河北省冀州中学高三数学高考保温试题(理)

河北省冀州中学2009届高三保温测试卷（理） 数学
参考公式
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P (A ＋B)＝P (A)十P (B) S ＝4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 V ＝πR 3
么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
P n (k )＝P k (1一P)n －k
（k ＝0，1，2，…，n ）
第I 卷（选择题共60分）
一．选择题 1.满足条件{1,2}{1,2,3,}M
=的集合M 的个数是: （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2. 设复数z 满足
(2)i z i =-（i 为虚数单位），则z =
（ ）
A ．521i --
B ．521i -
C ．521i +
D ．
521i
+- 3.设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 ( ) A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 4.已知n S 为等差数列}{n a 前n 项和，若210
=a ，则19S = （ ）
A ．19
B ．38
C ．76
D ．20 5.若向量a 与b 的夹角为120°，且||1,||2,a b c a b ===+，则有：（ ） A ．//c a B ．c b ⊥ C ．//c b D ．c a ⊥ 6.已知函数2
2sin cos24y x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，则它的周期T 和图像的一条对称轴方程是：（ ）
A 2,
8
T x π
π== B 32,8T x π
π==
C ,8
T x π
π==
D 3,8
T x ππ==
7．设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是
)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别是
( )
A ．)1()1(-f f 与
B ．)1()1(f f 与-
C ．)2()2(f f 与-
D ．)2()2(-f f 与
8．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角
为45º，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A ． 22+
B ． 221+
C ． 22
2+ D ． 21+
9.
若n 展开式中存在常数项，则n 的值可以是( )
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10 10.点A 为平面α内一点，点B 为平面α外一点，直线AB 与平面α成60角，
平面α内有动点P ，当30ABP ∠=时，则动点P 的轨迹为：（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．圆 D.抛物线 11. 某校要从高三的六个班中选出8名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选 1人，则这8个名额的分配方案共有（ ）
A ．21
B ．27
C ．31
D ．36
12.从双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长
FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MT MO -= A ．c a - B ．b a - C ．c b - D ．a b - （ ）
第II 卷（非选择题共90分）
二．填空题 13.
不等式(0x -≥的解集是＿＿＿＿＿＿＿
14.
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积
为 ．
15.已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-0
530
2y x y x ，则11()()42x y z =⋅的最小值为________.
16. 已知向量(1,1),(1,0)a b ==, c 满足0a c ⋅=且||||,0a c b c =⋅>.若映射
//:(,)(,)f x y x y xa yc →=+，则在映射f
下，向量(cos ,sin )θθ（其中R θ∈）
的原象的模为________
三.解答题
17. （本小题满分10分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，
且满足.cos cos cos 2
C ab B ca A bc c ++= （1）试判断△ABC 的形状；
（2）若B AC AB BC AB 求角,9,3=⋅-=⋅的大小.
18. （本小题满分12分）李先生居住在北京的A 处，准备开车到鸟巢所在的B 处看 比赛，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件 最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图(例如A →C →D 算两个路段，路段AC
发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为1
15
).
(1)为了能在最短的时间内到达鸟巢，请你为李先生选择一条由A 到B 的路线， 使途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记按路线A →C →F →B 行驶过程中遇到堵车事件的次数为ξ，求ξ的分布 列及数学期望E ξ.
19. （本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，
,
2
ADC DCB π
∠=∠=
1,AD =3BC =，
PC=CD=2，⊥PC 平面ABCD ， E 是线段AB 的中点。

（I ）求证：⊥DE 平面PAC ；
（II ）求二面角B —PA —C 的大小。

20. （本小题满分12分）已知函数2
()ln ()f x x a x x =+- （I ）若1a =-时，求()f x 的极值；
（Ⅱ）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若()f x 图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <，AB 的中点为0(,0)C x ， 求证：0'()0f x ≠
21．（本小题满分12分）
某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α , 2
1
tan =
α试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）
22 . （本小题满分12分）已知n n a a a n n 32,12
11
+-==+ （1）是否存在实数
}{,,2
n n a n μλμλ++使数列为等比数列，若存在，求实 数
μλ,的值；若不存在，说明理由。

（2）设
n n n n n b b b S n a b +++=-+=
- 211,21
, 证明：当*
n N ∈时，
有2(1)
ln
2.2
+<<+n n S n
冀州中学2009届高三保温测试卷
参考答案
A 卷：DDCBD DCADA AD 13.{x|x=－1或x ≥3} 14.
3
15.116
三.17.解：（1）由余弦定理得：
ab
c b a ab ca b a c ca bc a c b bc c 2222
222222222
-+⋅+-+⋅+-+⋅=
222b a c +=∴ABC ∆∴是以角C 为直角的直角三角形.………5分
（2）ABC Rt ∆ 中3cos ||||-=⋅-=⋅B BC AB BC AB ………………①
9sin ||||cos ||||=⋅=⋅=⋅B A ………②
3tan cos ||2==B B
BC ，则3
3tan π
=
⇒=B B ………………10分
18.解： （1）A →C →D →B 堵车概率13
1()10
P P AC CD DB =-⋅⋅=
A →C →F →
B 堵车概率2239
1()800P P AC CF FB =-⋅⋅= A →E →F →B 堵车概率3
91
1()300
P P AE EF FB =-⋅⋅= 因为213P P P <<，所以按路线A →C →F →B 行驶 6分
（2）ξ可取值0，1，2，3
561(0)800P ξ==
，637(1)2400P ξ==，77(2)2400P ξ==，3
(3)2400
P ξ== 8分 ξ
1
2
3
P
561
800 637
2400 77
2400 3
2400
∴1
3
E ξ=
12分 19.解：（Ｉ）取ＣＤ中点Ｆ，连接ＥＦ，
则2)(2
1
,=+=
⊥BC AD EF CD EF
,2,1====EF CD DF AD ︒=∠=∠90EFD CDA EFD CDA ∆≅∆∴FDE DAC ∠=∠∴
︒=∠+∠90FDE EDA ︒=∠+∠∴90DAC EDA
AC DE ⊥∴ 4分
DE PC ABCD PC ⊥∴⊥,平面 ⊥∴DE 平面PAC 6分
（II ）以点C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，CP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,2,1(),0,1,2(),2,0,0(),0,3,0(),0,0,2(),0,0,0(E A P B D C
⊥DE 平面PAC )0,2,1(-=∴PAC 的一个法向量为平面 8分 设平面PAB 的一个法向量为),,(z y x =由)2,3,0(),2,1,2(-=-=， 得⎩⎨
⎧=-=-+0
23022z y z y x 不妨令23,1,1===z y x 则即)23
,1,1(= 10分
85
8522
17523
0121)1(,cos =⋅
⋅
+⋅+⋅->=
<∴n DE .85852arccos 的大小为二面角C PA B --∴
12分
20.解：（I ）2121
'()2ax ax f x ax a x x -+=+-= 当1a =-时，
221(21)(1)'()x x x x f x x x -++-+--=
由1
'()0,,
f x x =∴=-或1x =。

1x ∴=时，极大，无极小值。

（Ⅱ）()f x 存在单调递减区间，221
'()ax ax f x x
-+=
'()0f x ∴<在(0,)+∞内有解，即2
210ax ax -+<在(0,)+∞内有解。

若0a =，则1
'()0f x x
=>，()f x 在(0,)+∞单调递增，不存在单调递减区间；
若0a >，则函数221y ax ax =++的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），
要使2
210ax ax -+<在(0,)+∞内有解，则应有280022a a a
a ⎧∆=->⎪⎨--
>⎪⨯⎩0a ∴<或8a >， 由于0a >，8a ∴>；若0a <，则函数2
21y ax ax =-+的图象是开口向下的抛物线，且
恒过点（0，1），2
210ax ax -+<在(0,)+∞内一定有解。

综上，0a <或8a >。

（Ⅲ）依题意：1202x x x +=，假设结论不成立，
则有21111
2
2222000()()0()()01
'()20f x Inx a x x f x Inx a x x f x ax a x ⎧
⎪=+-=⎪⎪=+-=⎨⎪⎪=+-=⎪⎩
①
②③
①—②，得
22
112122()()0x In
a x x a x x x +---=11212122
()()()0x In a x x x x a x x x ∴++---= 由③得，
12122
()0()a x x a x x ++-=+1122122()0x x x In x x x -∴-=+即1121
22
2201x x x In x x x ⋅--=+ 设12(01)x
t t x =<<，则2201t Int t ⋅--
=+，
令22()(01)1t u t Int t t -=-<<+2
2
(1)'()0(1)
t u t t t -∴=>+，()u t ∴在（0，1）上为增函数。

()(1)0u t u ∴<=，即22
01
t Int t ⋅--
<+，与④式矛盾∴假设不成立，0'()0f x ∴≠ 21.解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A （200，0），B （0，220），C （0，300）， 直线l 的方程为,tan )200(α-=x y 即.2
200
-=
x y 设点P 的坐标为（x ，y ）， 则
).200)(2
200
,
(>-x x x P 由经过两点的直线的斜率公式 ,2800300
2200
x
x x x k PC -=--=
.2640220
2200
x
x x x k PB -=--= 由直线PC 到直线
PB 的角的公式得 640160288642640280012160
1tan 2
⨯+-=-⋅
-+=⋅--=
x x x x
x x x x k k k k BPC PC
PB PC PB ).200(288
64016064>-⨯+=
x x
x 要使tanBPC 达到最大，只须288640
160-⨯+
x x 达到最小，由均值不等式,2886401602288640
160-⨯≥-⨯+x
x 当且仅当x
x 640
160⨯=
时上式取得等号，故当x =320时tanBPC 最大，这时，点P 的纵坐标y 为 .602
200
320=-=
y 由此实际问题知，,2
0π
<
∠<BPC 所以tanBPC 最大时，∠BPC 最大，故当此人距水平
地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大. 22.解：（1）假设存在μλ,满足题意 则)1()1(32)1()1(2
2
2
1+++++-=+++++n n n n a n n a n n μλμλ
μ
λμλλ+++++-+=n n a n )32()1(22 *2)(N n n n a q n ∈++=对一切μλ均成立 032,1,2=+=++=-=∴μλμμλλλq q q 1,1,2=-==∴μλq
*221)(21)1(N n n n a n n a n n ∈+-=+++-∴+对成立
1,1=-=∃∴μλ满足题意
（2）122-=+-n n n n a 21
2
n n a n n =-+∴-
2
1
111
(1)1
n b n n n n n ∴=
<
==-
-- 1111
111
1()221223
1n S n n n
∴≤+-+-+
+
-<-<- 当n=1时，34ln 21)11(2ln
ln 111=++>===e a S 2)
1(2ln ++>∴n n S n 成立
假设)(*N k k n ∈=成立 )2()
1(2ln ++>k k S k 成立
则2
21)1(1
)2()1(2ln )
1(1,1++++>++=+=+k k k k S S k n k k 时
)3()2(2ln )1(12)1(2ln 2++-++++k k k k k )1()
2()3)(1(ln )1(12
2≥+++++=k k k k k 1)1(2)1()
1(2)1(ln )1(122
2+++++++++=
k k k k k 2
2)1(11211
2
1ln )1(1++
++++
++=k k k k 22
121
()ln ,(0,](1)2
t g t t t t +=+∈+ 4
22)1()
21)(1(2)1(221)1(2)(t t t t t t t t g +++-+⋅
+++='0)1)(21(222)1)(21(42)1(2223>+++=++--++=t t t t t t t t t 0)0()(=>∴g t g 0])
1(1
[2>+∴k g 3)2(2ln )1(12)1(2ln 2
++>++++∴k k k k k 即得3)2(2ln 1++>+k k S k 成立 综上，由数学归纳法可知2
)
1(2ln ++>n n S n。