2021版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考中档大题规范练(二)

(二)立体几何
1．(2021·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
证明(1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又由于DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)由于棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
由于AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CC1.
又由于AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又由于BC1⊂平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC.
由于BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
由于AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.又由于AB1⊂平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
2．如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M为线段BD的中点，MC∥AE，且AE＝MC ＝ 2.
(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；
(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.
证明(1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，∴AM＝
1
2BD＝2，AM⊥BD.
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.
∵AM⊂平面ABD，BD⊂平面ABD.
∴MC⊥AM，MC⊥BD.又MC∩BD＝M，
∴AM⊥平面CBD.又AE＝MC＝2，
∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，
∴EC⊥平面CBD，∵EC⊂平面CDE，
∴平面BCD⊥平面CDE.
(2)∵M为BD的中点，N为DE的中点，
∴MN∥BE.由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，
BE∩EC＝E，∴平面AMN∥平面BEC.
3.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：MD∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；
(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． (1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线， 所以MD ∥AP .
又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， 故MD ∥平面APC .
(2)证明 由于△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， 所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .
又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC . 由于BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .
又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC . 由于BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC . (3)解 由题意，可知MD ⊥平面PBC ， 所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，
在Rt △ABC 中，AB ＝20，BC ＝4，则CM ＝1
2AB ＝10，
又在正三角形PMB 中，DM ＝53，所以DC ＝
MC 2－DM 2＝
102－(5
3)2＝5，所以
cos ∠DBC ＝
25＋16－25
2×5×4
＝25，则S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝12×5×4×21
5＝221， 所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝1
3×S △BCD ×MD
＝1
3
×221×53＝107. 4.如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上．
(1)求证：AE ⊥BE ；
(2)求三棱锥D —AEC 的体积；
(3)设点M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面ADE . (1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ， 知BC ⊥平面ABE ，
∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE . 又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE . 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .
(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 则EH ⊥平面ACD .
由已知及(1)得EH ＝1
2AB ＝2，S △ADC ＝2 2.
故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43
. (3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G . 在△BEC 中，过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连接MN ， 则
CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13
CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE .由GN ∥BC ，BC ∥AD ， 知GN ∥AD .而AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， ∴GN ∥平面ADE .
又MG ∩GN ＝G ，∴平面MNG ∥平面ADE .
又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .
∴当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .
5．(2022·北京)如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面P AC；
(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．
(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴DC⊥平面P AC. (2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，
∴AB⊥平面P AC，又AB⊂平面P AB，
∴平面P AB⊥平面P AC.
(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.
证明如下：
取PB的中点F，连接EF，CE，CF.又∵E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.。