2020版高考数学(文)新设计一轮复习 第六章 数列 课时跟踪检测(三十八) 等比数列及其前n项和

课时跟踪检测（三十八） 等比数列及其前n 项和
A 级——保大分专练
1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )
A ．4 B.5
2
C ．2
D.12
解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，q ＝－2
(舍去)，故选C.
2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8， ∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C. 3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2
D ．±2
解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3
q
2＝1，故选A.
4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1
2，a 2a 6＝8(a 4－
2)，则S 2 019＝( )
A ．22 018－1
2
B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018
C ．22 019－1
2
D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019
解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4
＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝1
2(1－22 019)1－2
＝22 018－1
2，故选A. 5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511
D ．512
解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)
1－2
＝511.故选C.
6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1
D ．a 1>0，q >1
解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1
－a n
∈(0,1)， ∴a 1<0,0<q <1.故选A.
7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)
1－2＝127.
答案：127
8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,48
9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2，
∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n
－1.
答案：2n －1
10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，
得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝1
2()q ＝2舍去，
所以a n ＝a 1·q n －
1＝12n .
答案：1
2
n
11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n
n . (1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解：(1)由条件可得a n ＋1＝
2(n ＋1)
n
a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.
将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.
(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n
n ，即b n ＋1＝2b n ，
又b 1＝1，
所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －
1.
12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.
(1)求a 5的值；
(2)求数列{a n }的前n 项和．
解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，
由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋1＝2，q ＝2，
所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －
1＝2n ，所以a n ＝2n －1，
利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2
－n ＝2n ＋
1－2－n .
B 级——创高分自选
1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2
n －1)在直线x －9y ＝0上，则
数列{a n }的前n 项和S n 等于( )
A ．3n
－1 B.1－(－3)n 2
C.1＋3n 2
D.3n 2＋n 2
解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2
n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －
3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a n
a n －1＝
3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－3n )1－3
＝3n
－1.
2．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.
解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.
答案：100
3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n
－1
，n ∈N *.
(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .
解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴
a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝1
2
a n . ∵
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋1
2a 2n －1
a 2n ＋a 2n －1＝1
2，
∵a 1＝1，a 1·a 2＝1
2，
∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32
.
∴{b n }是首项为32，公比为1
2的等比数列．
∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝3
2n .
(2)由(1)可知，a n ＋2＝1
2
a n ，
∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝
1
2为首项，以1
2
为公比的等比数列，
∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－
12
＝3－3
2n .。