M
A B A B A B =++
所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.60.40.20.10.20.30.080.020.4=⨯+⨯+⨯=++=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）ξ的可能取值为：0,1,2,3,4
11(0)()()0.3P P A P B ξ===
1221(1)()()()()0.50.20.40.60.34P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=
132231(2)()()()()()()0.50.20.40.20.10.60.24P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯= 2332(3)()()()()0.40.20.10.20.1P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=
33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ
===⨯=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
的数学期望
┄┄┄┄┄12分
19. (本小题满分12分)
解：（1）由四周体BCG P -的体积为3
8
.∴4PG =
以,,GP GB GC 构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线。

∴2(2)1644R
=++∴R =
∴4624球S ππ
=⨯= …………………………………………4分 （2）由2==GC GB
∴BGC ∆为等腰三角形，GE 为BGC ∠的角平分线，作DK BG ⊥交BG 的延长线于K, ∴DK BPG ⊥面。

由平面几何学问可知：3
2DK GK ==
，
PD =设直线DP 与平面PBG 所成角为α ∴sin DK DP α=
=
………………………………………………………8分 （法二：建系） （3）
,,GB GC GP 两两垂直，分别以,,GB GC GP 为,,x y z 轴建立坐标系
假设F 存在且设(0,,42)(02)
F y y y -<<33
(,,0),(0,0,0),(0,2,0)22
D G C -
∴3
3
(,,42),(0,2,0),
22
DF y y GC =-
-=又直线DF 与GC 所成的角为060 ∴0|||23|1cos602
||||
||||
DF GC y DF GC DF GC ⋅-=
=
=
化简得：2
23702y y -+= 72
y ±=
不满足02y << ∴这样的点不存在 (12)
分 20.（本小题满分13分）
解：（1）由椭圆的定义可知：1
212AF AF BF BF +=+，又22AF BF =，所以11AF BF =，即12F
F
为边AB 的垂直平分线；在12Rt AF F ∆中，2cos3043
c
a
=
，则3c a =，所以，椭圆的离心率为3. …………………………………………………………………5分
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由于0e <<
，1c =，所以a >. …………6分
①当直线AB 垂直于x 轴时，22211y a b +=，
42
2b y a
=，
2
2442
1212222
35
31241a b a a OA OB x x y y a a a ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭=+=-== 由于2
a >
，所以，0OA OB <，所以，AOB ∠恒为钝角，即222OA OB AB +<. ……9分 ②当直线AB 不垂直于x 轴时，设AB 的直线方程为()1y k x =+，代入22
221x y a b
+=，
得()2
2
2
2
2
2
2
2
22
20b a k x k a x a k a b +++-=，则22122222a k x x b a k -+=+，2222
12222
a k a
b x x b a k -=+
()()21212121211OA OB x x y y x x k x x =+=+++=
()24222
2
2
2
31k a a a b b a k
-+--+
令，()a ϕ=4231a a -+-由①可知()0a ϕ<
即0OA OB <，所以，AOB ∠恒为钝角，即222OA OB AB +<. …………13分 21.（本小题满分14分）
解：（1）当1x <时，()2
32f x x ax b '=-++
由于()f x 在0x =和23x =处存在极值，即22033
203
3a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，1,0a b ==； …………4分
（2）当11x -≤<时，()()32f x x x '=-- 令()320x x -->，解得203x <<
，令()320x x --<，解得10x -<<或2
13
x <<，
所以，()f x 在()1,0-和2,13⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增. 又()12f -=，24
327f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，(1)0f =，(0)0f =， 当1x e ≤≤时，若0c <，()f x 在[1,]e 上单调递减；若0c >，()f x 在[1,]e 上单调递增，
所以当0c <时，max (1)2f f =-=，min ()f f e c ==；
当02c <<时，max (1)2f f =-=，min (0)(1)0f f f ===； 当2c ≥时，max ()f f e c ==，min (0)(1)0f f f ===.…………9分
（3）假设曲线()y f x =上存在两点P .Q 满足题意，则P .Q 两点只能在y 轴的两侧，不妨设()()
,P t f t
()0t >，则Q ()32,t t t -+，且1t ≠.
由于POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ =，即()()
2320t f t t t -++= 若01t <<，则()()232
3
20t t t t t -+-++=，化简的4210t t -+=，此方程无实数解.
若1t >，则(
)
232ln 0t c t t t -++=，即
()1
1ln t t c =+， 构造函数()()1ln t t t ϕ=+，()1
ln 10t t t
ϕ'=++>，()()10t ϕϕ>=
所以，当0c >时，方程()1
1ln t t c
=+恒有解.
所以，对于任意给定的正实数c ，曲线()y f x =上是肯定存在两点P .Q ，使OPQ ∆（O 为原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上. ………… ……14分。