广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数易错知识点总结

广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数易错知识点总结
单选题
1、在复平面内，复数z =1+i
2−i （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
答案：A
分析：根据复数除法运算化简z ，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.
因为z =1+i 2−i =(1+i )(2+i )(2−i )(2+i )=
2+3i +i 2
4−i 2=1+3i 5=15+35i， ∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35
)，在第四象限， 故选：A ．
2、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB
⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ）
A ．−2−i
B ．2+i
C ．1+2i
D ．−1+2i
答案：D
分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果.
由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)，
故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i .
故选：D.
3、设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则
A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1
答案：C
分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．
小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
4、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）
A．√3B．2C．√5D．√6
答案：C
分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
因为(z−i)(2+i)=6−2i，
所以z=6−2i
2+i +i=(6−2i)(2−i)
(2+i)(2−i)
+i，
=2−2i+i=2−i，
所以|z|=√22+(−1)2=√5. 故选：C.
5、复数1−3i
(1−i)(1+2i)
=（）．
A．−1B．−i C．3
5−4
5
i D．3
5
−i
答案：B
解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.
根据复数的运算法则，可得1−3i (1−i)(1+2i)=
1−3i 3+i =(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i 10=−i .
故选：B. 6、已知复数z 满足|z −2|=1，则|z |的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：C
分析：本题可根据|z −2|=1得出点Z 的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果.
因为|z −2|=1，所以复数z 在复平面内所对应的点Z 到点(2,0)的距离为1，
则点Z 的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，
故|z |的取值范围为[1,3]，|z |的最大值为3，
故选：C.
7、i 为虚数单位，已知复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，则a 等于（ ）
A ．±1
B ．1
C ．−1
D ．0
答案：C
解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.
复数a 2
−1+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−1=0a −1≠0 ，得a =−1. 故选：C.
8、设z =i(2+i)，则z̅=
A ．1+2i
B ．–1+2i
C ．1–2i
D ．–1–2i
答案：D
分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念，写出z．
z=i(2+i)=2i+i2=−1+2i，
所以z̅=−1−2i，选D．
小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
9、已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）
A．−1B．1C．−3D．3
答案：C
分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.
(1+ai)i=i+ai2=i−a=−a+i=3+i，
利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.
故选：C.
10、若z=1+i，则|z2–2z|=（）
A．0B．1C．√2D．2
答案：D
分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.
由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.
故|z2−2z|=|−2|=2.
故选：D.
小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
填空题
11、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z=___________.
答案：−2−8i##−8i−2
分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.
在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则z=3−5i，
所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=−2−8i.
所以答案是：−2−8i
12、已知|z|=1，则|z−1+√3i|的最小值是_________．
答案：1
解析：由|z|=1，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．
|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP|后减去半径可得最小值．
解：因为|z|=1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．
|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，
∵|OP|=√1+3=2，
所以|PZ|min=|OP|−r=1．
故答案为1．
小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z|表示复平面上z对应的点Z到原点的距离，|z−z0|表示z在复平面上z对应的点Z与z0对应的点Z0间的距离．因此有|z−z0|=r表示z0对应的点为圆心，r为半径的圆．13、已知z+5−6i=3+4i，则复数z=________．
答案：−2+10i##10i−2
分析：直接根据复数的运算法则即可
z +5−6i =3+4i，可得：z =(3+4i )−(5−6i )=−2+10i．
所以答案是：−2+10i
解答题
14、在①z >0，②z 的实部与虚部互为相反数，③z 为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数z =m 2−m −6+(m 2−9)i．
（1）若_______，求实数m 的值；
（2）若m 为整数，且|z|=10，求z 在复平面内对应点的坐标．
答案：（1）答案见解析；（2）(−6,−8).
分析：（1）若选择①，由z >0，可知z 是一个大于零的实数，从而得{m 2−m −6>0,m 2−9=0,
进而可求出实数m 的值；若选择②，由题意可得m 2−m −6+m 2−9=0，解方程可得实数m 的值；若选择③，由题意可得
{m 2−m −6=0,m 2−9≠0,
从而可求出实数m 的值； （2）由|z|=10可得(m 2−m −6)2+(m 2−9)2=100，再由m 为整数，可得(m −3)2为平方数，2m 2+10m +13为奇数，从而可求得实数m 的值，进而可得答案
解：（1）若选择① 因为z >0，所以{m 2−m −6>0,m 2−9=0,
解得m =−3．
若选择② 因为z 的实部与虚部互为相反数，所以m 2−m −6+m 2−9=0，
解得m =3或−52．
若选择③ 因为z 为纯虚数，所以{m 2−m −6=0,m 2−9≠0,
解得m =−2．
（2）因为|z|=10，所以(m2−m−6)2+(m2−9)2=100，
所以(m−3)2(2m2+10m+13)=100．
因为m为整数，所以(m−3)2为平方数，2m2+10m+13为奇数．
因为100=102×1或100=22×25，
所以验证可得m−3=−2，即m=1．
因为m=1，所以z=−6−8i，其在复平面内对应点的坐标为(−6,−8)．
15、已知复数z=(1+ai)(1+i)+2+4i(a∈R).
（1）若z在复平面中所对应的点在直线x−y=0上，求a的值；
（2）求|z−1|的取值范围.
答案：（1）a=−1；（2）[7√2
2
,+∞).
解析：（1）化简z，得z在复平面中所对应的点的坐标，代入直线x−y=0计算；（2）代入模长公式表示出|z−1|，再利用二次函数的性质求解最值即可.
（1）化简得z=(1+ai)(1+i)+2+4i=(3−a)+(a+5)i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为
(3−a,a+5)，在直线x−y=0上，所以3−a−(a+5)=0，得a=−1.
（2）|z−1|=|(2−a)+(a+5)i|=√(2−a)2+(a+5)2=√2a2+6a+29，因为a∈R，
且2a2+6a+29≥49
2，所以|z−1|=√2a2+6a+29≥7√2
2
，所以|z−1|的取值范围为[7√2
2
,+∞).。