湖北省部分重点中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

湖北省部分重点中学2012—2013学年度上学期高二期中考试
数学试卷（理科）
一．选择题:本大题10小题，每题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列程序框图是循环结构的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
2. 对于样本中的频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是( )
A ．频率分布直方图与总体密度曲线无关
B ．频率分布直方图就是总体密度曲线
C ．样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D ．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
3．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．
A ．至少有1个白球，都是白球
B ．至少有1个白球，至少有1个红球
C ．恰有1个白球，恰有2个白球
D ．至少有1个白球，都是红球
4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组
后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间
[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽
到的人中,做问卷B 的人数为 （ C ）
A ．7
B ．9
C ．10
D ．15
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．
A ．60％
B ．30％
C ．10％
D ．50％
6．用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值
时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）
A ．6，6 B. 5, 6 C. 5, 5 D. 6, 5
7.在2012年3月15日那天，武汉市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其
价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
程是y ^
＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )
A ．－24
B ．35.6
C ．40.5
D ．40
8.若输入数据n ＝6，a 1＝－2，a 2＝－2.4，a 3＝1.6，a 4＝5.2，a 5＝－3.4，a 6＝4.6，执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为( )
A ．0.6
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.9
9.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是( )
A ．70,50
B ．70,75
C ．70,72.5
D ．65,70
10.若43a -≤≤，则过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线的概率为（ ）A ．
1
7
B ．
37
C ．
47
D ．
314
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．完成下列进位制之间的转化：
()21011011=________（7）
12.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的
得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为
共9个共13个共11个
0 1 3 5 6
0 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 9
4
321 、 .
13．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，，
自钱孔人，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是宣径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落人孔中的概率是 .
14．如图所示的程序框图可用来估计π的值(假设函数RAND(－1，1)是产生随机数的函数，
它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则运用此方法估计的π的近似值为________．
15.如图，将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点至C ′，E 点在线段AC ′上，若二面角A －BD －E 与二面角E －BD －C ′的大小分别为30°和45°，则
AE
EC ′
＝________. 三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本题12分）设计算法求
11×2＋12×3＋13×4＋…＋1
2 011×2 012
的值。

要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序。

17．（本题12分）一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为
40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
18. （本题12分）.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．
(1)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．
(2)某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．
19（本题12分）.某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
(1)(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对
值不超过5的概率．(参考数据： ∑i ＝1
5
x 2
i ＝145，∑i ＝1
5
y 2
i ＝13500，∑i ＝1
5
x i y i ＝1380)．
线性回归方程的系数公式为11
2
2
2
1
1
()()
()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b x
nx
x x ====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
20（本题13分）..汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO 2排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO 2排放量检测，记录如下：(单位：
g/km)
经测算发现，乙品牌车CO 2排放量的平均值为x 乙＝120g/km.
(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO 2排放量超标的概率是多少？
(2)若90<x <130，试比较甲、乙两类品牌车CO 2排放量的稳定性．
21. （本题14分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，AA 1＝BC
＝4，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1； (3)求三棱锥A1－B1CD的体积．
湖北省部分重点中学2012—2013学年度上学期高二期中考试
理科数学参考答案
选择题 CDCCD ADAAB
填空题 160 23,23
4
25π
3.152
2
2
16，这是一个累加求和问题，共2011项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。

程序框图如图所示：
----------------------------------------------------------------6分
程序如下：
------------12分
17. 解：总的时间长度为3054075
++=秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B，
（1）出现红灯的概率
302 ()
755 P A===构成事件A的时间长度
总的时间长度
（2）出现黄灯的概率51
()7515
P B =
==构成事件B 的时间长度总的时间长度
（3）不是红灯的概率23
()1()155
P A P A =-=-=
18.(1)用1,2,3,4表示四条不同的旅游线路，甲选旅游线路a ，乙选旅游线路b ，用(a ，b )表示a ，b ＝1,2,3,4.
所有的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
记“甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同”为事件A ， ∴P (A )＝1216＝3
4
.
答：甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率为3
4.---------5分
(2)设甲，乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x ，y ， 依题意，⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤600≤y ≤60
|x －y |≤20
，即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤60
0≤y ≤60
x －y ≤20
x －y ≥－20
，
作出不等式表示的平面区域如图．
记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B
P (B )＝
60×60－40×4060×60＝5
9
，
答：两个旅游团在著名景点相遇的概率为5
9
.-----------12分
19.(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO 2排放量结果：80,100；80,120；80,140；80,150；，110,120；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.
设“至少有一辆不符合CO 2排放量”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150，
所以P (A )＝7
10＝0.7.------------------------------5分
(2)由题可知，x －甲＝x －
乙＝120，∴x ＋y ＝220，
5S 2
甲＝(80－120)2
＋(110－120)2
＋(120－120)2
＋(140－120)2
＋(150－120)2
＝3000 5S 2
乙＝(100－120)2
＋(120－120)2
＋(x －120)2
＋(y －120)2
＋(160－120)2
＝2000＋(x －120)2
＋(y －120)2
，
∵x ＋y ＝220，∴5S 2
乙＝2000＋(x －120)2
＋(x －100)2
， 令x －120＝t ，∵90<x <130，∴－30<t <10， ∴5S 2
乙＝2000＋t 2
＋(t ＋20)2
，
∴5S 2
乙－5S 2
甲＝2t 2
＋40t －600＝2(t ＋30)(t －10)<0， ∵x －甲＝x －乙＝120，S 2乙<S 2
甲，
∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好．-----------------------12分 20.(1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝255
＝5，
y －
＝
30＋40＋60＋50＋705＝250
5
＝50，
又已知∑i ＝1
5
x 2
i ＝145，∑i ＝1
5
x i y i ＝1380，
于是可得：b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x －y
－∑i ＝1
5
x 2
i －5x －
2
＝
1380－5×5×50
145－5×5×5
＝6.5，
a ^
＝y －－b ^x －
＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求回归直线方程为y ^
＝6.5x ＋17.5.--------5分 (2)根据上面求得的回归直线方程得，当x ＝10时， y ^
＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，
即当广告费支出为10万元时，这种产品的销售收入大约为82.5万元．--------------8
分
(3)解：
(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个．
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的只有(60,50)．
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1－1 10
＝
9
10
.-------------13分
21，(1)证明：在△ABC中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AC⊥BC.
又CC1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，
∴AC⊥CC1.
∵CC1∩BC＝C，CC1，BC⊂平面BB1C1C，
∴AC⊥平面BB1C1C，
而BC1⊂平面BB1C1C，
∴AC⊥BC1.---------------5分
(2)设B1C交BC1于E点，连结DE.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
四边形BB1C1C是平行四边形，∴E是BC1的中点，
又D 是AB 的中点，∴AC 1∥DE ，
而DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.----9分 (3)连接A 1D ，A 1C ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F . 在Rt △ABC 中，CF ＝
AC ·BC AB ＝3×45＝12
5
， 又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，CF ⊂平面ABC ，CF ⊥AB ， ∴CF ⊥平面ABB 1A 1，即CF 是三棱锥C －A 1B 1D 的高， 又S △A 1B 1D ＝12A 1B 1·AA 1＝1
2
×5×4＝10，
∴V A 1－B 1CD ＝V C －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CF ＝13×10×12
5＝8.-----14分。