2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第十章 第7讲 n次独立重复试验与二项分布

2019年4月
[基础达标]
1．(2019·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭
⎫P ≥15
16，则n 的最小值为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
详细分析：选A.由题意得P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n
≥1516，则⎝⎛⎭⎫12n
≤116，所以n ≥4，故n 的最小值为4.
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向
上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )
A ．512
B ．12
C ．712
D ．34
详细分析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝1
6，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B
中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －
)＝1－12×56＝712
，故选C.
3．(2019·绍兴调研)设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5
9，则P (Y ≥2)
的值为( )
A ．3281
B ．1127
C ．6581
D ．1681
详细分析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127
. 4．(2019·杭州七校联考)如果X ～B ⎝⎛⎫15，1
4，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．3或4
详细分析：选D.观察选项，采用特殊值法． 因为
P (X ＝3)＝C 315
⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭
⎫3412
， P (X ＝4)＝C 415
⎝⎛⎭⎫144
⎝⎛⎭
⎫3411
，
P (X ＝5)＝C 515
⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭
⎫3410
，
经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)， 故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.
5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和4
5，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率
是( )
A ．13
B ．23
C ．887900
D ．899900
详细分析：选D.设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2；B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝4
5，则至少有1
棵大树成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)＝1－⎝⎛⎭⎫162
×⎝⎛⎭⎫152
＝899
900.
6．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开和关的概率都是1
2，且是相互独立
的，则灯泡甲亮的概率为________．
详细分析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AC B －，且A ，B －，C 之间彼此独立，P (A )＝P (B －
)＝P (C )＝12
.
所以P (A B －C )＝P (A )P (B －
)P (C )＝18.
答案：18
7．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为____________．
详细分析：由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34
，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342
×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732
. 答案：2732
8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为1
3，用X 表示5位乘客在第20层
下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．
详细分析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k
×⎝⎛⎭
⎫235－k
，k ＝0，1，2，3，4，5.
故
P (X ＝4)＝C 45
⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231
＝10243
.
答案：10
243
9．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．
解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 1
2×13×23＝49
.
(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233
＝8
27， P (X ＝5)＝C 12×13×
⎝⎛⎭⎫232
＝827
，
P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232
×13＝6
27， P (X ＝15)＝C 12×
⎝⎛⎭⎫132
×23＝427
，
P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133
＝1
27. X 的分布列为
10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为1
3
.某小组为了研究连续
服用该药物后出现A 症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状与上次用药无关．
(1)若出现A 症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率； (2)若在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．
解：(1)法一：记试验持续i 天为事件A i ，i ＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B ，
易知P (A 1)＝13，P (A 2)＝23×13，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13，P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫233×13，
则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝65
81
.
法二：记试验至多持续一个周期为事件B ，则B －
为试验持续超过一个周期，
易知P (B －)＝⎝⎛⎭⎫234
＝16
81
，
所以P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫234
＝65
81.
(2)随机变量η的所有可能取值为1，2， P (η＝1)＝C 34
⎝⎛⎭⎫133
·
23＋⎝⎛⎭⎫134
＝19，
P (η＝2)＝1－19＝8
9，
所以η的分布列为
[能力提升]
1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列．
解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，
C ＝{顾客抽奖1次能获
奖}．
由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2
＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.
因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝1
2，
所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝1
5，
P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)
＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝2
5×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12
. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710
.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为1
5，
所以X ～B ⎝⎛⎭
⎫3，15. 于是
P (X ＝0)＝C 03
⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453
＝64125
，
P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151
⎝⎛⎭⎫452
＝48125，
P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152
⎝⎛⎭⎫451
＝12125， P (X ＝3)＝C 33
⎝⎛⎭⎫153
⎝⎛⎭⎫450＝1125
. 故X 的分布列为
2.(2019·杭州学军中学高三月考)某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．
(1)求恰有2人选修物理的概率； (2)求学生选修科目个数ξ的分布列．
解：(1)这是等可能性事件的概率计算问题．
法一：所有可能的选修方式有34种，
恰有2人选修物理的方式C 24·22
种， 从而恰有2人选修物理的概率为C 24·22
34＝8
27
.
法二：设每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“选修物理”为事件A ，则P (A )＝1
3
，从而，
由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为P ＝C 24
⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232
＝827
. (2)ξ的所有可能值为1，2，3，
P (ξ＝1)＝334＝1
27；P (ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 2
2）34＝1427；
P (ξ＝3)＝C 13C 24C 12
34
＝49
； 综上知，ξ的分布列为
3.现有4趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为1
3，去参加乙项目联欢的
概率为23
.
设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)， 则
P (A i )＝C i 4
⎝⎛⎭⎫13i ·⎝⎛⎭
⎫234－i
. (1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率
P (A 2)＝C 24
⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232
＝827
.
(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.
故
P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34
⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44
⎝⎛⎭⎫134
＝19
.
所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为1
9.
(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.
P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝40
81，
P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝17
81.
所以ξ的分布列为
4.某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为
(1)求随机变量X 的分布列；
(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．
解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －
)＝1－q 2.
根据分布列知：当X ＝0时，
P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －
)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.
当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －
)P (B )＝0.75q 2(1－
q 2)×2＝0.24，
当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －
)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时， P 3＝P (A －BB )＝P (A －
)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －
B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －
)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为
(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －
B )＋P (BB )
＝2(1－q 2)q 2
2＋q 22＝0.896.
所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．。