小题巧解,夺秒争分——年宝鸡市金台区高三质检(三)数学客观题解法及命题意图初探

小 题 巧 解， 夺 秒 争 分
——2009年市高三质检（三）数学客观题解法及命题意图初探 大家知道，高考数学试卷中的客观题（选择题、填空题），一直以覆盖面较广，形式灵活多样，易于考查学生的数学能力，提高整份试卷的选拔性（效度）受到命题人的青睐和广大考生的喜爱.解客观题的一般要求是“不择手段”，直奔主题，小题巧解，争秒夺分，也为解答题留出足够的答卷时间.相反，如果在考试时把客观题当解答题做，就会在时间上吃亏. 现以2009年宝鸡市高三质量检测（三）中客观题为例，从探讨命题意图入手，谈谈破解客观题的一些基本思路，提供个人一点反思，以期对大家有所启发.
一、特值验证，心算得解
例1. （理科1）已知集合A={}1,4,x ，{}21,B x =，则x =2是 B A Ø的
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析与解】：本题考查充要条件、子集等核心数学概念与心算能力. 解题时不用动笔，心算可得结论. 将2x =代入两个集合可知其为充分条件，列式（也可不列），只要知道x 还有其它值（不必解出）即可作出判断.
（理科11）. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n A ,n B 若存在不小于3的正整数0n ，使0n n A A ≤，0n n B B ≥对一切自然数n 都成立，则
A. 00n n a b >
B. 0011n n a b ++>
C. 0012n n a b ++>
D. 001n n a b ->
【分析与解】：本题考查等差数列的概念和综合分析问题的能力以及特值验证和抽象推理的解题方法. 解题思路一般有两种
①分别判断两个数列首项、公差的符号. 由0n n A A ≤可知{}n a 是首项为负数，公差为正数的等差数列，从第01+n 项开始，其余项为正数；同理，{}n b 是首项为正数，公差为负数的等差数列，从第01+n 项开始，其余项为负数.
②特值法. 由“0n n A A ≤，0n n B B ≥对一切自然数n 都成立”得等差数列
{}{},n n a b 分别为递增、递减数列，因此构造等差数列{}{},n n a b 分别为“3,2,1,0,1,---”与“3,2,1,0,1,-”，可得结果.本题也可看成等差数列前n
项和求最大值（或最小值）问题的两个一般化结论. 类似的问题在等差数列部分比较多，只是平时很少给出一般化的结论.
二、活用概念，抓住要点
例2. （理科2）已知a 为实数，若复数112
a i i +++的虚部为2，则a 的值是 A.1- B.3- C. 2 D.2-
【分析与解】：本题考查复数的基本概念与基本计算能力. 解题的关键是运用复数概念，抓住“虚部为2”这个要点，化简直接得到
122
a -=（不用再整理实部），解（或不解观察选项）可得结论.
（理科6）. 若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法一定正确的是 A. )(x f 在0x x =处有意义 B. a x f =)(0
C. )(x f 在0x x =处可以无意义
D. )(x f 在0x x =处的左右极限可以不相等
【分析与解】：本题主要考查极限的概念及联想、归纳的数学能力.
注意到A 、C 两个选项的结论基本相反，于是选择范围可以缩小，联想极限概念可得结论.
（文科6）. 已知()y f x =存在反函数，且(1)y f x =-的图象过（2，2），那么下列函数中，可能是()y f x =的反函数的是
A. y ＝1＋24x - （0≤x ≤2）
B. y ＝1－24x - （－2≤x ≤2）
C. y ＝2－24x - （0≤x ≤2）
D. y ＝24x - （0≤x ≤2）
【分析与解】：本题考查函数和反函数的概念、原函数与反函数图像的对称关系，考查观察能力、逻辑思维能力.
将（2，2）代入(1)y f x =-得2(1)=f ，从而()y f x = 的反函数必过点（2，
1），可排除C 、D. 由函数存在反函数条件定义域与值域一一对应，可以排除选项B ，只有A 符合条件.
三、数形结合，画图得解
例3. （理科3） 圆()()22
111x y -+-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程是
A. ()2
221x y +-= B. 221x y +=
C. ()2221x y -+=
D. ()()22221x y -+-=
【分析与解】：本题考查圆的标准方程（能由标准方程迅速找出圆心及半径）、对称问题（线对称）等重要数学概念及作图能力、数形结合的解题方法、解选择题的排除法.
解答本题只要画出草图（只需画出圆心及其关于直线10x y -+=的对称点），可迅速排除后三个选项. 或者依据关于轴对称两点的中点在对称轴上，只要能找到圆心坐标，此题可解. 如果求出圆心对称点的坐标再判断，计算量就加大了.
（理科10）. 若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，则△ABC 的重心，内心，外心，垂心的轨迹不可能是
A.点
B.线段
C.圆弧
D.抛物线的一部分
【分析与解】：本题考查三角形“四心”的概念和求轨迹的一般方法. 数形结合，画图逐一观察. 因△ABC 为直角三角形，显然垂心的轨迹只能是直角顶点；内心因为横、纵坐标始终相等，其轨迹必为线段；重心与外心轨迹可以求出，均为圆的一部分. 四、运用模型，判断个数
例4.（理科4） 如图，在正方体ABCD —1111A B C D 中，连接BD, 1B D ,1B C 则 四面体1B —BCD 的各表面所成的二面角中直二面角的个数
为
A.1个
B.2个
C.3 个
D.4个
【分析与解】：本题考查线面垂直、二面角、面面垂直等
立体几何中的重要概念，最重要、最基本的模型——正方体；对正方体模型的熟悉程度对解题很重要. 如果逐一计算，那就不是做选择题了.
通过连线，注意到平面△1B BD 就是正方体的截面B 1BDD 1, 平面△B 1CD 就是正
方体的截面A 1B 1CD ，观察可得. 或者依据“l α⊥平面，则过直线l 的平面α⊥平
面”，注意到1BB BCD ⊥平面，11DC B CC ⊥平面，可得结果.
（理科16）. 5名参加社会实践活动的同学，被安排去清除3个公交车站站牌上的垃圾广告（每站都要去人）其中甲车站的站牌这种广告较多至少需要两个
1
人完成，则不同的分配方案共有_______.（用数字作答）
【分析与解】：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，计算量不大，但知识与方法的含量高，是排列组合部分一道典型的复习题.
先从有限制条件的元素入手，分类讨论求解. 答案： 80种.
五、变式变换，分析差异
例5.（理科5） 要得到函数1sin 62y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可将函数1sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象作如下变换
A. 向左平移6π
B. 向右平移6π
C. 向左平移3π
D. 向右平移3
π 【分析与解】：本题考查三角函数图象变换的概念，以正弦函数为背景考查函数图像的平移变换，藉此考查化归转化的数学能力.
解此题可以画出简图，分析两个图形的差异得解；也可以将所给函数分别变形为1sin 2y x =-与1sin ()23
y x π=--，或者也可由平移时x 的系数必须为1，变形为1sin[()]23
y x π=--与1sin()2y x =-，比较两者之间的不同点，得到结论. （理科8）. 已知()()log log 2,01,01a b f x a x b x a a b b =++>≠>≠且且，且
()85f =，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于 A.－5 B.－3 C.－1 D.3
【分析与解】：本题考查对数的概念和性质、运算能力（变式求值）、整体代入的解题方法.由已知可得l o g 8
l o g 8a b a b ++=，变式即
11log log 2()88a b a b f ++=，两式相加即得. （理科13）. cos17cos 43sin17cos133+= .
【分析与解】：本题考查两角和的余弦公式、诱导公式、特殊角三角函数值等数学基础知识，并考查观察与变形转化的能力. 原式1cos17cos 43sin17sin 43cos 602
=-==，由已知中的17与43，可以联想到特殊角60，从而不用列式，心算可得结果. 答案：12
.
六、多方观察，筛选答案
例6（理科7）. 如果实数x ，y 满足2cos ,22sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩则y z x =的取值范围是 A. 80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []0,2 C. []2,2- D. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析与解】：本题主要考查三角函数的值域、直线的斜率、圆的参数方程等数学概念及数形结合、代入消元、转化化归等数学思想和运算能力及逻辑思维能力.
①首先注意到0Z >，可以排除C 、D ，其次可以考虑z 会不会为83
，得到答案（会则答案为A ，否则答案为B ）. 由sin cos +θ=+θ22823
整理得sin cos θ-θ=345，至此已可得出结论，因为再整理可得sin()θ-ϕ=1，这是三角函数部分高考的一个热点(sin cos a b θ+θ型问题)，但本题显然没有必要整理到这一步.②也可转化为过点(,)21、点(cos ,sin )-θ-θ（实际上是单位圆上的点）直线斜率（2倍）的取值范围问题.
（理科9）. 已知平面上两两不共线的向量a ，b ，c ，满足0a b c ++=，且20a a c +⋅=.则以a ，b ，c 为边的三角形一定是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【分析与解】：本题考查向量的概念和基本运算及消元的数学思想. 如直接解，可由20a a c +⋅=得()0⋅+=a a c ，即()0⋅-=a b ，得a ，b 垂直；
也可由a +b +c =0
得 2222b a ac c =++，与已知中另一等式联立可得a b c +=222.
如采用间接解法，可由选项出发，举特例逐一检验.
(文科4).不等式101x x
->+的解集是 A. (-∞,1) B. (-1,1) C. ()(),11,-∞-+∞ D.(-1,+∞)
【分析与解】：本题属于容易题，考查分式不等式的解法.
观察选项特征，选x =2可迅速排除C 、D 选项，选x =-2可排除A ，不须书写，心算可得答案. 也可利用根轴法求解，或者转化为一元二次不等式求解，但
速度就慢了. 解选择题中的特殊值法. 从答卷统计看，边缘生有近7%做错了此题，值得注意.
（文科5） . 抛物线24x y =的准线方程是 A.18x = B.116
x =- C. 1y = D. 1y =- 【分析与解】：本题考查抛物线的概念（准线、图形）和解选择题的排除法，①由24x y =可知图像关于x 轴对称，且x 的值非负，因此图像只能在一、四象限，准线只能位于三、四象限，且与x 轴垂直，观察选项，不必算出系数，只有B 符合条件. ②化为标准方程，由22144
x y y x =⇒=，依据抛物线标准对应准线得结论.因为选项也是条件. 边缘生有近30%做错了此题，说明对于圆锥曲线部分基础知识的掌握还不扎实.
七、运用机智，巧妙解题
例7（理科12）. 足球是由边长都是4cm 的12块正五边形和20块正六边形皮革缝制而成，如果用与足球同体积的容器装满水，则水的重量大约是（参考数据：sin 540.8≈）
A. 1kg
B. 2kg
C. 4kg
D. 8kg
【分析与解】：本题主要考查数学应用意识和球的基本概念，重点考查估算能力和灵活运用数学知识解决实际问题的能力.
①凭籍个人实际经验，由足球大小估算半径，近似计算得答案.②设而不求，整体代入，最后带入数字计算. 将正五边形化为五个小三角形，正六边形化为六个小三角形，π在最后可取 3.1， 有些数字在计算时可以适当变化.略解如下，可以体会其中减少计算量的处理办法：
∵S R S S =+=π2五球六12204 ∴ R =
∵S S 18=≈5⨯⨯⨯=23五五小80543 ， S S 1==6⨯⨯=22六六小64
∵ S .S +=+>+⨯=五六35808012017284
∴R =>>=>9
∴V R =π343S (S +=ππ五六3543>⨯⨯9=340842843. （理科14）. ()()3411x x +-展开式中6x 项的系数为_______.
【分析与解】：本题考查二项式定理的基础知识和观察与变形转化的能力.解题方法有多种：比较巧的解法是，通过变形，心算得出结果，
原式()()()()()3
33211111=+--=--x x x x x ，可以看出6x 项的系数必为1-. 要知道，类似求两个二项式乘积中某一项系数的题目及变形技巧在高考中曾多次出现；
一般的解法，也可将本题看成排列组合应用题去处理，所求的结果相当于从()x +31与()4
1-x 中分别取出若干个x （含系数），组合成x 6，系数显然是()()C C C C -+-=-2443333434111，这种方法具有一般性，可以减少运算量； 最慢的方法是写出两个二项式展开式的所有项，逐项相乘，整理化简得出结果，计算量大，且容易出错.
八、分析特征，化归求解
例8 （理科15）.已知函数()()11,.f x ax g x x x
=+=+若不等式()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________.
【分析与解】：本题以函数恒成立问题载体，考查二次函数等知识和基本变形转化的运算能力.这些都是高考常考不衰的热点.
由于“()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立”等价于“2111a x x ≤+
-对一切正实数x 都成立”，所以对正实数x 只要 211[1]a x x
≤+
-最小值即可.答案： 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 值得注意的是恒成立问题是高考热点之一，学生掌握不太理想要加强.例如本题据统计是学生填空题中得分率最低的一道题.
（文科15）. 点(0,0)和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 ．
【分析与解】：本题考查线性规划、解不等式等数学基础知识.
将已知两点的坐标分别代入直线方程，解不等式()(2)0--<a a 可得答案：(0,2)∈a .
线性规划是近年高考必考知识点，本题从点与直线位置关系角度命题，对学生而言比较新颖. 考查逻辑思维能力、计算能力.
再次反思，得益良多：
1、教师讲客观题不要简单地对答案，同样的答案，可能解法截然不同，所用时间差异很大，因此要让学生充分暴露思维过程，在寻求每道题的最优解上多想办法，这也是提高学生思维灵活性的一个重要途径.
2、要培养学生做选择题时多想少写、跳步解答、利用选项所给条件大胆猜测的解题习惯，千万不可把选择题当成填空题或解答题来做. 要特别注意选项之
间的联系与区别，通过逻辑推理加快解题速度，如理科第7题，选项A. 是,⎡⎤⎢⎥⎣⎦
803，选项B 是[]0,2，如果2成立，无法排除选项A ；如果2不成立，则可以同时排除
选项A 与B ，因此只能从83
入手. 理科第9题与此类似，选项C 是直角三角形，选项D 是等腰直角三角形，显然，D 若正确C 也可能正确，D 若不正确C 也必然不正确，据统计，成绩中等偏上的学生有35%选择了D ，离正确答案只差一步之遥，非常可惜.
3、要让学生清楚：会做题不等于做的快，不等于做的准. 对中等程度的学生而言，放弃一两道难度过大的客观题，不失为一种明智的选择.
4、要鼓励学生平时解客观题时一题多解. 复习的目的不是做题，是为了复习所学知识、熟练掌握解题方法. 同一道题采用不同的方法去解答，表面上看是解题思路与方法的差异，实质上可以从不同的角度对不同的知识与方法进行复习，解一道题能复习更多的内容，何乐而不为呢？。