曲边梯形的面积PPT课件

上看, 就是用平行于x轴的
o
直线段近似 i1 i nn
1x
y
地代替小曲边梯形的曲
y x2
边.这样,在区间
i
n
1,
i n

上,用小矩形的面积 Si'
o
i1 i nn
1 x 近似地代替Si ,即在局部
y
小范围内"以直代曲",则有
y x2
Si
Si'

f
i
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” 。
y
y x2
o
i1 i nn
1x
方案1 方案2 方案3
根据方案一，分割越细，面积的近似值就 越精确。当分割无限变细时，这个近似值 就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
y y x2
y y x2
思考一：如何求出下列图形的面积？
y
A
从中你有何 启示？

“分割”得到熟悉
o
Bx
的图形
思考二：想一想我国魏晋时期的数学家刘徽是如何 研究圆的面积？
有何 启示
以直代曲
曲边梯形 A B C
下面先研究一个特殊情 形 : 如何求抛物线y x2 与直线x 1, y 0，x轴所围成的平面图形的 面 积S ?
,

,
n
n
1,1
,
o
i1 i nn
1x
记第i个区间为i
1, n
i n
i

1,2,

,n,其长度为
Δx

Hale Waihona Puke i ni1 n

1. n
分别过上述n
1个点作x轴的
垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形如图,
n
它们的面积记作s1,S2,,Sn.显然, S Si .
n n n
n n
可以证y明 x2
12 22 n 12
n 1n2n 1.

1 n3
n
1n2n
6
1
6
o
i1 i nn
1x
从而可得S的近似值S

Sn

1 1 3
1 1 n
1 . 2n
y y x2
y y x2
n
1
x


i

1
2


1
i

1,2,

,
n
.
o
n n i1 i nn
1x
3求和 由2,图中阴影部分的面积Sn 为
Sn

n
Si'
i 1

n

i1
f

i
1x n

n


i1
i

1
2


n

1 n
y
0 1 1 2 1 n 12 1
总结
求曲边梯形面积的方法：
分割
以直代曲
求和
逼近
SUCCESS
THANK YOU
2019/4/23
n i 1
1 n
f
i 1 n
lim 1 1 1 1 1 1. n 3 n 2n 3
探究 在 "近似代替" 中,如果认为函数fx x2 在
区间i
1, n
i n
i

1,2,

,n上的值近似地等于右端点
i 处的函数值 f i ,用这种方法能求出S 的值吗?
y
2近似代替 记f x x2.
如图,当n很大 ,即x很小
y x2
时,
在区间 i
n
1,
i n
上,函数
f x x2的值变化很小,近
o
i1 i nn
1 x 似等于一个常数,不妨认为
y
它近似地等于左端点i 1
y x2
n
处的函数值f i 1.从图形 n
y y x2
y

y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
SUCCESS
THANK YOU
2019/4/23
1分割 在区间0,1上间 y
隔地插入n 1个点,将它等
y x2
分成n个小区间:
0,
n1 ,
1 n
,
2 n

y
y x2
S
o
1
思考 左图中的曲边多边形
与我们熟悉的"直边图形"的 主要区别是什么 ?能否将求 x 这个曲边多边形面积 S 的问 题转化为求 "直边图形"面积 问题 ?
y
"以直代曲"的思想
y x2
S
启发
o
1x
用直边形(比如矩形)逼近 曲边形的方法,求图中阴 影部分面积
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边 梯形
n
n
若能求出,这个值也是1 3
吗?
取 任 意ξ i

i
1, n
i n
处
的函数值fξi 作为近似值,情况又怎样?
可以证明,取f
x

x2在区间i
1, n
i n

上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S

lim
n
n i1
f
ξi
y y x2
y

y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20,等份
上图,可以看到,当n趋向于无穷大,即x趋向于0时,
Sn

1 1 3
1 n
1
1 2n
趋向于S , 从而有
S

lim
n
Sn
lim n
Δx

1 lim f n n
ξi
1. 3
一般地,对如图1.5 1 y 所示的曲边梯形,我们 fb
y fx
也可以采用分割、近 fa
似代替、求和、取极
oa
bx
值的方法求出其面积.
图1.5 1
练习
求直线x 0, x 2, y 0与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积.