广东省部分学校2022-2023学年高三年级12月大联考数学试题

高三数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}
{
}
3,2,A x x B x =≤=≤∈Z ，则A B = （
）
A ．{1,2,3}
B ．{0,1,2,3}
C ．[0,3]
D ．[0,4]
2．设z 的共轭复数为z ，若2325i z z -=-，则z =（）
A ．2i
--B ．2i
-C ．12i
-D ．12i
+3．某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（）A ．82.5
B ．85
C ．90
D ．92.5
4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）
A ．2()sin f x x x =-
B ．()ln(2)ln(2)
f x x x =--+C ．e e ()2
x x
f x -+=
D ．21
()21
x x
f x -=+5．已知1
tan 6tan θθ
+=，则sin 2θ=（）
A ．
16
B ．
13
C ．
23
D ．
56
6．若P 是一个质数，则像21P -这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（
）
A ．
135
B ．
335
C ．
325
D ．
15
7．已知函数()()2
ln 11
f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2
+D ．()f x 的最大值为3
8．已知抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，
则FM FN ⋅
的最小值为（
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量()1,1a m =+-
，()1,2b m =- ，下列说法正确的是（）A ．若a b ∥
，则3
m =-B ．存在R m ∈，使得a b
⊥
C ．a b +=
D ．a 与b
的夹角为锐角
10．已知直线l 的方程为(3)30x y λλ++--=，圆C 的方程为224240x y x y +---=，则（）
A ．圆C 的圆心坐标为(2,1)--
B ．圆
C 的半径为3C ．直线l 与圆C 有两个交点
D ．当2λ=-时，直线l 被圆C 截得的弦长为
11．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数
()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+∈< ⎪⎝
⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）
的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）
A ．2
ω=B ．π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
C ．π4f x ⎛
⎫'- ⎪⎝
⎭是偶函数
D ．()f x '在区间π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调
12．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，若平面α过点P ，且与1AC 平行，则（
）
A ．异面直线1AC 与CP
所成角的余弦值为
10B ．三棱锥1C ACP -的体积是该“堑堵”体积的
1
3
C ．当平面α
D ．当平面α
截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知正数a ，b 满足496a b +=，则ab 的最大值为__________．
14．已知()f x 为R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，1
()21
x
f x x =-
+，则不等式(31)(1)f x f x -<-的解集为___________.
15．如图，在梯形ABCD 中，260AB CD AD DC BC ABC ===∠=︒∥，，，将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P
点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是
___________.
16．已知椭圆2
2:15
x C y +=的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 的右焦点F
恰好为BMN 的垂心，则直线l 的方程为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{}n a 满足11a =-，143(2)n n a a n -=-≥．(1)证明：{}1n a -是等比数列；
(2)设()4log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
18．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；
(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.
19．甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内（含42个）的员工每个零件4元，超出42个的部分每个5元．假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：甲公司一名员工生产零件个数频数表生产零件个数3839404142天数
5
9
5
6
5
乙公司一名员工生产零件个数频数表生产零件个数4041424344天数
3
9
6
9
3
若将频率视为概率，回答以下问题：
(1)现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不高于39的概率；
(2)小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明做出选择，并说明理由．
20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB ==
2AB =，60ABC ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为线段PD 上的一点．
(1)是否存在一点F ，使得PB 平面EFC ？若存在，给出证明，并求出此时PF 的长；若不存在，请说明理由；(2)若F 为线段PD 的中点，求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值．
21．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为 (2,0)F
，且点Q 在双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在不与F 重合的点P ，使得点F 到直线PA ，PB 的距离始终相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数()21e 12
ax
f x ax x =---．
(1)当1a ≥时，证明：对任意的0x ≥，都有()0f x ≥；(2)证明：()()**11
2ln 1ln 2,n
k n n k n k
=>+-∈∈∑
N N ．。