天津大学管理运筹学课件第二章_图论

3
4
[5, v2]
5
[6, v2]
v6
2.5
1
v4
[4, v1]
2019/11/21
3
v7
2
v9 [8.5, v6]
[7, v4/ v6] 2
4
管理运筹学
v8
[9, v7]
[课堂练习] 无向图情形
求网络中v1至v7的最短路。
v2
2
2
7
v1
5
v3
5
v6 5
v7
3
13
1
7
v4
5
v5
2019/11/21
成如图所示。为使5处居民点都有
3.5 4
道路相连，问至少要铺几条路？
5.5
3
v5
2
v3 7.5 v4
解： 该问题实为求图 的支撑树问题，
共需铺4条路。 v2
v1 v5
2019/11/21
v3
v4
管理运筹学
v1
三、最小支撑树问题
5பைடு நூலகம்
v2
3.5 4
问题：求网络的支撑树，使其权和最小。
5.5
3
v5
2
算法1（避圈法）：把边按权从小到大依次 添入图中，若出现圈，则删去其中最大边， 直至填满n-1条边为止（n为结点数） 。
2019/11/21
管理运筹学
二、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为
G的支撑树，又称生成树、部分树。
例
(G)
2019/11/21
(G1)
(G2)
管理运(筹G学3)
(G4)
图的支撑树的应用举例
v1
[例] 某地新建5处居民点，拟修
5
道路连接5处，经勘测其道路可铺 v2
管理运筹学
步骤：(1) 给起点v1标号[0, v1] (2) 把顶点集V分成
VA：已标号点集 VB：未标号点集
(3) 考虑所有这样的边[vi , vj]，其中vi∈VA， vj∈VB，挑选 其中与起点v1距离最短（min{di+cij}）的vj，对vj进行标号
1
6 v2
[0, v1]
2
v5 2 v8 3
管理运筹学
[课堂练习] 无向图情形
答案（1）：
v2 [2,v1]
v1
2
2
5
7
v[34,v2/
v4]
5
[8,v5]
v6 5
[0,v1] 3
13
1
7
v4
5
[3,v1]
v5 [7,v3]
2019/11/21
管理运筹学
[13,v6]
v7
[课堂练习] 无向图情形
答案（2）：
v2 [2,v1]
v1
2
2
5
7
v[34,v2/
v5
v5
v1
v4
v1
v4
v 2019/11/212
v3
管理运筹学
v2
v3
4、连通图
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
G2
2019/11/21
管理运筹学
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
v1
5
v2
3.5 4
5.5
3
v5
2
v3
v4
2019/11/21
管理运筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
v1
5
3
v2
3.5 4
v5
2
v3
v4
2019/11/21
管理运筹学
算法2（破圈法）：
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A
2 C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
v5 2
4 10 3
v6 2
[10, v5]
v8 3
6
[12, v5]
v9
4
v7
[9, v5]
v1到v9的最短路为：v1→ v3→ v2→ v5→ v9，最短距离为12
2019/11/21
管理运筹学
[课堂练习] P129 习题5.3
[0, v1]
v1
[3, v1]
[6, v2]
v3
3
v2
32
3
v5
2
C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A
2 C
2
4
G
5
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
4
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
2019/11/21
管理运筹学
§1 图的基本概念
1. 图
由点和边组成，记作G=(V，E)，其中 V={v1，v2，……，vn}为结点的集合， E={e1，e2，……，em} 为边的集合。 点表示研究对象 边表示表示研究对象之间的特定关系
2019/11/21
管理运筹学
2、图的分类
无向图，记作G=(V，E) 图
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
2
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
E 'E ，则称G' 为G的支撑子图。
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4
v1
v4
v2
2019/11/21
v3
G1
管理运筹学
v2
v3
G2
6、赋权图（网络）
图的每条边都有一个表示一定实际含义的 权数，称为赋权图。记作D=(V，A，C)。
例：
2019/11/21
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
v3 3.5 v4
管理运筹学
§2 最小支撑树问题
本节主要内容：
树
支撑树
最小支撑树
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
2019/11/21
管理运筹学
案例分析：默登公司的联网问题
默登（Modern）公司的管理层决定铺设最先进 的光纤网络，为它的主要中心之间提供高速通信。图 1中的节点显示了该公司主要中心的分布图。虚线是 铺设光缆可能的位置。每条虚线旁边的数字表示成本 （单位：百万美元）。
问：需要铺设哪些光缆使得总成本最低？
v4]
5
[8,v5]
v6 5
[0,v1] 3
13
1
7
v4
5
[3,v1]
v5 [7,v3]
2019/11/21
管理运筹学
[13,v6]
v7
最短路模型的应用——设备更新问题（P119 例 5.3）
第i年 1 2 3 4 5 使用寿命 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
v1
3
v3 6
12
v4
10
6 4 10 3
v6 2
v7
v9
4
[1, v1]
(4) 重复(2)、(3)，直至终点vn标上号[dn, vi]，则dn即为 v1→ vn的最短距离，反向追踪可求出最短路。
步骤：(1) 给起点v1标号[0, v1] (2) 把顶点集V分成
VA：已标号点集 VB：未标号点集
(3) 考虑所有这样的边[vi , vj]，其中vi∈VA， vj∈VB，挑选 其中与起点v1距离最短（min{di+cij}）的vj，对vj进行标号
6 [0, v1]
1
v2
2 [3, v1]
v1
3
v3 6
12
v4
10
v5 2 v8
6 4 10 3
3
v9
v6 2
4
v7
[1, v1]
(4) 重复(2)、( 3)，直至终点vn标上号[dn, vi]，则dn即为
v1→ vn的最短距离，反向追踪可求出最短路。
2019/11/21
管理运筹学
[5, v3]
v3 7.5 v4
[例] 求上例中的最小支撑树
解：
v1
5
3
v2 3.5 4 v5
2019/11/21
2
v3
v 管理运4筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
v1
5
v2
3.5 4
5.5
3
v5
2
v3 7.5 v4
2019/11/21
管理运筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
v1
5
v2
3.5
3
v5
2
v3
v4
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
4
G
5
1S
25
4
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
2019/11/21
D
H
管理运筹学
一、树的概念与性质
树 无圈连通图
例 判断下面图形哪个是树：
(A)
(B)
(C)
树的性质：
1、树中任两点中有且仅有一条链；
2、树任删去一边则不连通，故树是使图保持连通且具有最少边 数的一种图形。
3、边数 = 顶点数 – 1。
[10, v5]
v8 3
6
[12, v5]
v9
4
v7
[9, v5]
此时终点v9已标号[12, v5]，则12即为v1→ vn的最 短距离，反向追踪可求出最短路
2019/11/21
管理运筹学
[5, v3]
6 [0, v1]
1
v2
2 [3, v1]
v1
3
v3 6
12
v4
10
[1, v1]
[6, v2]
第二章 图论与网络分析
图的基本概念 最小支撑树问题
最短路径问题
网络分析
网络最大流问题
2019/11/21
网络计划问题
管理运筹学
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
2
4
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
B2
2 2F2
J
D
H
2019/11/21
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A
2 C
2
4
G
1S
2
3
3K
B2
2 2F2
J
D
H
此即为最经济的煤气管道路线，所需的总费用为25万元
有向图，记作D=(V，A)
有向图的边 称为弧。
例1：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。
例2：五个球队的比赛情况，v1
v2 表示v1胜v2。
v5
v1
v4
2019/11/21
v 管理运筹学 2
v3
3、链与路、圈与回路
无向图：
链 点边交错的序列 圈
起点=终点的链
有向图：
路 点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
v1
3
v3 6
12
v4
10
[1, v1]
[6, v2]
v5 2 v8
6 4 10 3
3
v9
v6 2
[10, v5]
4
v7
[9, v5]
2019/11/21
管理运筹学
[5, v3]
6 [0, v1]
1
v2
2 [3, v1]
v1
3
v3 6
12
v4
10
[1, v1]
[6, v2]
v5 2
4 10 3
v6 2
B
2
2
7
5
G
A
5C
4
E
4
1
3
7 1
2019/11/21
4
D
F
图1 光缆铺设管费理用运筹图学
案例分析：默登公司的联网问题