高三数学(理科)摸底 考试参考答案及评分标准

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学〔理科〕摸底考试参考答案及评
分标准
一、解答部分给出了一种或者者几种解法供参考，假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察
内容比照评分标准制定相应的评分细那么．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假设后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解容许给分数的一半；假设后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题答案BACCADBA 二、填空题9.甲；10.64；1；12.4
3
；13.2-；14.14；15.
5
三、解答题
16.解：〔Ⅰ〕0sin 2cos =+αα，即ααsin 2cos -=------------------2分
又
παπ
<<2
，∴0sin ≠α
∴4
5sin 2sin 2sin 4sin cos sin 2cos 2sin =++=--αααααααα------------------4分 〔Ⅱ〕由⑴知，αα
sin 2cos -=，
παπ
<<2
，又1cos sin 22=+αα-------5分
∴5
52cos ,55sin -==αα------------------7分
53sin =
β，
πβπ
<<2
∴ββ2
sin 1cos --=545312
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=------------------9分
5
5
535554552=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
=------------------12分
17.解法一：
〔Ⅰ〕证明PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCD
PAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⊥, ------------------3分
又
PAB AB 平面⊂，∴PAB PAD ⊥平面平面------------------5分
〔Ⅱ〕解：取AD 的中点F ，连结PF,CF------------------6分
PAD ∆是正三角形PF AD ∴⊥，而平面ABCD ⊥平面PAD ，交于AD PF ∴⊥ABCD
∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，
∴ABCD PC PCF 与底面是直线∠所成的角------------------8分 设
2,AD a =那么3,5,PF a CF a ==
在5
15
tan ==
∆CF PF PCF PCF 中，
,------------------9分
即直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是
5
15
------------------10分
〔Ⅲ〕解：设点D 到平面PBC 的间隔为h
∵BCD P PBC D V V --=
∴PF S h S BCD PBC
•=•∆∆------------------11分
在2==∆PC PB
PBC 中，易知∴4
7=
∆PBC S ------------------12分
又23,21==∆PF S BCD
∴7214
7
2321=⨯
=h ------------------13分
即点D 到平面PBC 的间隔为
7
21------------------14分
解法二：
〔Ⅰ〕证明：建立空间直角坐标系xyz D -
，如图------------------1分
不妨设
)23,0,21(),0,1,1()0,0,1(-P B A 则13
(0,1,0),(2AB PA ==------------2分
由PA AB PA AB ⊥=•得0------------------3分
由AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥------------------4分
又
PAB AB 平面⊂
∴平面PAD PAB 平面⊥------------------5分
〔Ⅱ〕解：取AD 的中点F ，连结PF,CF ∵AD PF
ABCD PAD ⊥⊥，且平面平面,
∴ABCD PF
平面⊥------------------6分
∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，
∴所成的角与底面是直线ABCD PC PCF ∠------------------7分
易知)0,0,21(
),0,1,0(F C ∴)23,1,21(-=CP ，)0,1,2
1
(-=CF
10cos ,4
CP CF CP CF CP CF
•<>=
=
•------------------8分
∴615
tan ,4510
CP CF <>=
=
------------------9分 ∴直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是
5
15
------------------10分
〔理〕〔Ⅲ〕同解法一
18.(此题满分是是12分)
解法一：
---=.------------------1分
(Ⅰ)甲运发动击中10环的概率是：10.10.10.450.35
设事件A表示“甲运发动射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)〞，
P A=+=------------------2分
那么()0.350.450.8
事件“甲运发动在3次射击中，至少1次击中9环以上〞包含三种情况：
恰有1次击中9环以上，概率为p1=C13·0.81·(1-0.8)2=0.096；
·0.82·(1-0.8)1=0.384；
恰有2次击中9环以上，概率为p2=C2
3
·0.83·(1-0.8)0=0.512．------------------4分
恰有3次击中9环以上，概率为p3=C3
3
因为上述三个事件互斥，所以甲运发动射击3次，至少1次击中9环以上的概率
p=p1+p2+p3=0.992．------------------6分
(Ⅱ)记“乙运发动射击1次，击中9环以上〞为事件B，那么P(B)=1—0.1—0.15=0.75．------------------7分
因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2.----------------8分
因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；
P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．-----------------10分
所以ξ的分布列是
------------------11分
所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=5．------------------12分
解法二：
设事件A表示“甲运发动射击一次，恰好命中9环以上〞(含9环，下同)，那么P(A)=１－0.1－0.1=0.8．------------------1分
〔Ⅰ〕甲运发动射击3次，均未击中9环以上的概率为
P0=C 0
3·0.80·(1-0.8)3=0.008．------------------4分
所以甲运发动射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P0=0.992．------------------6分 〔Ⅱ〕同解法一．
19.解：(Ⅰ)
323)(2'--=ax x x f 0≥在),1[+∞∈x 上恒成立,------------------2分
即)1
(232332x
x x x a -=-≤
在),1[+∞∈x 上恒成立,------------------3分 得0≤a
.------------------5分
(Ⅱ)
0)3
1
('=-f 得a =4.)3)(13(383)(2'-+=--=x x x x x f ------------------6分
在区间]4,1[上,)(x f 在]3,1[上为减函数,在]4,3[上为增函数.---------------8分
而
6)1(-=f ，12)4(-=f ，所以6)(max -=x f .------------------10分
(Ⅲ)问题即为是否存在实数b ，使得函数bx x x x
=--3423
恰有
3个不同根.------------------11
分
方程可化为0)]3(4[2
=+--b x x x
等价于0)3(42
=+--b x x
有两不等于0的实根------------------12分
30-≠>∆b 且------------------13分
所以3,7-≠->b b
------------------14分
20.解：〔Ⅰ〕设椭圆的标准方程为),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+，------------------1分 依题意知直线AB 的斜率存在，故设直线AB ：y=k 〔x+4〕------------------2分 因圆94)
2(22
=
+-y x 的圆心为〔2，0〕，半径3
2=r ，又因为直线AB 与圆相切 所以，圆心为〔2，0〕到直线AB 的间隔为3
2
1
|
402|2=
++-=
k k k d
------------------3分 解得5
41,5
4121
-
==
k k 或〔2k 为直线AC 的斜率〕
所以直线AB 的方程为
)4(5
41+=
x y ，------------------4分
又因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，所以B 点横坐标为3
8322=+
=B
x ， 把3
8
=
B
x 代入直线AB 的方程解得35=
B y ，)3
5
,38(
B ∴------------------5分 把A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪
⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧=+=-1)35()3
8(1)4(2
22
n m m ，解得m=16，n=1----------6分 所以椭圆的标准方程为116
22
=+y x .------------------7分 (Ⅱ)依题意设点M )sin ,cos 4(θθ，那么圆心〔2，0〕与点M 的间隔为
θ
θ22sin )2cos 4(+-=d ------------------8分
那么切线长2
2r d l
-=，
而l ==≥，------------------10分
当15
8
cos =
θ
时，min l ==，------------------12分 此时15
161
sin ±
=θ，从而点M
的坐标为32(
,15------------------14分 解法二：(Ⅰ)因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，且ABC ∆的内切圆方程为9
4
)2(22
=
+-y x ，所以B 点横坐标为3
8
322=+
=B
x ，
如图，由三角形内切圆的性质知
ADB Rt ∆∽ANM Rt ∆
∴
AM
AB
MN BD =
即
6
)384(3
22
2B
B
y y ++=，从而
3
5=
B y )3
5,38(B ∴------------------3分
当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，那么将
A(-4,0)，)3
5
,38(
B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(22
222
2
b a a ，解得2a =16，2
b =1 所以椭圆的标准方程为116
22
=+y x .------------------5分 当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
x a y ，那么将A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1
)3
8()35(1)4(22
222
2
b a b ，解得2b =16，2a =1710与0>>b a 矛盾----------6分 综上所述，所求椭圆的标准方程为116
22
=+y x .------------------7分 (Ⅱ)依题意设点M ),(y x ，那么圆心〔2，0〕与点M 的间隔为
2
2)2(y x d +-=------------------8分 那么切线长2
2r d l
-=，
而45
134513)1532(161594)2(222≥+-=-
+-=x y x l
，------------------10分
当15
32
=
x 时，15654513min ==l ，------------------12分
此时
15
161±
=y ，从而点M 的坐标为)15
161,1532(
±------------------14分 .21.证明〔Ⅰ〕212104)64(21
+++++=
++n n a n a n n 1
2)
2)(64(+++=
n a n n ， 12)
2(23221++⋅=++∴
+n a n a n
n ． 令1
22
++=
n a b n n
，那么n n b b 21=+．……………………………………………………2分 3
2
1+=
a b ， 当2-≠a
时，01≠b ，那么数列}1
22
{
++n a n 是等比数列，且公比为2．………………4分 112-⋅=∴n n b b ，即
1
23
2122-⋅+=++n n a n a ．
解得223
)12)(2(1
-⋅++=
-n n
n a a 〔n N +∈〕
〕．………………………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当1=a
时，22)12(1-⋅+=-n n n a ，
n n S n n 22)12(2725312-⋅+++⋅+⋅+=- ．
令122)12(27253-⋅+++⋅+⋅+=n n
n T ，………………………① 那么n n n
n n T 2)12(2)12(2523212⋅++⋅-++⋅+⋅=- ，…………②
由①-②：n n n
n T 2)12()222(2312⋅+-++++=--
12)21(-⋅-=n n ，
12)12(+⋅-=∴n n n T ，……………………………………9分
那么n T S n n
2-=)12)(12(--=n n ．………………………………10分
n n n n n n n C C C C ++++=-1102 ，
∴当3≥n 时，01122(1)n n n
n
n n n C C C C n -=+++≥+，那么1212+≥-n n ．…12分
)12)(12(+-≥∴n n S n ，那么
)1
21121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．……13分 因此，
)]1
21121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 10
1)12151(21<+-=
n ．………………………………14分。