广东省汕头市潮阳林百欣中学高二数学文期末试题含解析

广东省汕头市潮阳林百欣中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是（）
A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．
【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，
必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；
连线的斜率﹣1，弦的所在直线斜率是1．
则直线l的方程是：y﹣1=x
故选D．
2. 对于以下说法：
①命题“,使”的否定是“”；
②动点到点及点的距离之差为定值，则点的轨迹是双曲线；
③三棱锥中，若点P满足则点P在平面ABC
内. 其中正确的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
参考答案：
C
3. 二项式的展开式中的系数为（）
A、－5
B、5
C、10
D、－10
参考答案：
D 4. 某厂生产每吨产品的成本(元)与生产过程中的废品率(%)的回归方程为,下列说法正确的
是
( )
A.废品率每增加,成本每吨增加元
B.废品率每增加,成本每吨增加
C.废品率每增加,成本每吨增加元
D.废品率每增加,成本每吨增加元
参考答案：
C
略
5. 复数( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
【详解】
把复数的分子分母同时乘以1-i,，
．故选A.
考点：复数的除法运算．
6. 利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据数学归纳法的概念写出时，左边的项和时左边的项，进而得到结果.
【详解】利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立
;当时，
左边为
故增加的项数为项.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了数学归纳法的应用，属于简单题.
7. 随机变量Y～，且,，则
A. n=4 p=0.9
B. n=9 p=0.4
C.n=18 p=0.2
D.
N=36 p=0.1
参考答案：
B
8. 我们把由半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中
）。

如图，设点是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（）
A． B． C．5，3 D．5，4
参考答案：
A
9. 已知全集等于
A. B. C. D.
参考答案：C
考点：集合运算
10. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为
(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为____________ ．
参考答案：
2
略
12. 下列4个命题中，正确的是（写出所有正确的题号）．
（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
（2）“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件
（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”是真命题
（4）若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0．
参考答案：
（2）（3）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否命题可判断（1）；根据充要条件定义，可判断（2）；判断原命题的逆否命题的真假，可判断（3）；写出原命题的否定命题可判断（4）
【解答】解：（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故（1）错误；（2）“x2﹣5x﹣6=0”?“x=﹣1，或x=6”，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故（2）正确；
（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”的逆否命题“若x=y ，则sinx=siny”是真命题，故原命题也为真命题，故（3）正确； （4）若命题
，则￢p ：?x∈R，x 2﹣2x ﹣1≤0，故（4）错误．
故答案为：（2）（3）
13. 设是定义在上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围
是。

参考答案：
(－1,
)
14. 设数列
前项和为
，如果
那么
_____________．
参考答案：
考点：数列
通项公式的应用．
【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到
，进
而得到
是解答的关键．
15.
的展开式中的常数项等于 .
参考答案：
-160
16. 如图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果是 ．
参考答案：
12
【考点】分段函数的应用；程序框图．
【分析】由已知可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=3，代入可得答
案．
【解答】解：由已知可得：
程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，
当x=3时，y=3+32=12，
故答案为：12．
17. 设x ，y 都是正数，且，则 3x +4y 的最小值
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．
（1）求角A 的大小；
（2）若
，求△ABC 的面积．
参考答案：
（1）；（2）．
试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；
（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式
，计算面积．
试题解析：（1）在△ABC中，由正弦定理得，
即，又角为三角形内角，
所以，即，
又因为，所以．
（2）在△ABC中，由余弦定理得：
，则
即，解得或，
又，所以．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．
19. 我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x，y轴的交点．
（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当|A1A2|＞|B1B2|时，求的取值范围．参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，得出a，b，c的关系，求出a，b，c的值，进而得出“果圆”的方程；
（2）由|A1A2|＞|B1B2|可得a，b，c的不等关系式，把c用a，b代替，得到含有a，b的不等式，求解不等式得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，F0（c，0），F1（0，﹣），F2（0，），
则|F0F1|==b=1，|F1F2|=2=1，
∴，，
故所求“果圆”方程为（x≥0）和（x≤0）；
（2）由|A1A2|＞|B1B2|，得a+c＞2b，c＞2b﹣a，即＞2b﹣a．
两边平方得a2﹣b2＞（2b﹣a）2，
则，又b＞c，
∴b2＞c2，即b2＞a2﹣b2，
∴，即，
略故∈（）．
20. （本小题满分14分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

参考答案：
（Ⅰ）求函数的周期及单调增区间。

（Ⅱ）设的内角的对边分别为，已知
，求边的值．
参考答案：
=
x+……即2k……
所以…函数的单调递增区间是【2k】
周期
T=2
6分
（Ⅱ）由，得
由得.又
由得
，
21. ，设
(1)
2分
22. 已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．
（Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；
（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），
利用互化公式可得直角坐标方程．将曲线C1的参数方程（t为参数）与抛物线方程联立得： t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．
（Ⅱ）将曲线C1的参数方程与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，可得|AB|2=|PA||PB|，可得=|t1||t2|，即=5t1t2，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），
∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．
又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．
将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，
由于△=﹣4×32＞0，
设方程两根为t1，t2，∴t1+t2=12，t1?t2=32，
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．
（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，
由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，
∴t1+t2=2（4+p），t1?t2=32，
又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，
∴|AB|2=|PA||PB，
∴=|t1||t2|，
∴=5t1t2，
∴=5×32，
∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，
又p＞0，
∴p=﹣4+2，
∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．
[选修4-5：不等式选讲选做]
23．。