2019届吉林省长春外国语学校高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】利用二项式定理公式展开即可求得结果
【详解】
展开式的通项公式为
，
展开式中，含 项的系数为 故选 【点睛】 本题主要考查了二项式系数的性质，利用二项式定理公式展开即可求得结果，属于基础 题。
10．等差数列an 的公差为 d ，关于 x 的不等式 dx2 2a1x 0 的解集为 0, 9 ，则使
【答案】D
【解析】试题分析：A、B、C 中，若
，不等式
、、
均不
成立，故 A、B、C 错；D 中，因为函数 确，故选 D． 【考点】不等式的性质．
是减函数， ，所以
6．已知向量 A．-2 B．2 【答案】B
,
，若 与 共线,则实数 的值是（ ）
C．-4 D．4
【解析】先求出 【详解】
， 然后根据
与 共线即可求出 x．
函数 y ax 图象有 4 个交点，当1 x e 时， f x lnx ，设 y ax 是 f x lnx 的
a 1
切线，切点为 x0 ,
y0
,
f
'x

1 x
，
{
y0 y0
x0 lnx0 ax0
，解之得 a 1 ，当 e x 2e 时， e
命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是
否定命题 p 的结论. 2 命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在
性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词
隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”
的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.
【答案】6 【解析】设正三棱柱的底边长为 x ，高为 y,则 6x 3y 12 ，由基本不等式可得
6x 3y 12 2 6x 3y xy 2 3xy 6 故三棱柱的侧面积最大值为 6
点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可
16．在四面体 中，若
， 且与 共线； ∴（2+x）•0﹣2•（2﹣x）＝0； ∴x＝2．
，故 D 正
故选：B． 【点睛】 考查向量坐标的加法和减法运算，共线向量基本定理，向量共线时坐标的关系．属于基 础题. 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥
A．
B． C．
D．
【答案】B
，则 （ ）
【解析】因为 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称,所以
,所以
,故选 B.
3．已知命题
，则命题 的否定为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为
.
选 C.
点睛：1.命题的否定与否命题区别
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想 的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转 化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地 揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应 用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等 式的解集；4、研究函数性质．
地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整
体，然后再根据三视图进行调整.
8．执行如图的程序框图，则输出的 值为（ ）
A．1 B． C． 【答案】D
D．0
【解析】由图知本程序的功能是执行
此处注意程序结束时
，由余弦函数和诱导公式易得：
，周期为 ，
.
9．
展开式中，含 项的系数为（）
4．在等比数列 中，已知
，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果. 【详解】
因为数列是等比数列，故得到 故答案为：D.
进而得到
【点睛】
这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.
，则
5．已知
，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
值．
试题解析：（Ⅰ）由已知得
.
取 的中点 T ，连接
，由 为 中点知
，
.
又
，故 TN = AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT .
y20
个命题：
p1 ：
P ，
x y 的最小值为 6；
p2 ：
P ，
4 x2 y2 20 ； 5
p3 ：
P ，
x y 的最大值为 6；
p4 ：
P ，
2 5 x2 y2 2 5
5.
其中的真命题是（ ）
A． p1 ， p4 B． p1 ， p2 C． p2 ， p3 D． p3 ， p4
【答案】C
【解析】作可行域如图：则 x y z 过点（4，-2），z 取最大值 6， x2 y2 最小值为 O 到直线 2x y 2 距离的平方，即 4 ；最大值为 O 到点（4，-2）
5 距离的平方，即为 20；所以 p2 ， p3 为真命题，选 C.
12．已知函数
f

x
{
故答案为： ． 【点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体 的对角线的长是解题的关键之一．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位 置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成 的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的 顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个 多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点 到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法 得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
2019 届吉林省长春外国语学校高三上学期期末考试数学（理） 试题
一、单选题
1．集合 A y y 2x, x R , B x, y y x 2, x R ，以下正确的是（ ）
A． A B B． A B R C． A B D． 2 B
）的直观图如下：
可计算
，故该几何体的最大边长为 .
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，
高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；
俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的
宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体
三、解答题
17．已知向量
，
，函数
．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）已知 分别为 内角 的对边，其中 为锐角，
，且
，求
的面积 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由
经降幂公式得
，三角函数的和差公式得
，由三角函
数的性质即可求得 的单调递增区间为
；
因为 由余弦定理
，因为
，所以
，得 ，最后代入三角形的面积中即可.
则有 cosθ＝ ＝ ， 又由 0≤θ≤π，
则θ＝ ；
故答案为： ． 【点睛】 本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握由向量数量积计算向量夹角的计算公式．
14．已知随机变量 【答案】
，若
，则
_____________．
【 解 析 】 分 析 ： 根 据 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 知 正 态 曲 线 的 对 称 轴 是 x=1 ， 且
数列an 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】B
【解析】试题分析：∵关于 x 的不等式 dx2 2a1x 0 的解集为0, 9 ，∴ 0 ，9 分别是
一元二次方程
dx2

2a1x

0
的两个实数根，且
d

0
．∴

2a1 d
【答案】C
【 解 析 】 由 题 意 ， 集 合 y y 2x, x R R ， 表 示 实 数 集 ， 集 合
B x, y y x2, x R 表示二次函数 y x2 图象上的点作为元素构成的点集，所以
A B ，故选 C.
2．设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称，
，依据正态分布对称性，即可求得答案.
详解：根据随机变量 服从正态分布
，
正态曲线的对称轴是 x=1，
，
，
. 故答案为：0.8. 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利 用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转 化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0. 15．用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积 的最大值是__________．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 8 5 ． 25
【解析】试题分析：（Ⅰ）取 的中点 T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，从而得到 MN AT ，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以 A 为
坐标原点， AE 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线 AN 的方 向向量与平面 PMN 的法向量的夹角的余弦值来求解 AN 与平面 PMN 所成角的正弦
试题解析（1）
令 解得 所以 的单调递增区间为
因为 由余弦定理
，所以 ，得
18．如图，四棱锥 P−ABC 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.
（Ⅰ）证明 MN∥平面 PAB; （Ⅱ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
，
，
接球的表面积为__________．
，则四面体 的外
【答案】
【解析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接 球的表面积． 【详解】 由题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 ，2， 为三边的三角形作为底面，且以分别 x，y，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体， 并且 x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R 为球的半径），得 2R2 ＝3， 所以球的表面积为 S＝4πR2＝6π．
f x f 2e x ，故函数 f x 图象关于直线 x e 对称，作出函数 f x 的图象，
如图，由图知，当 0 a 1 时，函数 y f x 与函数 y ax 图象有 4 个交点，函数
e
F x f x ax 有 4 个零点，，故选 B.

9
，可得：
2a1
9d

0 ，∴ a1

9d 2
．∴ an

a1
n 1d

n 11 d 2

，可得：a5


1 2
d

0，
a6

1 2
d

0
．∴使数列 an
的前
n
项和
Sn
最大的正整数
n
的值是
5 ．故选：B．
【考点】等差数列的前n 项和.
x y 2
11．记不等式组{2x y 2 ，表示的平面区域为 ，点 P 的坐标为 x, y .有下面四
f
lnx
2e
,0 x e
x,e x
2e
，函数 F x f x ax 有 4 个零点，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 0,e
B．

0,
1 e

C．e,
D．[1 , ） e
【答案】B
【解析】
令 F x 0 得 f x ax ，函数 F x f x ax 有 4 个零点，即函数 y f x 与
二、填空题
13．已知
，
，若
，则 与 的夹角是_________．
【答案】 【解析】根据题意，设 与 的夹角为θ，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（ + ）
• =0，则有 • ＝﹣3；又由 cosθ＝ 【详解】
计算可得 cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．
根据题意， 与 的夹角为θ，
若| |＝ ，| |＝2，则（ + ）• = 2+ • ＝3+ • ＝0， 则有 • ＝﹣3；