高中数学必修二第七章复数重点知识点大全(带答案)

高中数学必修二第七章复数重点知识点大全
单选题
1、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ）
A ．2
B ．12
C ．−12
D ．－2
答案：A
分析：根据复数的几何意义，可得z 1=2+i,z 2=1+bi ，根据复数的运算法则，即可得答案. 由题意得：z 1=2+i,z 2=1+bi ，
所以z 1z 2=(2+i)(1+bi)=2+2bi +i +bi 2=2−b +(2b +1)i ，
又z 1z 2是纯虚数，所以{2−b =02b +1≠0
， 解得b =2，
故选：A.
小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
2、已知z =2−i ，则z (z̅+i )=（ ）
A ．6−2i
B ．4−2i
C ．6+2i
D ．4+2i
答案：C
分析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
因为z =2−i ，故z =2+i ，故z (z +i )=(2−i )(2+2i )=4+4i −2i −2i 2=6+2i
故选：C.
3、若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ）
A ．−2
B ．−1
C ．1
D ．2
答案：D
分析：利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅.
由题设有1−z =1i =i i 2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，
故选：D
4、已知复数z 满足
1−z z =1−i ，则z =（ ） A ．−25+15i B ．−25−15i C ．25+15i D ．25−15i
答案：D
分析：由已知条件求出复数z ，利用共轭复数的定义可得出结果.
因为1−z z =1−i ，所以，z =12−i =2+i (2−i )(2+i )=25+15i ，因此，z =25−15i . 故选：D.
5、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
答案：C
解析：用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，根据题意，可得|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，
根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.
用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，
因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA
⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，
则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，
因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
6、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A．1B．–1C．2D．–2
答案：C
分析：根据复数为实数列式求解即可.
因为(a−1)+(a−2)i为实数，所以a−2=0，∴a=2，
故选：C
小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
7、若z(1+i3)=i，则在复平面内复数z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
因为z(1−i)=i，
所以z=i
1−i =i(1+i)
2
=−1+i
2
，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
8、设i是虚数单位，则复数z=2i(−2+3i)对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
分析：利用复数的乘法法则化简复数z，由此可得出结论.
∵z=2i(−2+3i)=−6−4i，因此，复数z在复平面内的点位于第三象限.
故选：C.
多选题
9、设复数z 1，z 2满足z 1+z 2=0，则（ ）
A ．z 1=z 2
B ．|z 1|=|z 2|
C ．若z 1(2−i )=3+i ，则z 1z 2=−2i
D ．若|z 1−(1+√3i)|=1，则1≤|z 2|≤3
答案：BCD
分析：由待定系数法先假设z 1=a +bi ，则z 2=−a −bi ，根据共轭复数的概念判断A 选项，根据模长的公式判断B 选项，根据复数的运算法则判断C 选项，根据复数的几何意义判断D 选项.
设复数z 1=a +bi ，由z 1+z 2=0，所以z 2=−a −bi ，
因此：z 1=a −bi ≠z 2，故A 选项错误；
因为|z 1|=√a 2+b 2,|z 2|=√(−a)2+(−b)2=√a 2+b 2，所以B 选项正确；
因为z 1(2−i )=3+i ，所以z 1=3+i 2−i =1+i ，则z 2=−1−i
所以z 1z 2=(1+i)(−1−i)=−2i ，所以C 选项正确；
因为|z 1−(1+√3i)|=1，
根据复数的几何意义可知，复数z 1=a +bi 所表示的点(a,b)的轨迹是以(1,√3)为圆心，1为半径的圆， 则由对称性可知，复数z 2=−a −bi 所表示的点(−a,−b)的轨迹是以(−1,−√3)为圆心，1为半径的圆， 由|z 2|的几何意义表示点(−a,−b)与(0,0)间的距离，由图可知：1≤|z 2|≤3，故D 选项正确；
故选：BCD.
小提示：本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用i 2=−1对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.
10、18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z |=|OZ |，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A ．若|z |=1，则z =±1或z =±i
B ．复数6+5i 与−3+4i 分别对应向量OA
⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为9+i C ．若点Z 的坐标为(−1,1)，则z 对应的点在第三象限
D ．若复数z 满足1≤|z |≤√2，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π
答案：BCD
分析：由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
对于选项A ，设z =a +b i ，只需a 2+b 2=1即可，故错误；
对于选项B ，∵复数6+5i 与−3+4i 分别表示向量OA
⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴表示向量BA
⃑⃑⃑⃑⃑ 的复数为6+5i −(−3+4i )=9+i ，故正确； 对于选项C ，点Z 的坐标为(−1,1)，则z 对应的点为(−1,−1)，在第三象限，故正确；
对于选项D ，若复数z 满足1⩽|z|⩽√2，则复数z 对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为√2的圆环上，故所构成的图形面积为2π−π=π，故正确；
故选：BCD ．
11、对于复数a +b i (a ，b ∈R )，下列说法正确的是（ ）
A ．若a =0，则a +b i 为纯虚数
B ．若a +(b −1)i =3−2i ，则a =3，b =−1
C ．若b =0，则a +b i 为实数
D ．i 的平方等于1
答案：BC
分析：根据复数的相关概念判断即可；
解：对于A ，当a =b =0时，a +b i =0为实数，故A 错误；
对于B ，若a +(b −1)i =3−2i ，则{a =3b −1=−2 解得{a =3b =−1
，故B 正确； 对于C ，若b =0，则a +b i =a 为实数，故C 正确；
对于D ，i 的平方为−1，故D 错误.
故选：BC
填空题
12、已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z
1z 2是实数，则实数b ＝________. 答案：6
分析：化简z
1z 2，利用虚部为零，计算出b 即可.
z 1
z 2＝3−bi 1−2i ＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i 5，
∵z 1
z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6.
所以答案是：6
13、若|z 1|=|z 2|=400，且|z 1+z 2|=400√3，则|z 1−z 2|=___________.
答案：400
分析：根据|z|2=zz̅转化|z 1+z 2|=400√3，可求得z 1z 2̅+z 2z 1̅=4002，同理转化|z 1−z 2|即可求值.
|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(z 1̅+z 2̅)=|z 1|2+|z 2|2+z 1z 2̅+z 2z 1̅=3×4002，又|z 1|=|z 2|=400，
∴z 1z 2̅+z 2z 1̅=4002，而|z 1−z 2|2=(z 1−z 2)(z 1̅−z 2̅)=|z 1|2+|z 2|2−z 1z 2̅−z 2z 1̅，
∴|z 1−z 2|2=4002，则|z 1−z 2|=400.
所以答案是：400
14、设复数z =(1−i 1+i )
2021，其中i 是虚数单位，则z 的虚部是______． 答案：−1
分析：先求出
1−i 1+i ，根据i 4=1，最后算出答案. ∵1−i
1+i =(1−i )2(1+i )(1−i )=−2i 12−i 2=−i ，
∴z =(1−i 1+i )2021=(−i )2021=−i 2021=−i 4×505+1=−i ，
∴z 的虚部是−1．
所以答案是：−1．
解答题
15、已知复数z =2−i (i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程x 2+px +q =0根．
（1）求p,q 的值；
（2）复数w =p +q i ，求复数w
3−4i 的值．
答案：（1）p =−4,q =5；（2）−3225−125i ．
分析：（1）根据实系数方程x 2+px +q =0的虚根是互为共轭复数的，利用韦达定理即可求出答案；
（2）根据复数的乘除法运算即可得出答案.
解：（1）实系数方程x 2+px +q =0的虚根是互为共轭复数的，
所以另一根是2+i，根据韦达定理可得2+i+2−i=−p,(2+i)(2−i)=q，
∴p=−4,q=5
（2）由（1）得w=−4+5i
则w
3−4i =−4+5i
3−4i
=(−4+5i)(3+4i)
(3−4i)(3+4i)
=−32−i
25
=−32
25
−1
25
i.。