2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》解答优生辅导训练题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》解答优生辅导训练题（附答案）1．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC 于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①直接写出△BDQ的周长；
②直接写出tan∠BDQ的值．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1交抛物线于点C（2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）在y轴上是否存在点D，使得以点A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC∥OA，已知点O（0，0），A（6，0），B （3，m），AB＝3．
（1）求B点坐标及抛物线的解析式；
（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线l交抛物线于点E，交OB于点D，求DE 的最大值；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线y＝x2﹣x﹣m2﹣m．
（1）求证：抛物线与x轴必定有公共点；
（2）若P（a，y1），Q（﹣2，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．求a的取值范围；
（3）设抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且|x1|+|x2|＝3，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接CD、DB，△DBC 面积是否存在最大值，若存在，求点D的坐标，若不存在说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．
（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．
（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．
6．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标．
7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）
（1）当a＝1时，
①抛物线C1的顶点坐标为．
②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为．
（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，
C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
12．抛物线y＝ax2+4x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其顶点为M，且经过点B、C 的直线解析式为y＝﹣x+5．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，且以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
（3）直线y＝kx﹣2k+4（k＞0）与抛物线交于点P、Q，若△MPQ的面积等于15，求k 的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣4）和B （0，﹣1）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1向右平移2个单位长度得到抛物线C2，平移后的抛物线C2与原抛物线C1相交于点C，点E是平面直角坐标系内任意一点，原抛物线C1的对称轴上是否存在点D，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是以BC为边的菱形，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴分别交于A、B 两点，且点A在点B的左侧．
（1）求出点A、B的坐标．
（2）记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使得∠DOA＝45°？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
16．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
（1）求直线BC解析式．
（2）如图①，求OP+P A的和取最小值时点P的坐标．
（3）如图②，求AQ+QP的最小值．
（4）如图③，求AQ+QC的最小值．
17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求点P的坐标和S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A1C1（线段A1C1始终在直线l的左侧），是否使得△A1C1G是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足要求的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
18．函数图象交x轴于A，B两点（点A在左侧）、交y轴交于点C．已知：OB＝2OA，点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线上点P在第一象限，当∠OCB＝2∠PCB时，求点P的坐标；
（3）抛物线上的点D在第一象限内，过点D作直线DE⊥x轴于点E，当7OE＝20DE 时，直接写出点D的坐标；若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．综合与探究
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求tan∠CBD的值．
（3）若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为．（4）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得∠PCB＝∠DCB，求出P点的坐标；
（3）点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案
1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3，故答案为：2++3；
②在Rt△OBD中，
∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝，
故答案为：．
2．解：（1）∵y＝﹣x﹣1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得
∴函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，
∴﹣1≤x≤2，
∴PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PE的最大值是，此时P（，﹣）；
（3）存在点D，使得以点A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
设点D的坐标为（0，m），
①当CD为底，且AC＝AD时，
1+m2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，
解得：m＝±，
∴D（0，）或（0，﹣）；
②当AD为底，且CA＝CD时，
22+（m+3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，
解得：m＝﹣3±，
∴D（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）；
③当AC为底，且DA＝DC时，
1+m2＝22+（m+3）2，
解得：m＝﹣2，
∴D（0，﹣2）；
综上所述：点D的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0.3+）或（0，3﹣）或（0，﹣2）．
3．解：（1）∵抛物线经过O（0，0），
∴c＝0，
∵A（6，0），B（3，m），
∴AB＝，
∵AB＝3，
∴＝3，
∴m＝±6，
∵m＞0，
∴m＝6，
∴B（3，6），
∵点O（0，0），A（6，0）是抛物线与x轴的交点，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
∴﹣＝3，
∴b＝﹣6a，
∴y＝ax2﹣6ax，
将B（3，6）代入y＝ax2﹣6ax，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析为y＝﹣x2+4x；
（2）∵BC∥OA，M是CB上一点，
∴ED⊥x轴，
设直线BO的解析式为y＝kx，
∴3k＝6，
∴k＝2，
∴直线BO的解析式为y＝2x，
设E（t，﹣t2+4t），则D（t，2t），
∴ED＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，DE的最大值为；
（3）存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形，理由如下：∵BC∥OA，B（3，6），
∴C（0，6），
由（2）知D（，3），
设F（x，y），
当DF、BC为菱形对角线时，BC＝CD，
∴，
∴，
∴F（，9）；
综上所述：F点的坐标为（，9）．
4．证明：（1）∵y＝x2﹣x﹣m2﹣m，
∴Δ＝1+4（m2+m）＝（2m+1）2≥0，
∴抛物线与x轴必定有公共点；
（2）∵y＝x2﹣x﹣m2﹣m＝（x﹣）2﹣﹣m2﹣m，∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵a＝1，
∴抛物线的开口向上，
∵y1＞y2，
∴|a﹣|＞|﹣2﹣|，
解得a＞3或a＜﹣2；
（3）△DBC面积是否存在最大值，理由如下：
令x＝0，则y＝﹣m2﹣m，
∴C（0，﹣m2﹣m），
令y＝0，则x2﹣x﹣m2﹣m＝0，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣m2﹣m，
∵|x1|+|x2|＝3，
∴++2|x1•x2|＝9，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2+2|x1•x2|＝9，
∴1+2m2+2m+2|﹣m2﹣m|＝9，
解得m＝1或m＝﹣2，
∴y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣2，
过点D作DE∥y轴交直线BC于点E，
设D（t，t2﹣t﹣2），则E（t，t﹣2），
∴ED＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCD＝×（﹣t2+2t）×2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
∴当t＝1时，△DBC面积有最大值1，
此时D（1，﹣2）．
5．解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，
∴y＝x2+6x+5，
∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4）；
（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，
∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，
设E（t，t2﹣6t+5），
过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GOD+∠HOE＝90°，
∵∠GOD+∠GDO＝90°，
∴∠HOE＝∠GDO，
∴△GDO∽△HOE，
∴＝，
∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，
∴＝，
∴t＝4或t＝，
∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．
6．解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4）；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
设D（m，0），
∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴EA＝2，EC＝4，DE＝m﹣1，AD＝|m+1|，
在Rt△AEC中，AC＝2，
在Rt△DEC中，DC＝，
①当AD＝CD时，|m+1|＝，
解得m＝4，
∴D（4，0）；
②当CA＝CD时，＝2，
解得m＝﹣1（舍）或m＝3（舍）；
③当AC＝AD时，|m+1|＝2，
解得m＝2﹣1或m＝﹣2﹣1，
∴D（2﹣1，0）或D（﹣2﹣1，0）；
综上所述：D点坐标为（4，0）或（2﹣1，0）或（﹣2﹣1，0）．
7．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC＝×3×4＝6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．
8．解：（1）①∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）；
②设抛物线C2上任意一点（x，y），
则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，
∴抛物线经过定点（2，﹣3），
∴当m＝﹣3时，EF的长度不变，
当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，
解得x＝0或x＝2，
∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），
∴EF＝2；
（3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下：设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），
∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），
∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，
∴Q（1，a﹣3），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴P（1，﹣a﹣3），
∵EF⊥PQ，
∴EF与PQ为正方形的对角线，
∵E、F关于x＝1对称，
∴EP＝PF，
∴EF＝2＝PQ，
∴2＝|2a|，
∴a＝±1．
9．解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），
令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，
∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴A（﹣m，0），B（2，0），
∴AB＝2+m，
令x＝0，则y＝﹣2m，
∴C（0，﹣2m），
∵△ABC的面积为8，
∴×（2+m）×（2m）＝8，
解得m＝2或m＝﹣4（舍）；
（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，
∵的横坐标为t，
∴T（t，t2﹣4），
过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，
∵∠DCT＝90°，
∴∠DCE+∠TCF＝90°，
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠TCF＝∠CDE，
∴△CED∽△TFC，
∴＝＝，
∵∠ATC＝60°，
∴＝，
∵C（0，﹣4），
∴CF＝t，TF＝t2，
∴DE＝t，CE＝t2，
∴D（﹣t2，t﹣4），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，
∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，
∴（t﹣1）2＝；
（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，∵A、B关于y轴对称，
∴AP＝BP，
∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ABG＝∠ACO，
∵AO＝2，CO＝4，
∴AC＝2，
∴sin∠ACO＝，
∴＝，
∴CP＝GP，
∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，∵cos∠ACO＝＝＝，
∴BG＝，
∴CP+AP的最小值为8，
∵tan∠ACO＝＝＝，
∴OP＝1，
∴P（0，﹣1）．
10．解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0．
∴x＝﹣1或x＝4．
∴点A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2．
∴＝．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC．
Ⅰ、当△PNC∽△AOC时，∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC．
∴CP∥OB．
∴点P的纵坐标为﹣2．
∴m2﹣m﹣2＝﹣2．
∴m＝0（舍）或m＝3．
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD．
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP．
∴∠PCD＝∠PDC．
∴PC＝PD．
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝．∴2m﹣m2＝．
∴m＝或m＝0（不符合题意，舍去）．
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
11．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标为C（0，6）．∴抛物线为y＝ax2+bx+6．
将A（﹣1，0）、B（3，0）C（0，6）．代入y＝ax2+bx+6，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S＝PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值；（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当＝＝＝时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴＝，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
∴N（0，），
当＝＝时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴＝，
解得a＝，
∴M（，），
此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：＝或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．
综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC 相似．
12．解：（1）∵经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+5．
令x＝0，则y＝5，
令y＝0，则0＝﹣x+5，解得x＝5，
∴B（5，0），C（0，5），
代入抛物线y＝ax2+4x+c得，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x+5；
（2）①如图，若BC为平行四边形的一边，则DE∥BC，且DE＝BC，
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点D的横坐标为2，
∵B（5，0），C（0，5），
∴点E的横坐标为﹣3或7，
∴点E的横坐标为（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）；
②如图，若BC为平行四边形的一条对角线，则BE∥CD，
设BC、DE交于点F，则点F的横坐标为，
∴点D的横坐标为2，
∴点E的横坐标为3，
∴E（3，8）．
综上，点E的横坐标为（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）或（3，8）；
（3）如图：
∵直线y＝kx﹣2k+4（k＞0），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴直线y＝kx﹣2k+4（k＞0）与抛物线的对称轴交点N的坐标为（2，4），抛物线的顶点M的坐标为（2，9），
设点P、Q的横坐标为m、n（m＞n），则m、n为方程kx﹣2k+4＝﹣x2+4x+5的两根，化简方程kx﹣2k+4＝﹣x2+4x+5得x2+（k﹣4）x﹣2k﹣1＝0，
∴m+n＝4﹣k，mn＝﹣2k﹣1，
∵△MPQ的面积等于15，
∴×（9﹣4）（m﹣n）＝15
∴m﹣n＝6，
∴（m﹣n）2＝36，
∴（m+n）2﹣4mn＝36，即（4﹣k）2﹣4（﹣2k﹣1）＝36，
∴k＝±4，
∵k＞0，
∴k＝4．
13．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，
故点C（﹣1，﹣4）．
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），
∴m＝t﹣3＝﹣1，
故点D（﹣2，﹣1）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，
∴m＝t+3＝﹣1或﹣1﹣，
故点D（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1﹣）；
综上，点D的坐标为：（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1﹣）．14．解：（1）令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）存在点D使得∠DOA＝45°．
∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴顶点C的坐标为（2，﹣a），
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CA＝AB，∠ACB＝90°，
∵CH⊥AB，
∴CH＝AH＝BH，
∴﹣a＝1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
设D（t，﹣t2+4t﹣3），
∵∠DOA＝45°，
∴|x D|＝|y D|，
∴|t|＝|﹣t2+4t﹣3|，
解得：t＝，
∴D（，）或（，﹣）．
15．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．16．解：（1）令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
把x＝0代入y＝x2﹣4x+3得y＝3，
∴C（0，3），
设BC解析式为y＝kx+b，
将（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+3．
（2）过点C作直线CM∥x轴，过点B作BM∥y轴，两直线交于点M，连接AM，点P 为AM与BC交点，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴四边形OBMC为正方形，
∴点M，点O关于BC对称，点M坐标为（3，3），
设直线AM解析式为y＝mx+n，
将（1，0），（3，3）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝x﹣，
令x﹣＝﹣x+3，
解得x＝，
把x＝代入y＝﹣x+3得y＝，
∴点P坐标为（，）．
（3）设点A关于y轴对称点为A'，作A'P⊥BC于点P，A'P交y轴于点Q，则AQ+QP 最小值为A'P的长度，
∵点A（1，0），
∴A'（﹣1，0），
∴A'B＝3+1＝4，
∵∠CBA＝45°，
∴△A'PB为等腰直角三角形，
∴A'P＝PB＝A'B＝×4＝2．
∴AQ+QP的最小值为2．
（4）在x轴负半轴上取点G，使∠GCO＝30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q，
在Rt△CQH中，∠HCQ＝30°，
∴HQ＝CQ，
∴AH＝CQ+AQ，
∵∠GCO＝30°，
∴OG＝OC＝，
∴AG＝1+，
∵∠CGO＝90°﹣30°＝60°，
∴AH＝AG＝．
∴AQ+QC的最小值为．
17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，当x＝0时，y＝2，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点C（0，2），B（3，0）代入得：
，解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2．
设AD的解析式为，y＝﹣x+m，
把点A（﹣1，0）代入得：−×（−1）+m＝0，
解得：m＝−，
∴AD的解析式为：y＝−x−，
由解得：，，
∴D（4，−），
∴直线CD的解析式为：y＝−x+2，
当y＝0时，−x+2＝0，解得：x＝，
记直线CD与x轴交于点N，则：
N（，0），BN＝3﹣＝，
过点P作PM⊥AB交BC于点M，设P（a，−a2+a+2），
∴M（a，−a+2），
∴PM＝−a2+a+2−（−a+2）＝−a2+2a，
∴S1＝S△ABC+S△PCM+S△PBM
＝•AB•OC+•PM•|xP|+•PM•|xB−xp|＝×4×2+×（−a2+2a）×a+×（−a2+2a）×（3−a）
＝﹣a2+3a+4，
S2＝S△BNC+S△BND
＝•BN•OC+•BN•|yD|
＝××2+××＝4，
∴S1﹣S2＝﹣a2+3a+4﹣4＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，S1﹣S2的最大值为，
此时，点P的坐标为（，）
（3）∵−＝−＝1，
∴抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴为：x＝1，
∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，
∴直线l为：x＝2，
过点A1作A1Q⊥C1H于点Q，
∵∠HC1G1+∠QC1A1＝90°，∠QC1A1+∠QA1C1＝90°，
∴∠HC1G1＝∠QA1C1，
又∵∠A1QC1＝∠C1HG1＝90°，A1C1＝C1G1，
∴△A1QC1≌△C1HG1（AAS），
∴QA1＝C1H，HG1＝QC1，
∵AC∥A1C1，设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），
∴C1H＝2﹣a，A1Q＝2，HG1＝C1Q＝1，
∴2﹣（a+1）＝2，
解得：a＝﹣1，
∴C1（0，2），H（2，2），
∴G1（2，1），
（ii）当等腰三角形以∠CA1G2＝90°，A1C1＝A1G2时，如图，过点A1作A1F⊥l于点F，过点C1作C1E⊥A1F于点E，
同（i）理可证：△C1A1E≌△A1G2F，
设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），
∴G2F＝A1E＝1，F A1＝2﹣a＝2，
∴a＝0，
∴A1（0，−），
∴F（2，−），
∴G2（2，−），
Q，过点C1作C1P⊥l于点P，
同（i）理可证：△C1PG3≌△G3A1Q，
设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），
∴A1Q＝G3P＝2﹣a，C1P＝QG3＝1﹣a，PQ＝2，
∴2﹣a+1﹣a＝2，
解得：a＝，
∴C1（，1），G3P＝2﹣＝，
∴G3（2，﹣），
综上所述：存在点G1（2，1），G2（2，−），G3（2，﹣），使得△A1C1G是等腰直角三角形．
18．解：（1）∵点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB，
∴C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∴y＝x2+bx﹣2，
令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，
∴x A•x B＝﹣8，
∵OB＝2OA，点A在左侧，
∴x B＝﹣2x A，
∴x A＝﹣2，x B＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
将点A代入y＝x2+bx﹣2，得b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，∵∠OCB＝2∠PCB，
∴P点在∠OCB的角平分线上，
设CP交x轴于点D，过点D作DG⊥BC于点G，
∴DO＝DG，
∵B（0，4），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴OB＝2，
∴sin∠OBC＝，
∴＝，
解得OD＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
联立方程组，
解得x＝0（舍）或x＝2+4，
∴P（2+4，5+3）；
（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设D（t，t2﹣t﹣2），则E（t，0），
∵点D在第一象限内，
∴DE＝t2﹣t﹣2，OE＝t，
∵7OE＝20DE，
∴7t＝20（t2﹣t﹣2），
解得t＝5或t＝﹣（舍），
∴D（5，），
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴函数的对称轴为直线x＝1，
设M（m，m2﹣m﹣2），N点横坐标为1，
①当MN、BD为平行四边形的对角线时，m+1＝4+5，
∴m＝8，
∴M（8，10）；
②当MB、ND为平行四边形的对角线时，m+4＝1+5，
∴m＝2，
∴M（2，﹣2）；
③当MD、NB为平行四边形的对角线时，m+5＝1+4，
∴m＝0，
∴M（0，﹣2）；
综上所述：M点的坐标为（8，10）或（2，﹣2）或（0，﹣2）．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D的坐标为（1，﹣4），∴抛物线的解析式：y＝a（x﹣1）2﹣4，
把C（0，﹣3）代入解析式y＝a（x﹣1）2﹣4，得a（0﹣1）2﹣4＝﹣3，解得a＝1．
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，连接CD，过点D作DE⊥y轴于点E，
由（1）知抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，得y＝（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3；
∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴CE＝1，DE＝1，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，CD＝．
∴∠DCB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CBD＝＝；
（3）S四边形ACDB＝S△ABC+S△BCD＝+＝9．
∴直线y＝mx﹣m﹣4把四边形ACDB的面积为3和6两部分；
∵直线y＝mx﹣m﹣4＝m（x﹣1）﹣4，当x＝1时，y＝﹣4，
∴直线y＝mx﹣m﹣4过定点D（1，﹣4），
设直线y＝mx﹣m﹣4与x轴交于点M，
∴S△BDM＝3或6，即×4•BM＝3或6，
∴BM＝或3，
∴M（，0）或M（0，0），
把点M的坐标代入直线y＝mx﹣m﹣4得，m﹣m﹣4＝0或0m﹣m﹣4＝0，解得m＝8或m＝﹣4．
故答案为：8或﹣4．
（4）存在，理由如下：
分情况讨论，
当BC为平行四边形的边时，
①当点Q在x轴下方时，如图2所示，此时P1Q1∥BC，CQ1∥BP1，
∴点Q1的纵坐标为﹣3，
令x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝0（舍去）或x＝2，
∴Q1（2，﹣3），
②当点Q在x轴上方时，如图3所示，此时BC∥PQ，
设P（m，0），
∵点C先向右移动3个单位，再向上平移3个单位到点B，
∴点P先向右移动3个单位，再向上平移3个单位到点Q，
令x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝1+或x＝1﹣．
∴Q2（1﹣，3），Q3（1+，3）．
当BC为对角线时，如图4所示，此时BP∥CQ，
∴Q4（2，﹣3）．
综上可知，符合题意的点Q的坐标为（2，﹣3），（1﹣，3），（1+，3）．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∴D（1，0）．
（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，过点E作EF⊥x轴交CP于点F，
令x＝0，解得y＝3，
∴C（0，3），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵∠PCB＝∠DCB，
∴∠OCD＝∠ECF，
令y＝3，则﹣x2+2x+3＝3，
解得x＝0（舍去）或x＝2，
∴E（2，3）．
∴CE＝2，
∵D（1，0），
∴OD＝1，
∴tan∠OCD＝＝，
∴tan∠ECF＝，即＝，
∴EF＝，
∴F（2，）．
设直线CF的解析式为：y＝kx+3，
∴2k+3＝，解得k＝﹣，
∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+3，
令﹣x2+2x+3＝﹣x+3，解得x＝0（舍去）或x＝．
∴P（，）．
（3）存在，理由如下：
根据菱形的对称性可知△CDM是等腰三角形，需要分三种情况：①当点C为顶点，如图2，分别记为M1和M2；
由（2）可知，∠OCB＝∠OBC＝45°，C（0，3），D（1，0），∴CD＝．∠M1CG＝45°，
∴CM1＝CM2＝CD＝．
过点M1作M1G⊥y轴于点G，过点M2作M2H⊥y轴于点H，
则M1G＝CG＝CM1＝，M2H＝CH＝CM2＝，
∴OH＝3﹣，
∴M1（﹣，3+），M2（，3﹣）．
②当点D为顶点，如图3，记为M3，过点M3作M3J⊥x轴于点J，
∴DM3＝CD＝．
∵∠OBC＝45°，
∴∠JBM3＝45°，
∴M3J＝BJ，
设BJ＝m，
∴M3J＝m，DJ＝2+m，
∴m2+（2+m）2＝10，解得m＝﹣3（舍）或m＝1，
∴M3J＝1，OJ＝4，
∴M3（4，﹣1）．
③当点M为顶点，如图4，取CD的中点K，作KP⊥CD交y轴于点P，交直线BC于点M4．
∵C（0，3），D（1，0），CD＝．
∴K（，），CK＝DK＝．
∵∠CKP＝∠COD＝90°，∠PCK＝∠DCO，
∴△CPK∽△CDO，
∴CP：CD＝CK：CO，即CP：＝：3，
∴CP＝，
∴OP＝，
∴P（0，）．
∴直线PK的解析式为：y＝x+．
∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
令x+＝﹣x+3，解得x＝，
∴M4（，）．
综上，符合题意的点M的坐标为：（﹣，3+）或（，3﹣）或（4，﹣1）或（，）．。