大连市名校2022届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

大连市名校2022届数学高二下期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ）
A ．
169
π
B ．
163
93
π+
C ．
83
93
π+
D ．
16233
π
+ 【答案】B 【解析】
分析: 由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案． 详解: 由已知中的三视图，圆锥母线2
2
235(
=222
+），
圆锥的高2
2
5-(1），
圆锥底面半径为22-l h ，
由题得截去的底面弧的圆心角为120°， 底面剩余部分为S=
23πr 2+212
r sin120°=8
33
故几何体的体积为：V=13Sh=13×（833×2=1623
93
π+
. 故答案为：B ．
点睛：（1）本题主要考查三视图找原图，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力基本的计算能力.(2)解答本题的关键是弄清几何体的结构特征并准确计算各几何要素. 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【解析】
根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；
该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；
该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．
3．(,0)F c -为双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，圆222:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、
二象限分别交于A ，B 两点，若AF OB ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．
5
C ．3
D ．
23
3
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图形，判断渐近线的倾斜角然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】
点(,0)F c -为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，
圆2
2
2
:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于A ，B 两点， 且AF OB ⊥，
如图：可得渐近线的倾斜角为60或120，
可得
b a =223b a =，所以224
c a =，可得2c
e a
==， 故选：A 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，解题的关键是画出图形得出渐近线的倾斜角，属于基础题. 4．
1
x e dx =⎰
（ ）
A ．1
B ．1e +
C ．e
D ．1e -
【答案】D 【解析】 【分析】
根据微积分基本原理计算得到答案. 【详解】
1
110
x x e dx e e ==-⎰.
故选：D . 【点睛】
本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力.
5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种
【答案】B 【解析】
5名志愿者先排成一排，有5
5A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5
524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．
6．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（ ）
A ．49
B ．43
C ．07
D ．01
【答案】B 【解析】 【分析】
通过观察前几项，发现末尾两位数分别为49、43、01、07，以4为周期重复出现，由此即可推出20197的末尾两位数字。

【详解】
根据题意，得2
3457
49734372401,716807,====，，677117649,7823543==，
8975764801,740353607...== 发现427k -的末尾两位数为49，4-17k 的末尾两位数为43，47k 的末尾两
位数为01，417k +的末尾两位数为07，（1,2,3...k = ）； 由于201945051=⨯-，所以20197的末两位数字为43； 故答案选B 【点睛】 本题以求7
(2)n
n ≥的末尾两位数的规律为载体，考查数列的通项公式和归纳推理的一般方法的知识，属
于基础题。

7．已知函数
()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和(1,)+∞
B ．(0,1)和(2,)+∞
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
和(2,)+∞ D ．()1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间． 【详解】
函数f(x)＝x 2
－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x －5＋2x ＝2252x x x -+＝()()
221x x x
--＞0，
解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f(x)的单调递增区间是102⎛⎫
⎪⎝⎭
，，(2，＋∞)． 故选C 【点睛】
本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．
8．函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线平行，则双曲线
的离心率是（ ）
A B C
D 【答案】D 【解析】
【分析】
计算函数ln y x =在()()
33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率. 【详解】
11ln '3
y x y k x =⇒=
⇒= 切线与一条渐近线平行1
33
b b y x a b a a ⇒=
⇒=⇒=
c e a ===
故答案选D 【点睛】
本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.
9．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．3
4A 种 B ．31
34A A 种
C ．23
43C A 种
D ．113
433C C A 种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】
解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；
则必有2名水暖工去同一居民家检查，
即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，
再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有3
3A 种情况， 由分步计数原理，可得共2
3
43C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】
本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 10．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）
附表：
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则下列选项正确的是（ ）
A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】
分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：根据卡方公式求得()
2
23081281020101218
K -=
=⨯⨯⨯，
27.89710.828K <<，
∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.
点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式
()()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.
11．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，4AB =，5AD =，
2BC CD ==O 的体积为（ ）
A ．105π
B 205
π C ．5π
D 105
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积. 【详解】
因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB=4，25AD =， 所以2BD =，又2BC CD ==
，
所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．
由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：
设长方体的外接球半径为R ， 则()()
2
2
2222425R =
++=，
所以球O 的体积为()
3
344205
ππ5
π33
V R ===
， 故选:B. 【点睛】
本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.
12．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A ．参与奖总费用最高
B ．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍
C ．购买奖品的费用的平均数为9.25元
D ．购买奖品的费用的中位数为2元
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.
【详解】
参与奖的百分比为：130%10%5%55%---= 设人数为单位1
一等奖费用：205%1⨯= 二等奖费用：1010%1⨯= 三等奖费用：530% 1.5⨯= 参与奖费用：255% 1.1⨯= 购买奖品的费用的平均数为：4.6
参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元 故答案选D 【点睛】
本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力. 二、填空题：本题共4小题
13．已知随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，且(26)0.98P X <≤=,则(2)P X <=_______． 【答案】0.01 【解析】 【分析】
根据正态分布的对称性，求得(2)P X <的值. 【详解】
根据正态分布的对称性有1(26)10.98
(2)0.0122
P X P X -<≤-<===.
【点睛】
本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.
14．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(1)0.2P ξ<=，(12)0.3P ξ≤<=，则(3)P ξ<=． 【答案】0.8 【解析】
分析：先根据正态分布曲线对称性求(3)P ξ>，再根据()()313P P ξξ<=-≥求结果.
详解：因为正态分布曲线关于2x =对称，所以(3)?
(1)0.2P P ξξ>=<=, 因此()()31310.20.8P P ξξ<=-≥=-=
点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1. 15．若抛物线21y
ax 上存在关于直线1
12
y x =
+成轴对称的两点，则a 的取值范围是__________．
【答案】34
a > 【解析】 【分析】
假设存在对称的两个点P ，Q ，利用两点关于直线1
12
y x =
+成轴对称，可以设直线PQ 的方程为2y x b =-+，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2
2 1
y x b
y ax =-+⎧⎨=-⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围． 【详解】
设抛物线上关于直线1
:12
l y x =
+对称的两相异点为()11,P x y 、()22,Q x y ， 线段PQ 的中点为()00,M x y ，
设直线PQ 的方程为2y x b =-+，由于P 、Q 两点存在，
所以方程组2
2 1y x b
y ax =-+⎧⎨=-⎩
有两组不同的实数解， 即得方程()2
210ax x b +-+=①
判别式()4410a b =++>②．
可得01x a =-，02
y b a
=+， ∵M l ∈，∴00112y x =+⇒5
12b a =-…③
由②③可得34a >，故答案为3
4
a >.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题． 16．函数2()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠必过定点___． 【答案】()2,3 【解析】 【分析】
令x ﹣2＝0求得f （2）＝a 0+2＝3，可得定点的坐标． 【详解】
令x ﹣2＝0，即x ＝2，可得f （2）＝a 0+2＝3， 可得函数的图象经过点（2，3）， 故答案为：（2，3）．
【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和特殊点，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()1212
x x
a f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数)，()2
2g x x x m =-+，m R ∈. （1）求实数a 的值；
（2）若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-成立，求证实数t 的取值范围. 【答案】（1）1a =.（2）82,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.（3）()0,e
【解析】 【分析】
()1因为函数()1212
x
x
a f x -⋅=+是R 上的奇函数，令()00f =可求a ； ()2对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，故只需满足()f x 值域是()g x 的
值域的子集；
()3由不等式()()222f lnt f lnt lnt +->-得，()()()22f lnt lnt f lnt lnt ->---，构造
()()h x f x x =-利用单调性可求解正实数t 的取值范围．
【详解】
（1）因为()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，即
103
a
-=，解得得1a =， 当1a =时，由()()1221
1221
x x x
x f x f x -----===-++得()f x 为奇函数， 所以1a =.
（2）因为[]20,3x ∈，且()g x 在[]0,1上是减函数，在[]1,3上为增函数 所以()g x 在[]0,3上的取值集合为[]1,3m m -+. 由()()()()
2
2ln 212122ln 2
'12x x x x x f x -+--⋅=
+()
12
2ln 2
012x x +-=
<+，
得()f x 是减函数，
所以()f x 在[]1,2-上是减函数，
所以()f x 在[]1,2-上的取值集合为31,53
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”
()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集，
即[]31,1,353m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦
.
则有315m -≤-
，且133m +≥，解得：82
35
m -≤≤. 即实数m 的取值范围是82,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
（3）记()()h x f x x =-，则()()''10h x f x =-<， 所以()h x 是减函数，
不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-等价于
()()()ln ln 2ln 2ln f t t f t t ->---，即()()ln 2ln h t h t >-，
因为()h x 是减函数， 所以ln 2ln t t <-， 解得0t e <<，
所以实数t 的取值范围是()0,e . 【点睛】
本题主要考查了函数最值的求法，通过子集的关系求参数的范围，构造函数求参数范围，属于难题． 18．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的频率。

（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX. 【答案】（1）5
18
（2）见解析 【解析】
（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，计算即得 (II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布概率计算公式
得X 的分布列为
进一步计算X 的数学期望.
试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105
().18
C P M C ==
(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则
565101
(0),42C P X C ===
41645105
(1),21C C P X C ===
326451010
(2),21C C P X C ===
23645105
(3),21C C P X C ===
14645101
(4),42
C C P X C ===
因此X 的分布列为
X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P
X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 19．已知平面内点(),P x y 到点10F （，）的距离和到直线2x =的距离之比为2
，若动点P 的轨迹为曲线C ．
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为20（，）
设O 为坐标原点.证明：OMA OMB ∠=∠．
【答案】（I ）2
2=12
x y +（II ）见解析
【解析】 【分析】
（I ）根据题目点(),P x y 到点10F （，）的距离和到直线2x =
，列出相应的等式方程，化简可得轨迹C 的方程；
（II ）对直线l 分l x ⊥轴、l 与x 轴重合以及l 存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l 存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C 的方程进行联立，结合韦达定理，可推得0MA MB k k +=，从而推出OMA OMB ∠=∠． 【详解】
解：（I ）∵(,)P x y 到点(1,0)F 的距离和到直线2x =
的距离之比为
2
.
2
-
，2x =. 化简得：2
2=12
x y +．
故所求曲线C 的方程为：2
2=12
x y +.
（II ）分三种情况讨论：
1、当l x ⊥轴时，由椭圆对称性易知：OMA OMB ∠=∠．
2、当l 与x 轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：0OMA OMB ∠-∠=
3、设l 为：(1)y k x =-，0k =，且()()
11,1A x k x -，()()
22,1B x k x -，
由22
(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得：()2222
214220k x k x k +-+-=， ∴21
2
2421k x x k ，2122
22
21
k x x k --+ 设MA,MB ，所在直线斜率分别为：MA k ，MB k ，则
()()()()
12121212121210102342
2
2MA MB k x k x x x x x k x x x x k k x x -----++=
+
=⨯
---++
222222
22
224234
212122422121k k k k k k k k k -⨯-⨯+++=⨯--⨯++ 2222441284
62
k k k k k --++=⨯
-- 0=
此时，OMA OMB ∠=∠．
综上所述：OMA OMB ∠=∠. 【点睛】
本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题．解决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法．
20．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队
的贡献，现作如下数据统计：
（1）求b,c,d,e,n 的值，据此能否有97.7%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4,0.2,0.6,0.2.则： ①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
【答案】 (1) 有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关. (2)见解析. 【解析】
分析：（1）根据表中的数据，求得,,,,b c m e n 的值，进而求得2K 的值，利用附表即可作出结论； （2）①设1A 表示“乙球员担当前锋”；2A 表示“乙球员担当中锋 ”；3A 表示“乙球员担当后卫”；4A 表示“乙球员担当守门员”；B 表示“球队输掉某场比赛”，利用互斥事件和独立事件的概率公式，及条
件概率的公式，即可求解相应的概率．
详解：（1）()2
2502212888,8,20,20,50, 5.556 5.024********
b c m e n K ⨯⨯-⨯======
≈>⨯⨯⨯,
∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）①设1A 表示“乙球员担当前锋”；2A 表示“乙球员担当中锋 ”；3A 表示“乙球员担当后卫”；4A 表示“乙球员担当守门员”；B 表示“球队输掉某场比赛”，则
()()()1122(|)(|)P B P A P B A P A P B A =++ ()()3344(|)(|)P A P B A P A P B A + 0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=.
②()()
110.20.4
(|)0.250.32
P A B P A B P B ⨯=
=
=.
点睛：本题主要考查了独立性检验和条件概率的计算问题，关键在于从题设中分析出相应的数据，以及相应事件的概率，结合条件概率的计算公式进行计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．
21．一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为a ，俯视图中正方形的边长也为a .
主视图和左视图 俯视图 （1）画出实物的大致直观图形； （2）求此物体的表面积；
（3）若2a =，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到0.1个单位）
【答案】（1）见解析；（2）(2
52a +；（2） 3.6d ≈ 【解析】 【分析】
（1）根据三视图可知几何体的下部分是正方体，上部分是正四棱锥，画出几何体； （2）根据（1）所画的几何体，几何体的表面积包含5个正方形和4个三角形的面积； （3）根据数形结合，先画出展开图的平面图形，最短距离就是AE ，根据余弦定理求边长. 【详解】 （1）
（2）正视图中等腰三角形的直角边是几何体正四棱锥的斜高，
∴22
2222a a h a ∆⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 2
122224
S a a a ∆=
⋅=， ∴54S S S ∆=⋅+⋅=表面积正方形()
2225252a a a +=+
（3）一个三角形和下面的正方形的的展开图，如图所示，
当2a =时，
()
2
2
123AB AC ==+
=2BC =，
设ABC θ∠=，ABE α∠=, 而2
2
2
3233cos cos 3
223
ABC θ+-
=∠=
=
⨯⨯ ，
∴sin 6θ=
∴6cos cos sin 23παθθ⎛⎫=+=-=- ⎪
⎝⎭
, 根据数形结合可知最短距离就是d AE =
2
222
22cos 322
AE AB BE AB BE ABE ∴=+-⨯⨯⨯∠=
+-32cos α,
267437423AE ⎛⎫
∴=-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
,
3.6d AE ∴=≈
【点睛】
本题考查根据三视图求几何体的直观图，以及计算表面积，意在考查空间想象能力和计算求解能力，本题第二问需注意三视图中等腰三角形的腰是正四棱锥的斜高，等腰三角形斜边上的高是锥体的高，求解表面积时需注意这点.
22．如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若3AB BO ==.
（1）求失败点组成的区域；
（2）电子狗选择x 正半轴上的某一点P ，若电子狗在线段AP 上获胜，问点P 应在何处？ 【答案】（1）以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点；（2）P 应在x 轴正半轴上. 【解析】 【分析】
（1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速度为2V ，由题意
得
2MB MA
V V
≤
，代入坐标计算求解即可。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有2PB PA
V V
≥
，代入坐标计算求解即可。

【详解】
（1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速度为2V ，由题意
得
2MB MA
V V
≤
，即22(2)4x y +-≤，即失败点为M 的轨迹为以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

故失败点组成的区域为：以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有
2PB PA
V V
≥
，
2
≥
，即20x ≥， 所以P 应在x 轴正半轴上点。

【点睛】
本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系。