2019-2020学年高考数学大一轮复习 13.2直接证明与间接证明试题 理 苏教版.doc

2019-2020学年高考数学大一轮复习 13.2直接证明与间接证明试题
理 苏教版
一、填空题
1．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．
解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝
1n 2＋1＋n ， ∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1<c n .
答案 c n ＋1<c n
2．下列命题：
①三角形中至少有一个内角不小于60°；
②四面体的三组对棱都是异面直线；
③闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点；
④设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a ，b 中至少有一个为奇数；
其中假命题的序号是________．
解析 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．
答案 ④
3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假”)．
解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，
∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．
又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．
答案 真
4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.
其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析 若a ＝12，b ＝23
，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出； 若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2
>2，故④推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；
对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，
反证法：假设a ≤1且b ≤1，
则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，
因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.
答案 ③
5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为________．
解析 ∵
a ＋
b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A ≤B ≤C
6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：
(ⅰ)1] .
解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得
n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n -1).
又∵1*1=1,∴n *1=n .
答案 n
7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．
解析 首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.
要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .
答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b
8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上
的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析 通过观察所给的结论可知，若f (x )是偶函数，则导函数g (x )是奇函数． 答案 －g (x )
二、解答题
9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明． 解 A 、B 、C 成等差数列．
证明如下：
∵
1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴
a ＋
b ＋
c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3. ∴c
a ＋
b ＋a b ＋
c ＝1，
∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，
∴b 2＝a 2＋c 2
－ac .
在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12
， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°.
∴A ＋C ＝2B ＝120°.
∴A 、B 、C 成等差数列．
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；
(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝
a n a n ＋t ，问是否存在正整数t ，使得
b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，
得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.
(2)假设存在正整数t .由(1)知b n ＝
2n －12n －1＋t ， 要使b 1，b 2，b m 成等差数列；
则需2b 2＝b 1＋b m ，
即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理，得m ＝3＋4t －1
. 当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.
故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．
11．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)设a >0，证明：当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x ； (3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：
f ′(x 0)<0.
(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－x ＋ax －x .
①若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1a 时， f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x ， 则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ，
g ′(x )＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x <1a
时，g ′(x )>0， 而g (0)＝0，∴g (x )>0，
故当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x . (3)证明 由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点．
∴a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a >0. 不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a
<x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1a －x 1> f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －⎝
⎛⎭⎪⎫1a －x 1＝f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a
. 由(1)知f ′(x 0)<0.。