【备考】(新课标)高考数学 考点汇总 考点8 函数与方程、函数模型及其应用(含解析)

考点8 函数与方程、函数模型及其应用
一、选择题
1. （2014·湖南高考理科·Ｔ10） 已知函数2
21
()(0)()ln()2
x
f x x e x
g x x x a =+-
<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ( )
A
．(-∞ B
．(-∞ C
．( D
．( 【解题提示】利用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，利用函数图象平移求解。

【解析】选B.解法一：由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()02
2
0001ln 2
x x e x x a +-
=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001
ln 2
x e x a --+-趋近于-∞,因为函数在
定义域内是单调递增的,
所以ln a a <⇒<。

解法二：
由已知设()0,0x ∈-∞，满足()()02
2
0001ln 2
x x e x x a +-
=-+-+， 即()[]a x e x
--=-ln 210，构造函数()=x h ()()()0ln ,2
1<-=-x x x e x ϕ，
画出两个函数的图象，如图，当()()()0ln <-=x x x ϕ向右平移a 个单位，恰好过点(
)2
1
,0时，得到
()e e a a ===21
,2
1
ln ，所以e a <。

2、（2014·上海高考文科·Ｔ18）
111222112212121212(,),)1(1,1
,.,,,P a b P a b y kx k a x b y a x b y P P B P P P P P P =++=⎧⎨+=⎩已知与（是直线为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是（ ）.
A.无论k,如何，总是无解 无论k,如何，总是唯一解C.存在k,，使之恰有两解 D.存在k,，使之有无穷多解
【解题提示】通过消元法解方程组，可得y 的关系式，结合1122,,a b a b ，之间的关系，可把y 求出来，代入可得x 的取值. 【解析】
()11221112
21222121212112212121121,11(1)1(2)
(1)(2)-=,,1,,,b ka b ka a x b y a a x a b y a a x b y a a x a b y a a b a b y a a a a y a a y x k P P B
=+=+*+=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩--*-=-==-根据条件有，（）
方程组，可变为得，（）将式代入得：
即所以无论k,如何，总是唯一解
答案：
3. （2014·山东高考理科·Ｔ8）
已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A 、1(0,)
2 B 、1
(,1)2
C 、(1,2)
D 、(2,)+∞
【解题指南】 本题考查了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再利用数形结合确定k 的范
围.
【解析】选
B.
先作出函数的图像，由易知，函数()()kx x g x x f =+-=，12的图像有两个公共点，由图像知当直线介于x y l x y l ==:,2
1
:21之间时，符合题意，故选B. 二、填空题
4.（2014·福建高考文科·Ｔ15）15．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0
,ln 620
,22x x x x x x f 的零点个数是_________
【解题指南】分段函数分段处理． 【解析】令2
20x -=
，解得x =
x =
令26ln 0x x -+=，即ln -2+6x x =，如图3，在0x >的范围内两函数有一个交点，即原方程有一个根．
综上函数()f x 共有两个零点． 答案：２．
5. （2014·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于0c >，当非零实数,a b 满足2
2
4240a ab b c -+-=且使2a b +最大时，
345
a b c
-+的最小值为________
【解析】令2a b m +=，则2b m a =-，代入22
4240a ab b c -+-=整理得
22241840a ma m c -+-=，
由于a 存在，所以方程2
2
241840a ma m c -+-=有解， 即22(18)424(4)0m m c ∆=--⨯-≥
，整理得2
85c m m ≤
⇒≤
从而2a b +
22
241840a ma m c -+-=有相等实根， 解得3,8m a =．从而4m b =，2
58
m c = 所以2
23458168118222a b c m m m m ⎛⎫
-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭
答案：2-
【误区警示】抓住“2a b +取得最大值”这一关键，寻求取得最值时,,a b c 间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清
6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于0c >，当非零实数,a b 满足
22420a ab b c -+-=且使2a b +最大时，
124
a b c ++的最小值为________ 【解析】令2a b m +=，则2b m a =-，代入2
2
420a ab b c -+-=整理得
221260a ma m c -+-=，
由于a 存在，所以方程2
2
1260a ma m c -+-=有解，
即22
(6)412()0m m c ∆=--⨯-≥
，整理得24m c m ≤⇒≤从而
2a b
+
的最大值为22
1260a ma m c -+-=有相等实根， 解得
,4m a =．从而2m b =，2
4m c =
所以2
21244416111611
2a b c m m m m ⎛⎫
++=++=+-≥- ⎪⎝⎭
答案：1-
【误区警示】抓住“
2a b
+取得最大值”这一关键，寻求取得最值时,,a b c 间的关系，减少变量个数，防
止由于多个变量纠缠不清 三、解答题
7. （2014·辽宁高考理科·Ｔ21）（本小题满分12分）
已知函数8
()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π
=--+-.
证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（Ⅱ）存在唯一1(
,)2
x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x ，有01x x π+<.
【解析】证明：（Ⅰ）当(0,)2x π
∈时，2
()(1sin )(2)2cos 03
f x x x x x π'=-++--< 函数()f x 在(0,
)2π
上为减函数，()28
1600,03
23f f πππ⎛⎫
=->=--< ⎪⎝⎭
，所以存在唯一0(0,)2x π∈，
使0()0f x =； （Ⅱ）考察函数()()3cos 24ln 3,,1sin 2x x h x x x x ππππ
-⎛
⎫⎡⎤
=
--
∈ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦
令t x π=-，则,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 记()()3cos 24ln 11sin t t t u t h t t ππ⎛⎫
=-=-+ ⎪+⎝⎭
.则()()()()321sin f t u t t t π'=
++ 由（Ⅰ）当()00,t x ∈时，()0u t '>；当0,
2t x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0u t '<； 可见在()00,x 上，()u t 为增函数，而()00u =，因此当()00,t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在()00,x 上无零点.在0,
2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上，()u t 为减函数，而()00u x >，4ln 202u π⎛⎫
=-<
⎪⎝⎭
，则存在唯一的10,2t x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使
得()10.u t =所以存在唯一的10,2t π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
使得()10.u t = 因此存在唯一的11,2x t πππ⎛⎫=-∈
⎪⎝⎭
， 使得()()()1110.h x h t u t π=-== 当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时， 1sin 0x +>，则()()()1sin g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在惟一的
1
, 2
x
π
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，使()10
g x=.因为
11
x t
π
=-，
10
t x
>，所以
01
x xπ
+<。