山东省济宁市度高三数学(文)二模考试试题

山东省济宁市2008学年度高三数学（文）二模考试试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷部分，满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2． 选择为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，复数i z i 21-=⋅，则复数z 的对应点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知R 为实数集，集合M=}1|{},02|{2≥=<-x x N x x x 集合，则)(N C M R =（ ） A ．}10|{<<x x B ．}20|{<<x x
C ．}1|{<x x
D ．φ
3．已知命题;2
5
sin ,:=∈∃x R x p 使.01,:2>++∈∀x x R x q 都有命题给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题
②命题“q p ⌝∧”是假命题 ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是
（ ）
A ．②④
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
4．在右图的程度框图中，输出的s 的值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．15
D ．20
5．已知等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,且S 3=3a 1，
则数列}{n a 的公比q 的值为 （ ） A ．－2 B ．1
C ．－1或2
D ．1或－2
6．已知抛物线1)0(222
222
=->=b
y a x p px y 与双曲线
)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，
且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．
2
1
5+ B ．12+ C ．13+
D ．
2
1
22+ 7．在△ABC 中，已知2
1
,6
,sin 2sin sin 的面积为
若且ABC B B C A π
=
∠=+，则∠B 的对边b 等于
（ ）
A ．31+
B ．3+3
C ．2+3
D ．3
33+
8．函数1)sin(++=ϕωx y 的一段图象如图所示，则它的最小正周期T 及ϕ依次为（ ） A ．πϕπ67,2-==T
B ．πϕπ12
7
,2-==T
C ．πϕπ6
7
,-==T
D ．πϕπ12
7,-
==T 9．βα,为两个互相垂直的平面，m 、n 为一对异面直线，下列条件：①βα⊂n m ,//；
②βα//,n m ⊥；③βα⊥⊥n m ,④βα//,//n m 且m 与α的距离等于n 与β的距离。

其中是m ⊥n 的充分条件有 （ ）
A ．③④
B ．①③
C ．②④
D ．③
10．若函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=1log 12)(2
1
x x x x f x ，则函数)2(x f y -=的图象可以是 （ ）
11．S 大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知道这次报考该专业
的人数。

已知该专业考生的考号是从0001，0002，……这样从小到大依次顺序排列的，他随机了解了50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是24671，估计2008年报考S 大学艺术系表演专业的考生大约是
（ ）
A ．500人
B ．1000人
C ．1500人
D ．2000人
12．已知定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,4
3(-成中心对称图形，且满足
)2008()2()1(,2)0(,1)1(),2
3
()(f f f f f x f x f +++-==-+-= 则的值为（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用B 2铅笔．要字体
工整，笔迹清晰．严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知0),)(2,(),1,(<⋅⋅∈-==R x x x x 则的解集是 .
14．在直角坐标平面内，与点C （0，0）距离为1，且与点B （－3，4）距离为4的条数共有
条。

15．设P 是△ABC 内一点，三个顶点到对边的距离分别为C B A h h h ,,，P 到对应三边的距离依次
为C
c B b A a c b a h l
h l h l l l l ++则有
,,,= ；类比到空间，设P 的四面体ABCD 内一点，四个顶点到对面的距离分别是D C B A h h h h ,,,，P 到这四个面的距离依次是d c b a l l l l ,,,，则有 ； 16．下列四个命题：
①若;222
],1,0(的最小值为则x
x y x +
=∈ ②函数x x x f sin )(-=在定义域上共有三个零点；
③a 、b 是两个不相等的实数，若;0,2
2
3
3
≥++≥+b a ab b a b a 则 ④点)6
2sin(2)()0,127(
π
π-=x x f 是函数的图象上一个对称中心。

其中正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题。

共74分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知函数.2
321)3
(,2)0(,cos sin cos 2)(2
+=
=+=π
f f x x b x a x f 且 （1）求a ，b 的值；
（2）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合； （3）写出函数)(x f 在[0，π]上的单调递减区间。

18．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f
（1）设集合P={－1，1，2，3，4，5}和Q={－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q
中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；
（2）设点（a,b ）是区域⎪⎩
⎪
⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是
增函数的概率。

19．（本小题满分12分）已知四棱锥A —ABCD 的三视图如图，E 是侧棱PC 上的动点。

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若点F 在线段BD 上且DF=3BF ，则当
EC
PE
等 于多少时，有EF//平面PAB ？并证明你的结论；
（3）试证明P 、A 、B 、C 、D 五个点在同一球面上。

20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，点),
(n
S n n 在直线.211
21上+=x y 数
列{n b }满足*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且其前9项和为153。

（1）求数列{}{},n n b a 的通项公式； （2）设}{,)
12)(112(3
n n n n c b a c 数列--=
的前n 项和为T n ，求使不等式
*57
N n k
T n ∈>
对一切都成立的最大正整数k 的值；
21．（本小题满分12分）设.ln 2)(x x
k
kx x f --
= （1）求)1()(e
f e f +（e 为自然数的底数）的值； （2）若)(x f 在其定义域内为单调函数，求k 的取值范围。

22．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点21,),23,1(F F 分别为椭圆C 的
左、右两个焦点，且离心率⋅=2
1e （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点F 2与椭圆C 交于M 、N 两点。

若AM 、AN 的
斜率21,k k 满足,2
1
21-
=+k k 求直线l 的方程； （3）已知P 是椭圆C 上位于第一象限内的点，12PF F ∆的重心为G ，内心为I ， 求证：
⋅21//F F IG
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 11．B 12．C
二、填空题（每小题4分，共16分） 13．}12|{<<-x x 14．3条 15．D
d C c B b A a h l
h l h l h l +++,1 16．③④ 三、解答题
17．解（1）由题意得方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧+=⋅⋅
+⋅=,2321212341222b a a ………………2分
解得⎩
⎨
⎧==.2,
1b a ……………………4分
（2）由（1）有x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2cos 2)(2++=+=
)4
2sin(21π
+
+=x ………………6分
所以当)(8
)(,2
24
2Z k k x Z k k x ∈+
=∈+
=+
π
ππ
ππ
即时，
)(x f 取得最大值21+
)(x f ∴的最大值为21+
取到最大值是x 的集合是}8
|{Z k k x x ∈+=π
π………………8分
（3）],0[π∈x
)(],49,4[42x f x 要使函数π
ππ
∈+
∴递减， 则应]85,
8[42πππ∈+x 可得],8
5,8[π
π∈x ∴函数],0[)(π在x f 上的递减区间为].8
5,8[π
π……………………12分 18．解（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2a
b x = 要使14)(2
+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数， 当且仅当a>0且
a b a
b
≤≤2,12即……………………2分 若a=1则b=－2，－1， 若a=2则b=－2，－1， 若a=3则b=－2，－1，1； 若a=4则b=－2，－1，1，2；
若a=5则b=－2，－1，1，2；………………4分 ∴事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16
∴所求事件的概率为
9
4
3616=………………6分 （2）由（1）知当且仅当a b ≤2且a>0时，
函数),1[14)(2
+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪
⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b c 构成所求事件的区域
为如图阴影部分。

………………8分
由),38,316(20
8得交点坐标为⎪⎩
⎪
⎨⎧==-+a
b b a ………………10分 ∴所求事件的概率为31882
138821=⨯⨯⨯
⨯=P ………………12分 19．解（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD
的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD ，且PC=2. ……………………2分
∴12
33P ABCD ABCD V S PC -=
⋅=……………………4分 （2）当
PAB EF EC PE 平面有时//,3
1
=………………5分 连接CF 延长交AB 于G ，连接PG ，在正方形ABCD 中，DF=3BF 。

由△BFG ∽△DFC 得
3
1
==DF BF FC CF ………………6分 在△PCG 中，FC
GF
EC PE ==31 ∴EF//PG ，又PG ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB
∴EF//平面PAB 。

……………………8分 （3）取PA 的中点O 。

连结OB 、OC 、OD ， 连结AC ，
在四棱锥P —ABCD 中，侧棱PC ⊥平面ABCD 。

底面ABCD 为正方形，
可知△PCA 、△PBA 、△PDA 均是直角三角形， ………………10分 又O 为PA 中点 ∴OA=OP=OB=OC=OD 。

∴点P 、A 、B 、C 、D 在以点O 为球心的球面上。

……………………12分 20．解（1）由已知得：
,2
1121+=n n S n n n S n 2
11
212+=
∴ 当5)1(2
11
)1(2121121,2221+=----+=
-=≥-n n n n n S S a n n n n 时 当n=1时，611==S a 也符合上式
5+=∴n a n ………………2分
由}{*)(0212n n n n b N n b b b 知∈=+-++是等差数列 由}{n b 的前9项和为153，可得：
11,17,1532
)
(93591===+b b b b 又求得 ,32
}{3
5=-=
∴b b d b n 的公差 23+=∴n b n ……………………6分
（2）)1
21
121(21)36)(12(3+--=+-=
n n n n c n ………………8分
∴)1
212(21)1211215131311(21+-=+--++-+-=
n n n T n …………10分 ∵n 增大，T n 增大 ∴{T n }是递增数列， ∴3
1
1=
≥T T n 57
31,*571k T N n k T n >=∈>
只要都成立对一切 ∴18,19max =<k k 则……………………12分 21．解（1）∵x x
k
kx x f ln 1)(--
= 又21ln 2)(,22ln 1)(+-=--=--=--=ke e
k
e ke e k e l
f k ke e e k ke e f
∴0)1()(=+e
f e f ……………………4分 （2）法一：由x x
k
kx x f ln 2)(--
=得 2
2222)(x
k
x kx x x k k x f +-=-+='……………………6分 令)(,2)(2x f k x kx x h 要使+-=在其定义域（0，+∞）上单调。

只需0)(:),0()(≥+∞x h x h 内满足在或0)(≤x h 恒成立 ①由),0(121
2020)(22
+∞∈+
=+≥
≥+-≥x x
x x x
k k x kx x h 在即得上恒成立
∵01
0>+>x
x x 知 ∴.0≤k
综上k 的取值范围为.01≤≥k k 或………………12分 ∵0>x
∴21
>+
x
x ∴1≥k …………………………10分
②由),0(2
1
20)(2
+∞∈+
=+≤≤x x
x x x k x h 在得上恒成立 ∵01
0>+>x
x x 知
∴.0≤k
综上k 的取值范围为.01≤≥k k 或………………12分
法二：由x x
k
kx x f ln 2)(--=得
2
2222)(x
k
x kx x x k k x f +-=-+=' 令)(,2)(2
x f k x kx x h 要使+-=在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
只需)(x h 在（0，+∞）内满足：0)(0)(≤≥x h x h 或恒成立………………8分 ①当k=0时，,2)(x x h -= ∵,02)(,0)(,02
<-='∴<∴>x x x f x h x ∴)(x f 在（0，+∞）内为单调递减，故k=0适合题意……………………9分 ②当k>0时，,2)(2k x kx x h +-=其图象为开口向上的抛物线，对称轴为
),0(1+∞∈=
k
x ∴.1)(min k
k x h -= 只需,0)(,0)(1,01≥'≥≥≥-x f x h k k k 时即 ∴),0()(+∞在x f 内为单调递增，故k ≥1适合题意……………………10分 ③当k<0时，,2)(2k x kx x h +-=其图象为开口向下的抛物线， 对称轴为),0(1+∞∉=k
x 只需,0)(,0)(0,0)0(≤'≤≤≤x f x h k k 时即
∴),0()(+∞在x f 内为单调递减，故k<0适合题意……………………11分 综上可得，01≤≥k k 或……………………12分
22．解：（1）由题意椭圆的离心率,2
1=e ∴
2
1=a c ∴c a 2=
∴22223c c a b =-= ∴椭圆方程为13422
22=+c
y c x ………………2分 又点（1，2
3）在椭圆上，
∴13)23(4122
2=+c
c ∴2c =1 ∴椭圆的方程为13
42
2=+y x ………………4分 （2）若直线l 斜率不存在，显然120k k +=不合题意；
则直线l 的斜率存在。

……………………5分
设直线l 为)1(-=x k y ，直线l 和椭交于11(,)M x y ，22(,)N x y 。

将:1243)1(22中得到代入=+-=y x x k y
01248)43(2222=-+-+k x k x k
依题意：110992
-<>>-=∆k k k 或得 由韦达定理可知：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+221122
214312
4438k k x x k k x x ………………7分 又)2121(2222112211+-++-=+++=+x x x x k x y x y k k AN AM )]2
21(32[221+++-=x y x k 而4
)(24212121212121+++++=+++x x x x x x x x 2222222312)43(416124)43(48k
k k k k k k +=+++-++=
从而211)31232(2
2-=-=+⋅-=+k k k k k k AN AM ………………9分 求得2k =符合.1>k
故所求直线MN 的方程为：).1(2-=x y ………………10分
（3）设P 点坐标为),0)(,(000>y y x 而G 为21F PF ∆ 的重心为)3
,3(00y x G …………11分 设21F PF ∆的内切圆半径为r ，则
||||2102121y F F S F PF ⋅=
∆ +=|(|2
11PF r F F PF ⋅+|)|||212…………12分 于是
,)22(2
1||2210r c a y c ⋅+=⋅⋅ 又0,1,20>==y c a ，则,310y r =从而I 点纵坐标30y 从而⋅21//F F IG ………14分。