2019年数学人教A必修二新一线同步课件：4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

半径长为 3，圆 C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4 的圆心为(m，－1)，
半径长为 2.
依题意有 （－2－m）2＋（m＋1）2＝3＋2，
即 m2＋3m－10＝0，
解得 m＝2 知⊙O1 与⊙O2 的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋ y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则 r 的取值范围是________． 解析：因为圆心距 d＝|O1O2|＝2，且两圆相交，所以 r－1<d<r ＋1，即 r－1<2<r＋1，所以 1<r<3. 答案：1<r<3
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第四章 圆与方程
1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、 内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位 置关系的判断方法如下：
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第四章 圆与方程
位置关
外离
外切 相交 内切
内含
系
图示
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第四章 圆与方程
求过两圆 x2＋y2＝25 和(x－1)2＋(y－1)2＝16 的交点且面积最小的圆的方程． 解：圆 x2＋y2＝25 和(x－1)2＋(y－1)2＝16 的公共弦所在直线 的方程为 x2＋y2－25－[(x－1)2＋(y－1)2－16]＝0，即 2x＋2y －11＝0，过直线 2x＋2y－11＝0 与圆 x2＋y2＝25 的交点的圆 系方程为 x2＋y2－25＋λ(2x＋2y－11)＝0，即 x2＋y2＋2λx＋ 2λy－(11λ＋25)＝0.
题
能利用直线与圆的位置关系解决简 单的实际问题，体会用代数方法处理 几何问题的思想
直观想象、 逻辑推理
第四章 圆与方程
问题导学 预习教材 P129－P132 的内容，思考以下问题： 1．圆与圆的位置关系有哪几种？它们分别怎样去判断？ 2．两圆相交，怎样求公共弦所在的直线方程？ 3．两圆相交，圆心连线与两圆的公共弦有什么关系？
（1－0）2＋（0－2）2＝ 5<r1＋r2，又 r2－r1< 5，所以两
圆相交．
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第四章 圆与方程
圆 C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9 与圆 C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4 外切，则 m 的值为( )
A．2
B．－5
C．2 或－5
D．不确定
解析：选 C．圆 C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9 的圆心为(－2，m)，
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第四章 圆与方程
圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系 是( )
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
解析：选 B．化为标准方程：圆 O1：(x－1)2＋y2＝1，圆 O2： x2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 ， 则 O1(1 ， 0) ， O2(0 ， 2) ， |O1O2| ＝
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第四章 圆与方程
圆与圆位置关系的判断 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆 C2：x2 ＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆 C1 与圆 C2 外切？(2)圆 C1 与圆 C2 内含？
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第四章 圆与方程
【解】 对于圆 C1，圆 C2 的方程， 配方得 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果圆 C1 与圆 C2 外切， 则有 （m＋1）2＋（－2－m）2＝3＋2， 即 m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2. 故当 m＝－5 或 2 时，圆 C1 与圆 C2 外切．
圆 圆CC12方 方程 程―消―元→一元二次方程ΔΔΔ>＝ <000⇒ ⇒⇒_____相内内______交含切______或或______外外____离切_____
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第四章 圆与方程
■名师点拔 (1)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立xx22＋＋yy22＋＋DD12xx＋＋EE12yy＋＋FF12＝＝00，， 消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 则①判别式 Δ>0 时，C1 与 C2 相交； ②判别式 Δ＝0 时，C1 与 C2 外切或内切； ③判别式 Δ<0 时，C1 与 C2 外离或内含．
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第四章 圆与方程
(2)如果圆 C1 与圆 C2 内含， 则有 （m＋1）2＋（－2－m）2<3－2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0， 解得－2<m<－1. 故当－2<m<－1 时，圆 C1 与圆 C2 内含．
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第四章 圆与方程
(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①将两圆的方程化为标准方程； ②求两圆的圆心坐标和半径 r1，r2； ③求两圆的圆心距 d； ④比较 d 与|r1－r2|，r1＋r2 的大小关系，从而判断两圆的位置 关系．
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第四章 圆与方程
(2)对两圆相交问题的两点说明 ①若两圆相交，只要 x2，y2 的系数对应相等，两圆方程作差 所得方程即为两圆公共弦所在的直线方程； ②注意用两圆的方程相减求公共弦所在直线的方程必须在两 圆相交的条件下才成立．
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第四章 圆与方程
(3)两圆的公切线与两圆的位置关系 ①两圆外离，有两条外公切线，两条内公切线； ②两圆外切，连心线过切点，有两条外公切线，一条内公切 线； ③两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； ④两圆内切，连心线过切点，只有一条公切线； ⑤两圆内含，无公切线．
(2)两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法 已知圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和 C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0， 方程①：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0， 其中 λ 为任意实数．当两圆 C1，C2 相交时， ①若 λ＝－1，则方程①表示过两圆 C1，C2 的交点的直线； ②若 λ≠－1，则方程①表示过两圆 C1，C2 的交点的圆系方程 (但方程①所表示的圆不包括圆 C2，圆系中的一切圆都和 C1， C2 相交)．
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第四章 圆与方程
(2)代数法判断圆与圆的位置关系的注意点 将两圆的方程联立，消元后化为一元二次方程， ①由 Δ＝0 得两圆相切，但无法区分内切或外切； ②由 Δ<0 得两圆相离，但无法区分内含或外离．
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第四章 圆与方程
1．圆 x2＋y2＋4x－4y＋7＝0 与圆 x2＋y2－4x＋10y＋13＝0 的
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第四章 圆与方程
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．( √ ) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．( × ) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点 ，反之也成 立．( × ) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.( √ )
（3－0）2＋（4－0）2＝1＋ 25－m⇒m＝9. 答案：9
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第四章 圆与方程
2．求与圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径 为 1 的圆的方程． 解：已知圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 的圆心 C(2，－1)． 设所求圆 B 的圆心为 B(a，b)，切点为 A(4，－1)，则点 C， A，B 共线． 则 b＝－1，又因为|AB|＝1， 可得 a＝5 或 3， 即所求圆 B 的圆心 B(5，－1)或(3，－1)， 故圆 B 的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1 或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
第四章 圆与方程
4．2.2 圆与圆的位置关系 4．2.3 直线与圆的方程的应用
第四章 圆与方程
考点
圆与圆的 位置关系
直线与圆 的方程的
应用
学习目标
核心素养
掌握圆与圆的位置关系及判定方法，
会利用圆与圆位置关系的判断方法 进行圆与圆位置关系的判断，能综合 应用圆与圆的位置关系解决其他问
直观想象、 逻辑推理
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第四章 圆与方程
ba＋－33＝ 3.③
由①②③解得ab＝ ＝40， ，或
a＝0， b＝－4
3，故圆 C 的方程为(x－
r＝2
r＝6，
4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
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第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
1．若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 相外 切，则 m＝________． 解析：因为 x2＋y2－6x－8y＋m＝0⇒(x－3)2＋(y－4)2＝25－ m， 所以 25－m>0⇒m<25，且圆 C2的圆心为(3，4)，半径为 25－m， 根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
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第四章 圆与方程
两圆相交与公共弦长问题 若⊙A 的方程为 x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B 的方程 为 x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A 和⊙B 是否相交．若相交， 求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，请 说明理由．
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第四章 圆与方程
【解】 由已知得⊙A 的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，⊙ B 的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 所以两圆心之间的距离为：
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第四章 圆与方程
两圆相切问题 已知圆 C 与圆 C1：x2＋y2－2x＝0 相外切，并且与直 线 x＋ 3y＝0 相切于点 A(3，－ 3)，求圆 C 的方程． 【解】 设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 因为圆 C 与圆 C1：x2＋y2－2x＝0 相外切， 所以 b2＋（a－1）2＝r＋1.① 又因为圆 C 与直线 x＋ 3y＝0 相切于 A(3，－ 3)， 所以|a＋2 3b|＝r，②
公切线的条数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 D．由题意知，两圆圆心分别为(－2，2)，(2，－5)，
半 径 分 别 为 r1 ＝ 1 ， r2 ＝ 4 ， 所 以 两 圆 的 圆 心 距 d ＝
（－2－2）2＋（2＋5）2＝ 65>r1＋r2，即两圆外离，因此
它们有 4 条公切线．
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（1＋1）2＋（1＋1）2＝2 2，满足 3－2<2 2<3＋2， 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差， 所以两圆相交．
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第四章 圆与方程
⊙A 的方程与⊙B 的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5 ＝0，即 4x＋4y＋5＝0 为过两圆交点的直线的方程．设两交 点分别为 C，D，则 CD：4x＋4y＋5＝0.点 A 到直线 CD 的距 离为 d＝|4×1＋424＋×412＋5|＝138 2， 由勾股定理，得
|CD|＝2 r2A－d2＝2
32－13629＝
238 4.
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第四章 圆与方程
(1)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间 的距离公式求出弦长； ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半 弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
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第四章 圆与方程
d 与 r1、 r2 的关 d>_r_1＋__r_2
系
d＝ r_1_＋__r_2
|r1－
r2|<d< _r_1＋__r_2
d＝ |r_1_－__r_2| (r1≠r2)
0≤ d<|_r_1－__r_2| (r1≠r2)
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第四章 圆与方程
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判 断．
第四章 圆与方程
2．已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋y2 ＋2x＝0. (1)当 m＝1 时，判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系； (2)是否存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含？
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第四章 圆与方程
解：(1)因为 m＝1，所以两圆的方程分别可化为 C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1. 两圆的圆心距 d＝ （1＋1）2＋（－2－0）2＝2 2， 又因为 r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以 r1－r2<d<r1 ＋r2， 所以圆 C1 与圆 C2 相交． (2)假设存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含， 则 （m＋1）2＋（－2－0）2<3－1， 即(m＋1)2<0，显然该不等式无解． 故不存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含．