安徽省“江南十校”2009年高考冲刺(理科数学,2009年5月)

安徽省“江南十校”2009年高考冲刺
数学（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分考试时间为120 分钟
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．命题“x R ∀∈，2sin 40x
e x -+≤”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，2sin 40x
e x -+≥ B ．x R ∀∉，2sin 40x
e x -+≤ C ．x R ∃∈，2sin 40x
e x -+>
D ．x R ∀∉，2sin 40x
e x -+>
2.设a R ∈且 2
()a i i +为正实数，则a 的值为（ ） A ．-1
B ．0
C ．1
D ． 2
3.已知集合{}2
(,),A x y y x x R ==∈，{}
(,)2,x
B x y y x R ==∈，则集合A B ⋂的真子集个数是（ ） A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
4.已知某个几何体的俯视图是长为8、宽为 6的矩形，正视图是一个底边长为8、高为 4的等腰三角形，侧视图是一个地边长为6 的、高为4的等腰三角形，则该几何体的侧 面积为（ ） A ．64
B
．
C
．24+ D
．40+5. 已知变量x y 、的一组样本数据的相关系数= －0.9856，则变量x y 、（ ） A ．有很弱的线性负相关关系 B ．有很弱的线性正相关关系
C ．有很强的线性负相关关系
D ．有很强的线性正相关关系
正视图
侧视图
俯视图
6. 在平面直角坐标系中，由不等式组y x
y x a
⎧≥⎪
⎨≤-+⎪⎩（其中a R ∈）所确定的区域面积为2，
则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2或—2
D 7. 已知αβ、是平面，m n 、是直线，给出下列命题：①若m m αβ⊥⊂，，则αβ⊥；②若,m n m n ααββ⊂⊂ ，，，则αβ ；③若,m n m n αα⊂⊄，，是异面直线，那么n 与β相交；④若,m n m n n αβαβ⋂=⊄⊄ 且，，则n n αβ ，且.其中正确命题的序号是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②③④
8.如果02θπ∈（，），则使得不等式3
3
sin cos cos sin θθθθ->-成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．04
π
θ∈（，）
B ．504
πθ∈（，） C ．544
ππ
θ∈（，）
D ．324
ππ
θ∈（，）
9.已知
2(*)n
x n N ∈（展开式中的第四项是常数项，则函数1
()f x x x
=
-与直线2x =及直线x n =和x 轴围成图形的面积为（ ）
A ．ln2-6
B ．6-ln2
C ．72ln 2-
2
D ．
7
2ln 22
- 10.设1a >，函数log a y x =的定义域是[m,n](m<n),值域为[0,1].定义“区间[m,n]的长度等于n-m”，若区间[m,n]的长度的最小值为5
6
，则实数a 的值为（ ） A ．11
B ．6
C ．11
6
D ．
32
11.已知函数()21x
f x ax b =+-，其中{}{}0,1,2,1,2,3a b ∈∈，则使得()0f x <在
[1,0]x ∈-时有解的概率为（ ）
A ．
13
B ．
2
3
C ．
79
D ．
89
12. 已知点p 式抛物线C:2
12
y x =
上一动点，直线l 过点p 且与抛物线C 在点P 处的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，则线段PQ 的中点M 到x 轴的最短距离是（ ）
A
B +1
C ．3
D -1
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
一直线经过椭圆3cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点，且与椭圆的长轴垂直，则在以原
点为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，该直线的极坐标方程是 .
14.如图给出的程序框图中，输出的结果是10，则判断框内应填入的实数k 的取值范围是 .
15.已知ABC ∆
中，a =45B =
︒S 3ABC ∆=+则A = . 16.一烷烃起始物的分子结构如图1所示，将其中的所有氢原子用甲基（3CH -）取代得到的结构式如图2所示，再将中的12个氢原子全部用甲基取代，如此循环下去，所得分子由小到大形成一个系列，在这个系列中，由小到大的第n 个分子中含有的碳原子的个数是 .
第14题图 H
H
C
H H H
H
C H
C H
C H
H H H
C H
H
C H H 第16题图1
第16题图2
三、解答题（本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）在ABC ∆
中，1,2,AB AC BC ==∈ ，记AB AC
与的
夹角为θ.
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数2()2sin ()24
f π
θθθ=+-的最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -底面是直角梯形，,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，
1PA AD AB ===．
（Ⅰ）求证：BE PAD 平面； （Ⅱ）求三棱锥—B PDC 的体积； （Ⅲ）求二面角——C PB A 的余弦值．
C
B
A D
P
E
19.（本小题满分12分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（一下简称活动）.该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示. （Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，求他们 参加活动次数恰好相等的概率；
（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，求ζ表 示他们参加活动次数之差的绝对值，求随 机变量ζ的分布列及数学期望E ζ.
20.（本小题满分12分）
已知函数5()ln(1)2
f x x x =++-
（Ⅰ）若0x >，证明22310
()2(2)
x x f x x +->+；
（Ⅱ）若[1,1]x ∈-时，不等式22219
()-322
x f x m m ≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.
1
活动次数
2
21. （本小题满分12分）
已知椭圆M
的对称轴为坐标轴，且抛物线2
x =-的焦点是椭圆M 的一个焦点，
又点A 在椭圆M 上. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）已知OA
为直线l 的方向向量，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求ABC ∆面积的
最大值．
22．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 中，12a a =>，且2
1()2(1)
n
n n a a n N a *+=∈-。

（Ⅰ）求证：12n n a a +<<；
（Ⅱ）若存在k N *∈，使3k a ≥，求证：3
ln
3ln 14
a k <
+
安徽省“江南十校”2009年高考冲刺试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题
1—5：CADDC 6—10：BABBB 11—12： CB 二、填空题
13. cos 2ρθ= 14. [14,22) 15.3
π 16.1
231n -⋅- 三、解答题
17.（本小题满分12分）在ABC ∆
中，1,2,AB AC BC ==∈ ，记AB AC
与的
夹角为θ.
（Ⅰ）解：由余弦定理知：2222
125cos 2124
a a θ+--==⨯⨯，
又]a ∈，
所以10cos 2θ≤≤
，又0[,]32
ππ
θπθ∈⇒∈（，）即为θ的取值范围；
（Ⅱ）解：2
()2sin (
)22sin(2)143
f π
π
θθθθ=+-=-+，因为
2[,]232
3
3
ππππ
θθ∈⇒≤≤
，所
以2s i n (2)123
π
θ≤-≤，因此m a x
()3f θ=
，()1f min θ=.
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取PD 中点Q ，连接EQ 、AQ ，则
1
QE 2AB
CD AB QE CD CD AB QE QE AB =
=
=⎫⎪
⇒⎬⎪=⎭
所以四边形ABEQ 为平行四边形，BE ∥AQ
B AQ
AQ PAD BE PAD BE PAD E ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面 （Ⅱ）解：—P BDC BDC 11
V V PA S 33
B PD
C ∆==
⋅=—； C
B
A D
P
E
Q
（Ⅲ）以A 点为坐标系原点，分别以AB AD AP
、、为正方向，建立空间直角坐标系，则A 00B D(0,1,0),P(0,0,1),C(2,1,0)（，，0），（1,0,0),，且平面PAD 的一个法向量
AD 010= （，，），设(,,)n x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由BC 0(1,1,1)PC 0
n n n ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩
．
cos 3
θ∴=-
为所求二面角的余弦值. 19.由图知，参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10、50、40. （Ⅰ）解：该合唱团学生参加活动的人均次数为
110250340
2.3100
⨯+⨯+⨯=；
（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率
222105040
02
100
C C C 41P 99C ++==； （Ⅲ）解ζ的取值为0、1、2，且041P 99=，1111
105040502
100C C C C 50P 199C ζ⋅+⋅===（），11
1040
2
100
C C 8P 299C ζ⋅===（），随机变量ζ的分布列为
数学期望E ζ=
3
. 20.（本小题满分12分）（本小题满分12分）已知函数5
()ln(1)2
f x x x =++-
（Ⅰ）证明：设223102()()ln 2(2)2x x x g x f x x x x +-=-=-++，又2
()0
1)(2)x g x
x x '=>++（故函数g(x)在0+∞（，）
是是增函数，因此g(x)> g(0)=0,所以22310
()2(2)
x x f x x +->+. （Ⅱ）由不等式22219()-322x f x m m ≤+-，得222911-ln(1)222x m m x -≥-+-，设22
()ln(1)2x h x x =-+-，22(3)
()1
x x h x x +'=-+
若[1,0()0;(0,1]()0;x h x x h x ''∈->∈<），，因此h(x)的最大值为h(0)=0,从而
2911-022m m -≥，解得11
12
m m ≤-≥或，即为所求的实数m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知知抛物线2
x =-
的焦点0-（，， 故设椭圆方程为22
2212y x a a +=-
，将A 代入方程，整理得
422254041a a a a -+=⇒==或（舍去），
故所求椭圆方程为22
142
y x +=；
（Ⅱ）设直线l
的方程为y m =
+， 1122,),)B
x y C x y （、（，代入椭圆的方程并化简得
：2
2
440x m ++-=，由2
2
81640m m ∆=--（）>，可得2
8m <。

又
21212
4
,4
m x x x x -+=⋅=，而
2212
2(162)
2
2ABC m x x m m s ∆-+-=
=
≤=
即2m =±
．
22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a a =>，且2
1()2(1)
n
n n a a n N a *+=∈-。

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明左式：
当n=1时，212111
[(1)2]22(1)21
a a a a a =
=-++>--； 假设当n=k 时有12k a +>
则当n=k+1时，
21111
[(1)2]221
k k k a a a +++=-++>-，因此对所有的*n N ∈，都有2n a >又111111
(1)(1)121221
n n n n n a a a a a ++=+<+=⇒<--，故有12n n a a +<<； （Ⅱ）由（Ⅰ）1n n a a +<与3k a ≥，有123k a a a >>>≥ ，则
1111113
(1)(1)212314
k k k a a a --=+<+=--， 故112
111
33(),()44
k k k k k k a a a a a a a a a ---=⋅
⋅⋅<≤< 即3两边取自然对数，得3
ln
3ln 14
a k <
+.。