Jordan矩阵介绍

矩阵的Jordan 标准形
一、矩阵的相似对角化
定义1 设A 、B 是两个n 阶方阵，如果存在阶可逆矩阵n P ，使得 B AP P =−1
则称B 相似于A ，记为B A ~，可逆矩阵P 称为将A 变成B 的相似变换矩阵。

如果矩阵A 能与一个对角矩阵Λ相似，则称矩阵A 可相似对角化，也说矩阵
A 可对角化。

若方阵A 不能与对角矩阵相似，则称矩阵A 不能相似对角化，也说
矩阵A 不能对角化。

线性代数课程已给出了矩阵A 可对角化的充要条件：
定理1
（1）阶方阵n A 可对角化的充要条件是A 有个线性无关的特征向量。

n （2）若阶方阵n A 有个互不相同的特征值n n λλλ,,,21L ，则A 可对角化。

把阶方阵n A 对角化的步骤如下：
（1）求出A 的特征值，设互不相同的特征值为s λλλ,,,21L ；
（2）对每个特征值i λ（s i ≤≤1）
，求齐次方程组 0x =−)(E A i λ 的基础解系，得到对应于i λ的线性无关特征向量组{}
k i i i p p p L ,,21；若全体线性无关特征向量的个数小于，则矩阵n A 不可对角化。

若线性无关特征向量的个数为，则进行下一步骤。

n （3）将对应于互不相同特征值 s λλλ,,,21L 的特征向量全体作为个列向量构成方阵，则 n ()n P p p p ,,,21L =Λ=−AP P 1为对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值，方阵P 的列向量的顺序与对角矩阵Λ对角线上元素顺序相对应。

二、矩阵的Jordan 标准形
一个阶方阵不一定有个线性无关的特征向量，因此不一定存在与之相似的对角矩阵。

我们问：如果一个阶方阵不能与对角矩阵相似，它能否与一个分块对角矩阵相似呢？ Jordan 标准形就是为了解决这个问题。

n n n 本段中的λ可以为复数。

定义2 形如
m m J ⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟
⎠⎞⎜⎜⎜⎜
⎜
⎜⎝
⎛=λλλλλ11
11
)(O 的阶方阵称为一个阶Jordan 块，其中m m λ为复数。

当λ是矩阵A 的特征值时，称)(λm J 为A 的特征值λ的Jordan 块。

例2 下列矩阵
()2； ； ； 。

⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛3013⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛+++i i i
10
0110011⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎛00
0100001000010都是Jordan 块，它们分别为，，)2(1J )3(2J )1(3i J +，。

)0(4J 定义3 由若干Jordan 块组成的分块对角矩阵称为Jordan 矩阵。

即
J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎛=)()
()
(2121s m m m s J J J J λλλO
当时，称是n 阶Jordan 矩阵。

n m m m s =+++L 21J 例3 矩阵
⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛=00100010013
301
3i
i i J 是8阶Jordan 矩阵，它是由4个Jordan 块，，，组成。

)3(2J )3(1J )(3i J )0(2J 因为一阶Jordan 块为一阶方阵，所以对角矩阵也是Jordan 矩阵。

若矩阵A 相似于一个Jordan 矩阵，则称为矩阵J J A 的Jordan 标准形。

定理2 任何一个n 阶矩阵A 都相似于Jordan 标准形，且Jordan 标准形主对角线上的个元素就是矩阵n A 的特征多项式的全部的根（重根按重数计算），即是矩阵A 的特征值。

定理的证明从略。

定理2表明，任何矩阵A 都能与Jordan 标准形相似，即存在可逆矩阵P ，使得
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛=)()
()
(2121s m m m s J J J J λλλO
， 其中
i
i m i i
i
i
m J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜
⎜
⎜⎝
⎛=λλλλλ11
1
1
)(O
i λ) , , 2 , 1(s i L =为矩阵A 的特征值。

特别地，当每个Jordan 块都为1阶时，
Jordan 标准形为对角形矩阵。

推论3 两个矩阵相似的充分必要条件是它们具有相同的Jordan 标准形。

此推论可直接由相似关系的对称性和传递性得出。

对于给定的矩阵A ，怎样求A 的Jordan 标准形以及相似变换矩阵P 呢？ 三、广义特征向量
定义3 设λ是阶矩阵n A 的一个特征值，若存在n 维向量和正整数，使得
p m ，
0p E A ≠−−1)(m λ 但
0p E A =−m )(λ
则称向量是矩阵p A 的对应于特征值λ的一个阶广义特征向量。

m 由定义可知，A 的对应于特征值λ的一个1阶广义特征向量就是A 的对应于
特征值λ的特征向量。

显然，若，则 0p E A ≠−−1)(m λ0p E A ≠−k )(λ)1 , , 2 , 1 , 0(−=m k L 。

设p 是矩阵A 的对应于特征值λ的m 阶广义特征向量，定义{}m p p p ,,,21L 如下：
p p =m ，
p E A p )(1λ−=−m ，
L
L L m m m p E A p E A p 212)()(λλ−=−=−−， p E A p E A p 121)()(−−=−=m λλ。

称向量组是{m p p p ,,,21L }A 的对应于特征值λ的长度为的广义特征向量组。

m 定理4
（1）对A 的每个重特征值m λ，存在个线性无关的对应于特征值m λ的广义特征向量。

（2）对应于A 的不同特征值的各阶广义特征向量是线性无关的。

定理的证明从略。

四、求A 的Jordan 标准形和相似变换矩阵P 的方法举例
例4 设
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎜⎜⎝⎛−−−=2000110011101101A 求一个相似变换矩阵P 把A 化为Jordan 标准形。

解
1．求A 的特征值：A 的特征多项式 )2()1(20
0011001
1
101
1
013λλλ
λλλλ−−=−−−−−−−=
−E A A 有两个不同的特征值11=λ和22=λ，11=λ是三重特征值。

2．求A 的广义特征向量：
对应于22=λ的一个特征向量是()
T
11004−=p
因为齐次线性方程组0)()(1=−=−x E A x E A λ的系数矩阵的秩为2，所以对应于特征值11=λ的线性无关特征向量只有两个，矩阵A 不能相似于对角矩阵。

解得齐次线性方程组0)()(1=−=−x E A x E A λ的基础解系为
， ()T
00011=p ()T
00112−=p 。

{21,p p }就是矩阵A 的应于特征值11=λ的两个线性无关的特征向量。

求解齐次线性方程组，即
0)()(331=−=−x E A x E A λ ， ()0x E A =⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎛−−=−43
213
100
0100000000000x x x x 得到广义特征向量中除特征向量{}21,p p 外，还有一个向量满足等式 ()T
01003=p ()23p p E A =−
3．求相似变换矩阵P 和A 的Jordan 标准形
由上面易知，
{}1p 是A 的对应于特征值11=λ的长度为1的广义特征向量组，是{}的对应于特征值11=λ的长度为2的广义特征向量组， 是{}4p A 的
对应于特征值21=λ的长度为1的广义特征向量组。

32,p p A 令
()⎟⎟⎟
⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜⎜
⎝⎛−−==10001100001
0001
1,,,4321p p p p P 则可求得A 的Jordan 标准形为
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎜
⎜⎝
⎛==−21
01111AP P J 注：虽然11=λ是A 的三重特征值，由于()()2
131E A E A λλ−=−，实际上
只是3p 1λ的一个二阶广义特征值。

例5 设
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=110000110000112000110200001111001
113A 求一个相似变换矩阵P 把A 化为Jordan 标准形。

解 1．计算A 的特征值：
λλλ5)2(−==−E A
A 有两个不同的特征值21=λ和02=λ，21=λ是五重特征值。

2．求A 的广义特征向量：
对应于02=λ的一个特征向量是()T
110000−=w 。

因为齐次线性方程组0)2()(1=−=−x E A x E A λ的系数矩阵的秩为4，所以对应于特征值21=λ的线性无关特征向量只有两个，所以矩阵A 不能相似于对角矩阵。

解得齐次线性方程组0)2()(1=−=−x E A x E A λ的基础解系为
， ()T
0000111=u ()T
0011001−=v 。

{21,p p }是矩阵A 的应于特征值21=λ的两个线性无关的特征向量。

下面求齐次线性方程组的解。

由于
0)2()(551=−=−x E A x E A λ311551)2( 2)2()(E A E A E A −=−=−λ
所以两个齐次线性方程组与同解。

求的解得到除特征向量外的三个广义特征向量
0)2(5=−x E A 0)2(3=−x E A ()0
x E A =−3
{21,p p }T
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=00002
1212u ，T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=0041410
03u ，T
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
=212100002v 。

并且
，()232u u E A =−()()132
222u u E A u E A =−=−；
()122v v E A =−。

3．求相似变换矩阵P 和A 的Jordan 标准形
由上面易知，是{}的对应于特征值21=λ的长度为3的广义特征
向量组，是21,v v A 的对应于特征值21=λ的长度为2的广义特征向量组，
是{}w A 的对应于特征值01=λ的长度为1的广义特征向量组。

321,,u u u A 令
()⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎝⎛−−−==15.015.0125.01
25.05.015.01,,,,,21321w v v u u u P 则可求得A 的Jordan 标准形为
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛==−02
0122001200
121AP P J
练习
1．设，求⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎝
⎛−−−=i i i A 0000
01000001000000000
000030000013A 的各阶Jordan 块。

2．求下列矩阵的Jordan 标准形和相似变换矩阵P 。

（1）， （2）， （3）
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−201034011⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−411301621⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−211212112。