平行四边形的判定

A 证明： 延长DE到F，使EF=DE． D E 连接AF、CF、DC ． C B ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CF // AD ． ∴CF // BD ． ∴四边形BCFD是平行四边形．
F
探究思考
证明： ∴DF // BC ．
A
1 又 DE DF ， B 2 1 ∴ DE∥BC， DE BC ． 2
图2
命题：一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形．
请你猜想，这个命题成立吗？
我们在方格纸上利用手中的木棍，做一 个满足一组对边平行且相等的四边形，并 判断所做的四边形是否是平行四边形.
命题：一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形.
请你将上述命题改写成已知、求证，并 画出图形，然后思考如何证明.
第十八章
平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定 第2.3课时
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平 行 四 边 形 的 判 定
边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角两组对角分别相等的四边形是平四边形对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形
D
E
C
F
探究思考
证明：
证法2：
A
延长DE到F，使EF=DE． D 连接FC． B ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE=∠F ，AD // CF． ∴BD // CF． ∴四边形BCFD是平行四边形． (下面证明同证法1)
E
C
F
探究思考
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
已知：如图3 ，在四边
形ABCD中，AB//CD， AB=CD. 求证：四边形ABCD是 平行四边形.
图3
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，
AB=CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明： 方法1：如图，连接
AC.
∵AB //CD ， ∴∠1=∠2． 又 ∵AB =CD ， AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA． （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∴BC =DA ． ∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
E
C
分析： 猜想：
两条线段的关系 DE 与BC的关系 位置关系 DE∥BC
1 ？ BC 数量关系 DE 2
问题4： 度量一下你手中的三角形，看看是 否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
探究思考
猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
B A
E
C
问题5：如何证明你的猜想
三角形问题 （三角形中位线定理）
B F C
归纳小结
知识方面：三角形中位线概念； 三角形中位线定理．
思想方法方面：转化思想．
布置作业
必做题：教材第50页习题第4、5题． 选做题：再顺次连接本节课例题中所得到的 四边形EFGH各边中点，又得到一个新的四边 形，判断这个新四边形是否是平行四边形， 并说明理由．
B A
E
C
符号语言： △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
1 则DE∥BC，DE= BC． 2
探究思考
三角形中位线定理：
D
A
E
C
三角形的中位线 平行
B
1 一条线段是另一条线段的2倍或 2
学以致用
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1） 若DE=5，则BC= 10 ． （2） 若∠B=65°，则∠ADE= 65 °． （3） 若DE+BC=12，则BC= 8 ．
在四边形ABCD中， ∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
强调：同一组对边平行且相等.
练习3：
为了保证铁路的两条直铺的铁轨 互相平行，只要使互相平行的夹在铁 轨之间的枕木长相等就可以了.你能说 出其中的道理吗？
贴上图片
探究思考
请同学们按要求画图： 画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E， 连接DE． A
我们知道两组对边分别平行或相等 的四边形是平行四边形. 请同学们猜想一下，如果只考虑四边 形的一组对边，当它满足什么条件时 这个四边形是平行四边形？
猜想证明，探索新知 问题1：一组对边平行的四边形是平 行四边形吗？如果是请给出证明， 如果不是请举出反例说明.
小学学习过的梯形满足一组对边平 行的条件，但梯形不是平行四边形.
x+2x=12 x=4
A C E
x
D
2x
B
学以致用
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点 C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？ 根据是什么？ A
M
C
N
B
分别画出AC、BC中点M、N， 量出M、N两点间距离，则AB=2MN. 根据是三角形中位线定理．
学以致用
例：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． D 四边形问题 H A G 连接对角线 E
探究思考
A
D
B
E
C
已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、
1 AC的中点. 求证：DE∥BC， DE BC ． 2
探究思考
A
D
E
C
分析1：
平行 角
B
一条线段是另一条线段 的一半
倍长短线
或 平行四边形
线段相等
探究思考
A
分析2：
倍长 DE 互相 平分
D
B
E
C
构 造
平行 四边 形
探究思考
证法1：
D
B
E
C
定义：像DE这样，连接三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线．
探究思考
问题1： 一个三角形有几条中位线？三条 问题2： 三角形中位线与三角形中线 B 有什么区别？ 端点不同。
A A
D F
A
E
C
D
B
E
中线：连接三角 形顶点与对边中 点的线段。 D
C B
C
问题3： 如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？
问题2：满足一组对边相等的四边形 是平行四边形吗？
如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边 EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.
问题3：如果一组对边平行，而另一组 对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图2，等腰梯形属于一组 对边平行（上底和下底）， 而另一组对边相等（两腰）， 但是等腰梯形不是平行四边 形．
方法2：
如图，连接 AC．
∵AB //CD ， ∴∠1=∠2 ． 又 ∵AB =CD ， AC =CA ， ∴△ABC≌△CDA ． ∴∠BCA=∠DAC ． ∴AD //BC ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定定理
：
一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形. 符号语言：