江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试 数学(理)
2014-2015年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为个．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝．14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．【解答】解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max＝f（1）＝1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心为C（2，﹣1），半径r＝2，∵点C到直线直线x+2y﹣3＝0的距离d＝＝，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为2＝2＝故答案为：．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为（0，）．【解答】解：y′＝1+lnx，令，又因为函数y＝xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y＝xlnx的单调减区间为故答案为：6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是﹣1．【解答】解：设切点为（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∵直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，∴＝1，即x0＝1，∴lnx0＝ln1＝0，把切点（1，0）代入y＝x+b，得0＝1+b，即b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是＝1．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，∴，解得a＝9，b＝16，∴双曲线C的方程为：＝1．故答案为：＝1．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为0个．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝；故x∈（0，）时，f′（x）＜0；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）≥f（）＝﹣ln＞0；故函数f（x）＝x2﹣lnx没有零点；故答案为：0．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故答案为：．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝﹣1．【解答】解：由题意，x1x2+y1y2＝∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB＝120°，∴＝＝＝﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为[e﹣2，+∞）．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max＝g（e）＝e﹣1，令f'（x）＝0，∵a＞0，x＝±当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min＝f（1）＝1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，∴f（x）min＝f（）＝≥e﹣1 恒成立；当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）min＝f（e）＝e+≥e﹣1 恒成立综上a≥e﹣2故答案为：[e﹣2，+∞）12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围≤a≤4+．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣1，2）为圆心、半径等于的圆．设M（x0，y0），则由MA＝MO，A（0，a），O（0，0），可得（x0﹣0）2+（y0﹣a）2＝2（x02+y02），即3x02+3y02+2ay0﹣a2＝0，即x02+（y0+a）2 ＝2a2．则M在以（0，﹣a）为圆心，r＝a为半径的圆上．又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r﹣|≤d ≤r+，即|a﹣|≤≤a+，即，求得≤a≤4+，故答案为：．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝1或2．【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则，此时当x＝时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|；此时当x＝3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜≤4，则，此时当x＝6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，∴解得c＝1或2．故答案：1或214．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．【解答】解：由焦距为2，则c＝1，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1，则6（a﹣c）＝a+，代入c＝1，解得，a＝2或3，由于离心率e＜，则a＞2c＝2，则a＝3．则l：x＝﹣9，设P（﹣9，y），（y＞0），则MF1|＝8，|MF2|＝10，则tan∠F1PF2＝tan（∠F2PM﹣∠F1PM）＝＝＝≤＝．当且仅当y＝即y＝4时，取得最大值．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；当a＝1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1≤a≤2；∴实数a的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．【解答】解：（1）由题意得，y＝1•x+1•sin（﹣x）×2＝x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；函数的定义域为{x|0＜x＜}；（2）y′＝1﹣2cos（﹣x），令y′＝0解得，x＝，故当x＝时，观光路线总长最大，最大值为+2×＝+（km）．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．【解答】解：（1）由题意可得点C和点M（﹣2，﹣2）关于直线x+y+2＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由•（﹣1）＝﹣1，且++2＝0，求得，故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r＝，故圆的方程为x2+y2＝2．（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣1＝k（x﹣1），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣1）．由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2＝0，因为P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x A＝．同理，所以x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，f′（x）＝﹣2x+1＝，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，等价为a≥在x＞0恒成立．令g（x）＝，只需a≥g（x）max，g′（x）＝，令g′（x）＝0，可得﹣x﹣lnx＝0，设h（x）＝﹣x﹣lnx，h′（x）＝﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）＝0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，即有g（x）max＝g（x0）＝＝＝，由h（）＝ln2﹣＞0，h（1）＝﹣＜0，则＜x0＜1，此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），即a≥2，则有整数a的最小值为2．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．【解答】（1）解：由已知可得，解得．∴b2＝a2﹣c2＝2，则椭圆方程为；（2）①解：由•＝0，得MB⊥AB，可设M（2，t），P（x0，y0）．直线MA：，代入，得．由，得，从而，∴•＝；②证明：依题意，，由MQ⊥PB，得，则MQ的方程为：y﹣t＝（x﹣2），即y＝，∴直线MQ过原点O（0，0）．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），由＝，＝得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．【解答】解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y＝4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d＝＝≥＝，当且仅当sin（θ+）＝1，即θ＝2kπ+时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝，∴P（，）．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，所以，设AF＝x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得令z＝1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y＝kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二下学期第二次质检数学(理)试卷 Word版含解析
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 ． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 ． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 ． 10．已知﹣=，则C8m=． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 ． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 ． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3} ． 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1， ∴B={x|x≥1或x≤﹣1}， ∵A={﹣1，0，，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19号 ． 考点：系统抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号， 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45=x+32， x=6+45﹣32=19 因此，另一学生编号为19． 故答案为：19号． 点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案． 解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数， 则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3） （2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种， 则事件A包括： （1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种， 即P（A）=， 故答案为：． 点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ． 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出． 解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件， k=2，S=2，不满足退出循环的条件， k=3，S=6，不满足退出循环的条件， k=4，S=15，满足退出循环的条件， 故输出的k的值为4． 故答案为：4 点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率． 解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b， 对应的面积是2×1=2， 满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径， 即， ∴4a≥3b， 在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分， ∴要求的概率是=， 故答案为： 点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 2 ． 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模． 专题：计算题． 分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值． 解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹． 所以|z|最大值为2； 故答案为：2 点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 6 ． 考点：极差、方差与标准差． 专题：概率与统计． 分析：根据平均数和方差的公式的性质求解． 解答：解：设样本x1，x2，…，xn的平均数为，即=（x1+x2+…+xn ） 则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3xn+5 ）=×3（x1+x2+…+xn ）+5=3 +5； 由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2] 可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的方差为样本x1，x2，…，xn的方差的32=9倍， 即9×4=36， 则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的标准差为=6． 故答案为：6． 点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2k ． 考点：数学归纳法． 专题：计算题． 分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可． 解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为； 由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k． 故答案为2k． 点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 55 ． 考点：二项式定理的应用． 专题：计算题． 分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10，运算求得结果． 解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果， 故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10==55， 故答案为：55． 点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 10．已知﹣=，则C8m=28 ． 考点：组合及组合数公式． 专题：计算题． 分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m 的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案． 解答：解：根据组合数公式， 原方程可化为：﹣=×， 即1﹣=×； 化简可得m2﹣23m+42=0， 解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去） 则m=2； ∴C8m=C82=28； 故答案为28． 点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 11 ． 考点：计数原理的应用． 专题：应用题；排列组合． 分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加． 解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个） 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个， 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1， 由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个， 故答案为：11． 点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 3 ． 考点：二项式系数的性质． 专题：计算题；二项式定理． 分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么． 解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64， 即=2n=64， 解得n=6； ∴二项式的展开式通项为 Tr+1=?x6﹣r?=3r； 当r=0时，6﹣r=6，是有理项， 当r=3时，6﹣r=2，是有理项， 当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项； ∴展开式中所有的有理项的项数为3． 故答案为：3． 点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式． 专题：概率与统计． 分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A）， 解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可． 解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1， 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋， 所以有P（B）=（）3+（）3=， ∴P（A）=1﹣P（B）=； 解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋． ∴P（A）=C31（）3+C32（）3=； 故答案为： 点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 45 ． 考点：等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：求出等比数列{an}的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数． 解答：解：∵等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S， ∴S=1﹣， 当n=2时，Bn的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==； 当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4； 当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集， S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，… ∴T=S1+S2+S3+…+Sn=++…++2++=∵S+2T≥2014， ∴1﹣+n2﹣1≥2014 ∴n≥45． 故答案为：45． 点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可． （2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6． ∴M=， 设矩阵M的特征值为λ， 则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0， 化为λ2﹣3λ﹣16=0， 解得λ=． （2）直线化为直角坐标方程：， 曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0， 把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）． ∴x1+x2=， ∴x0==，y0==． ∴线段AB中点的直角坐标， ∴=，tanθ=，可得θ=， 因此极坐标为． 点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 专题：综合题． 分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围． （2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数． （3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值． 解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则 ∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1 此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分） （2）． ∵a2+b2=1 ∴u=又故u是纯虚数．…（8分） （3）=由知， 故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）． 点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算． 专题：集合． 分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B 没有共同的元素，从而求出实数a的范围； （2）由条件判断a=﹣2，求出CRA，即可求得（CRA）∩B． 解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2， ∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增， 当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4， ∴2≤y≤4， ∴B=[2，4]， ∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a ∴A={y＞a2+1或y＜a}， ∵A∩B=?， ∴a2+1≥4或a≤2， ∴≤a≤2或a≤﹣， （2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2， 故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2． 由（1）可得CRA={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}． （CRA）∩B=B=[2，4]． 点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率； （2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望． 解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为， 则P（X=6）=2×=． （2）X的分布列为： X 4 5 6 7 P 所以，EX=4×+5×+6×+7×=． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理． 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）由b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{bn}的通项公式，用数学归纳法证明即可； （2）利用指数幂的运算性质可求得xx与yy，比较可知，二者相等． 解答：解：（1）∵b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）， ∴=2﹣b1=2﹣=， ∴b2=； 同理可求，b3=，于是猜想：bn=． 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，b1=，结论成立； ②假设n=k时，bk=， 则n=k+1时，∵+bk=2， ∴=2﹣=， ∴bk+1=， 即n=k+1时结论也成立； 综上所述，对任意n∈N*，bn=均成立． （2）∵x==，y==， ∴xx==， yy==， ∴xx=yy． 点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较xx与yy 的大小是难点，属于难题． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质． 专题：综合题；二项式定理． 分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可； ②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值； （2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数， 两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果． 解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中 共有5项，二项式系数最大的项为第三项， ∴T3=?12?=； ②f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r?=（﹣1）r26﹣r?m2r﹣6?， 且f（6，y）=a0++…+， ∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12， 解得m=2； ∴f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6?， ∴ar=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6=2r， ∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127； （2）∵=﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2? ∴设f（x）=（1﹣x）n=Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣Cn3x3+…+（﹣1）n?Cnnxn…①， ①式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣Cn1+2Cn2x﹣3Cn3x2+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2+n?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…② ②的两边同乘x得： ﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xCn1+2Cn2x2﹣3Cn3x3+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣1+n?（﹣1）n?Cnnxn，…③， ③式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣Cn1+22Cn2x﹣32Cn3x2+…+（n﹣1）2?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2 +n2?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…④， ④中令x=1，得﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2?=0． 点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
江苏省南通市启东中学高二数学下学期第二次质检试卷理(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为．10．已知﹣=，则C8m= ．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45=x+32，x=6+45﹣32=19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 2 ．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：计算题．分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为 6 ．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的公式的性质求解．解答：解：设样本x1，x2，…，x n的平均数为，即=（x1+x2+…+x n ）则样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3x n+5 ）=×3（x1+x2+…+x n ）+5=3 +5；由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差为样本x1，x2，…，x n的方差的32=9倍，即9×4=36，则3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的标准差为=6．故答案为：6．点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为55 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x 的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．已知﹣=，则C8m= 28 ．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．解答：解：根据组合数公式，原方程可化为：﹣=×，即1﹣=×；化简可得m2﹣23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为11 ．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故答案为：11．点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 3 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么．解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，即=2n=64，解得n=6；∴二项式的展开式通项为T r+1=•x6﹣r•=3r••；当r=0时，6﹣r=6，是有理项，当r=3时，6﹣r=2，是有理项，当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项；∴展开式中所有的有理项的项数为3．故答案为：3．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B 袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45 ．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，∴S=1﹣，当n=2时，B n的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M 的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可．（2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0，化为λ2﹣3λ﹣16=0，解得λ=．（2）直线化为直角坐标方程：，曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．∴x1+x2=，∴x 0==，y0==．∴线段AB中点的直角坐标，∴=，tanθ=，可得θ=，因此极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：综合题．分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．（3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值．解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分）（2）．∵a2+b2=1∴u=又故u是纯虚数．…（8分）（3）=由知，故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）．点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=∅，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率；（2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望．解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为，则P（X=6）=2×=．（2）X的分布列为：X 4 5 6 7P所以，EX=4×+5×+6×+7×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{b n}的通项公式，用数学归纳法证明即可；（2）利用指数幂的运算性质可求得x x与y y，比较可知，二者相等．解答：解：（1）∵b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*），∴=2﹣b1=2﹣=，∴b2=；同理可求，b3=，于是猜想：b n=．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，b1=，结论成立；②假设n=k时，b k=，则n=k+1时，∵+b k=2，∴=2﹣=，∴b k+1=，即n=k+1时结论也成立；综上所述，对任意n∈N*，b n=均成立．（2）∵x==，y==，∴x x==，y y==，∴x x=y y．点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较x x与y y的大小是难点，属于难题．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果．解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）=的通项公式为T r+1=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6•，∴a r=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6 =2r，∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…②②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n，…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n﹣1•C n n ﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0．点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
江苏省启东中学高二下学期期中考试数学(理)试题 及答案
江苏省启东中学高二第二学期期中考试数学试卷理科(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．2.若56n nC C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答） 3.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ．6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ．7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ．9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）10.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2x y e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．（本小题满分14分）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ； （2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实 数k 的取值范围．参考答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ． 答案：sin cos x x x +2.若56n nC C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答） 答案：553.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ．答案：134．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 答案：35．5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ．答案：1(0,)e6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ．答案：1737.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ． 答案： 498.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 答案：1059.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答） 答案：30010.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 答案：(4,3)(2,3)--11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：233-12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ． 答案：32V π15. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2x y e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．答案：96ln 25-16. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．答案： 31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）解：（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）7373A A ÷=840 。
江苏省南通市启东中学高二数学下学期第二次质检试卷 文(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= ．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= ．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= ．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= ．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为 4 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= 3 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin（ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= 338 ．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．。
2014-2015学年江苏省启东中学高二下学期期中考数学理试题
3. 命题“ x [0,3] ，使 x 2 2 x m 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围为
▲
.
4. 平面直角坐标系 xOy 中,直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2) 2 ( y 1) 2 4 截得的弦长为 5. 函数 y x ln x 的单调减区间 ▲ .
AC ， C 到 D 是线段 CD .设 AOC x rad ，观光路线总长为 y km . 其中 A 到 C 是圆弧 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求观光路线 总长的最大值.
C
A
D
(第 16 题图)
O
B
17. (本题满分 14 分)
-2-
已知圆 C 过点 P(1,1) ，且与圆 M : ( x 2)2 ( y 2) 2 r 2 (r 0) 关于直线 x y 2 0 对称.(1)求圆 C 的方 程.(2) 过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点, 求证:直线 OP 与直线 AB 平行.
19.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 为2 2 . （1）求椭圆的方程；
（2）若 A, B 分别是椭圆的左右顶点，动点 M 满足 MB AB 0 ，且 MA 交椭圆于点 P ．
y
x2 y 2 1(a b 0) 的离心率为 2 ，其焦点与椭圆上最近点的距离 2 a 2 b2
y
B P O A x
(第 17 题图) 18. (本题满分 16 分)
1 2 ax x ， a R ． 2 (1)若 a 2 ，求函数 f ( x) 的单调递减区间； a (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax 1 恒成立，求整数 ．． 的最小值；
2014-2015学年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．(★★★★)若复数z=i（2-z），则z= 1+i ．2．(★★★)用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1= （a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为 1+a+a 2．23．(★★★★)已知f 1（x）=sinx+cosx，且f 2（x）=f 1′（x），f 3（x）=f 2′（x），…，f n （x）=f n-1′（x），…（n∈N *，n≥2），则f 1（）+f 2（）+…+f 2015（）= 0 ．4．(★★★★)已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心．设= ，= ，= ，那么向量用基底{ ，，}可以表示为 + + ．5．(★★★★)将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有 240 种．（用数字作答）6．(★★★★)某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 310 种选法（用数字作答）．7．(★★★)一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 0.99 ．8．(★★★★)用数学归纳法证明“1+ + +…+ ＜n（n∈N *，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2 k．k9．(★★★)若|z-i|=1，则|z|最大值为 2 ．10．(★★★)边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为 36 ．11．(★★★★)（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 55 ． 12．(★★★★)已知- = ，则C 8m= 28 ．13．(★★)已知关于实数x，y的方程组没有实数解，则实数k，d的取值范围为 k=-1，d≤0或d＞2 ．14．(★★)设α，β是关于x的方程x 2+2x+m=0（m∈R）的两个根，则|α|+|β|的值为．．二、解答题（本大题共6道题，共计90分）15．(★★★)用数学归纳法证明等式：1 2-2 2+3 2-4 2+…+（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）（n∈N *）16．(★★★)设z是虚数，ω=z+ 是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值；（2）求z的实部的取值范围．17．(★★★)如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．（1）求证：AF⊥EF；（2）求二面角A-PC-B的平面角的正弦值．18．(★★★)设函数f（x，n）=（1+x）n，（n∈N *）．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求C -C +C -C +C ．19．(★★)电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；（2）求跳三步跳到C 1的概率P 1；（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C 1的次数，求随机变量X的概率分布．20．(★★)设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①f（x）的定义域为R；②方程f（x）-x=0有实数根；③函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（1）判断函数f（x）= + 是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；（3）证明：对于任意的x 1，x 2，x 3，当|x 2-x 1|＜1且|x 3-x 1|＜1时，|f（x 3）-f（x 2）|＜2．。
江苏省启东中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(理) Word版含答案
命题人：顾晏辉（考试时间120分钟，满分160分）一：填空题（本大题共14大题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i，i 2，|5i 2|，(1＋i )2i ，－i 22，则集合A ∩R ＋（R +表示大于0的实数）的子集个数为____________．2．高二某班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量 为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________． 3．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz＝－35＋45i ，则a ＝________________.4．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题_________________．5．已知12,z z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：z 12z ⊗=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>)()(21212121z z z z z z z z ，若12i =+z 且1234i ⊗=+z z ，则复数2=z 6. 已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝________.7．设复数z 满足：(2－3＋i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且 |z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |= .8. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长定值为________． 9．阅读第9题的程序框图，输出结果s 的值为 .10．阅读第10题的程序框图，设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S ，T ，设z 1＝S －Ti ，z 2＝1＋i ，z ＝z 1·z 2，则|z|= .江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理）11．已知n nn ii i i 21)1(1)1(22=+-+-+，则最小正整数n= .12．正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如右图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是__________．13.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示．按如此规律下去，请归纳，则a 2013＋a 2014＋a 2015等于.14．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．二：解答题（本大题共6大题，共90分）15：.已知复数z 满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.16：已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：2x－4y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．17：已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.18：先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．19：对于任意的复数z＝x＋yi(x、y∈R)，定义运算P(z)＝x2[cos(yπ)＋isin(yπ)]．(1)集合A＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x、y均为整数}，试用列举法写出集合A；(2)若z＝2＋yi(y∈R)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l：y＝x－9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数z＝x＋yi经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．20：在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立，(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)归纳猜想a n 与1n的大小，并证明你的结论．江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试数学（理）答案一：填空题1． 8 2．17 3．－24．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e.5．13i + 6. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4 7．|z |＝2－1或2＋1. 8. 内角平分线 a 9．116 10．38611． 312．1 0232 048a 2 13. 100714．7二：解答题（本大题共6大题，共90分） 15：.已知复数z满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 解答：（1）设i(,)x y x y =+∈R z . 由题意得2222i x y xy =-+z∴(1)22(2)xy ==⎪⎩化简得()20,x y x y -=∴= 将其代入（2）得222x =，∴1x =±. 故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1i =+z 或1i =--z . （2）当1i =+z 时，22i =z ，21i -=-z z . 所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C - ∴1||2,1212ABC AC S ∆==⨯⨯=. 当1i =--z 时，22i =z ，213i -=--z z .(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---. ∴ 1||4,1422ABC AC S ∆==⨯⨯=.16：已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：2x －4y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.17：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0.解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b )， 又a ＋b <0，∴ c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b ),ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab , 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2.∵ a 2>0，ab >0，b 2>0，∴ －a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．18：先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？(2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之；②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．[解析] (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)(方法一)当输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则 a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1.(方法二)由a 1＝13＝14×12－1，a 2＝115＝14×22－1，a 3＝135＝14×32－1，猜想a n ＝14n 2－1. 证明：(1)当n ＝1时，结论成立，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2(k ＋1)－32(k ＋1)＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝1(2k ＋3)(2k ＋1)＝14(k ＋1)2－1.所以当n ＝k ＋1时，结论成立，故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立． 因为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.19：对于任意的复数z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，定义运算P(z)＝x 2[cos(y π)＋isin(y π)]．(1)集合A ＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x 、y 均为整数}，试用列举法写出集合A ； (2)若z ＝2＋yi(y ∈R )，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l ：y ＝x －9上是否存在整点(x ，y)(坐标x 、y 均为整数的点)，使复数z ＝x ＋yi 经运算P 后，P(z)对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ＋y i ，|z |≤1⇒x 2＋y 2≤1，由于x ，y ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0. ∴P (±1)＝1，P (±i)＝0，P (0)＝0， ∴A ＝{0,1}．(2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，则P (z )＝4[cos(y π)＋isin(y π)]．若P (z )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧cos y π＝0，sin y π≠0，∴y ＝k ＋12，k ∈Z ， ∴|z |＝22＋y 2＝(k ＋12)2＋4，k ∈Z ，当k ＝0或－1时，|z |min ＝172.(3)P (z )对应点坐标为(x 2cos(y π)，x 2sin(y π))，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －9，x 2sin (y π)＝x 2cos (y π)－9，x 、y ∈Z ，∴x 2sin(x π－9π)＝x 2cos(x π－9π)－9，∴x 2sin x π＝x 2cos x π＋9. ∵x ∈Z ，∴①当x ＝2k ，k ∈Z 时，得x 2＋9＝0不成立； ②当x ＝2k ＋1，k ∈Z 时，得x 2－9＝0，∴x ＝±3成立．此时⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－12，即z ＝3－6i 或z ＝－3－12i.20：在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立， (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)归纳猜想a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n∵在数列{a n }中a n ＞0，∴a n ＋1＞0，∴a n －a 2n ＞0，∴0＜a n ＜1 故数列{a n }中的任意一项都小于1.(2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N *)时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。
江苏省启东中学高二数学期中考试试卷 苏教版
江苏省启东中学高二数学期中考试试卷(考试时间：120分钟 总分160分 )注意事项：1 本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为填空题和解答题2 所有试题的答案均填写在答题纸上（选择题部分使用答题卡的学校请将选择题的答案直接填涂到答题卡上），答案写在试卷上的无效第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意要求的 ）1．从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出１只球．若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球的概率是( )Ａ．0.35 Ｂ．0.65 Ｃ．0.1 Ｄ．不能确定2．下列说法中，正确的是( )A ． 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大３．下列关于算法的说法中，正确的是（ ）A ．算法的实质就是解决问题的一般方法，并把解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述。
B ．对某一确定的问题来说，其算法是唯一的。
C ．任何一种算法都必须包含顺序结构、选择结构、循环结构三种结构。
D ．算法只有两种表示方法，即用自然语言和流程图表示。
４．(文科做)已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( )A. 2B.332 C. 2 D.4 （理科做）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件.C ．充要条件.D ．既不充分也不必要条件.５．已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 为椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长为( ) A ．32B ．6C ．34D ．126．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 ( )A ．53B ．43C ．54D ．327．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 与r 的关系是（ ）A ．互为逆命题B ．互为否命题C ．互为逆否命题D ．不能确定8．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同9． 盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，现从盒中随机地抽取４个，那么310等于 ( )Ａ．恰有１只是坏的概率 Ｂ．恰有２只是好的概率 Ｃ．４只全是好的概率 Ｄ．至多２只是坏的概率10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏A. 游戏1和游戏3B. 游戏1C. 游戏2D. 游戏3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为（0，3）则k 的值为 。
江苏省启东中学高二下学期期中考试数学(理)试题
江苏省启东中学2016-2017学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷 命题人 陈兵一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2， 5}，则实数a 的值为 ． 2．从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为______. 3．随机变量ξ的分布列()(1)aP k k k ξ==+（=k 1，2，3，4），其中a 为常数，则=<<)2521(ξP . 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________． 5．我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)．已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是________．6．曲线324y x x =-+在点()1,3处的切线的倾斜角为__________．7．已知命题[]:0,1,xp x a e ∃∈≤，命题:,q x R ∀∈20x x a ++>，若命题p q∧是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 8．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③命题“∃x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是“∀x ∈R ，均有210x x ++<”； ④命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．9．在0,1,2,3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有________个.10．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有________种.(第5题图)11．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．12．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 . 13．已知()()()()()220162201801220181222...2x x a a x a x a x ++=+++++++，则3201812232018...2222a a a a ++++的值是 . 14．()121111...1231n nn n nC C C n -+-+-+= .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？ （1）男生甲必须站在两端； （2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．16．记函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B .（1）求①A B ⋂；② ()R C A B ⋃；（2）若{}0)12)(1(C <+=m-x-x-m x ,且B C ⊆,求实数m 的取值范围.17．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．:()2x p f x m =+为定义在[]1,2-上的“局部奇函数”；:q 曲线2()(51)1g x x m x =+++与x 轴交于不同的两点；若p q ∧“”为假命题，p q ∨“”为真命题，求m 的取值范围．18．某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房,每类房型中均有舒适和标准两种型号.某年产量如下表:若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测,则必须抽取“特大套”套房10套, “大套”15套. (1)求x ,y 的值;(2)在年终促销活动中,奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者.求至少有一套是舒适型套房的概率; (3)今从“大套”类套房中抽取6套,进行各项指标综合评价,并打分如下: 9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取,规定抽到数9.6或9.7,抽取工作即停止.记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 2的等比数列. 求证：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =20．设函数()()2,0,0xm f x y m y m y ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭，（1）①当2m =时，求()4,f y 的展开式中二项式系数最大的项；②若()61066,a af y a yy =+++，且4118112p p a C A -=-，求61i i a =∑； （2）利用二项式定理求21(1)nkknk k C =-∑的值()*1,n n N ∈≥．江苏省启东中学2016-2017学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷答案一．填空题： 1.5 2.482 3.56 4.310 5.1200 6.4π 7.1,4e ⎛⎤⎥⎝⎦8.④ 9.228 10.30 11.18 12.34 13.201812⎛⎫⎪⎝⎭14.11n + 二、解答题：15.()11440 ()23600 ()3312016.解：(1)依题意，得{}{}22012A x x x x x x =-->=<->或{}{}3033B x x x x =-≥=-≤≤ {}31,23A B x x x ∴⋂=-≤<-<≤；R C A B ⋃={}3x 3-x ≤≤(2)[][]0)12(-)1(-,012322<+∴<+m x m-x -m-m mx -x ①当2-m =时,φ=C 满足B C ⊆； ②当2-m >时，)121(C +=m ,m-,得12-≤<m ； ③当2-m <时，)112(C m-m ，+=,m 无解； 综上：m 的取值范围是12-≤≤m . 17.p 真：514m -≤≤-，q 真：35m <-或15m >；p 真q 假，则5143155m m ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，得无交集 若p 假q 真，则5141355m m m m ⎧>-<-⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或或，得54m <-或315m -<<-或15m >综上知m 的取值范围为54m <-或315m -<<-或15m >18. (1)由题设有600251501540010+=+=x y 450,400y x ∴==(2)设至少有一套舒适型套房记为事件A ，事件A 发生的个数为：112232C C +C =7，基本事件的总和为25C ，故()710P A =(3)ξ可能的取值为1,2,3,4,5，则1216C 1P ===C 3ξ（1），11421165C C 4P ===C C 15ξ（2），111432111654C C C 1P ===C C C 5ξ（3），1111432211116543C C C C 2P ===C C C C 15ξ（4），()1515P ξ==所以ξ的分布列为:()3E ξ=19.数列是公比为2的等比数列，∴12n -=.即()11114n n S a -+=+⨯.11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩， ()121,1314,2n n a n a a n -=⎧⎪∴=⎨+⋅≥⎪⎩ 显然当2n ≥时1n na a +=4.①充分性：当13a =时，214a a =，∴对n N *∈，都有14n na a +=，即数列{}n a 是等比数列. ②必要性：{}n a 是等比数列，214a a ∴=，即()11314a a +=，解得13a =. 20.(1) ①3224T y =，①8211p p ⎧⎨-⎩≥≥，2p ∴=，112a ∴=-，又51162()a C m m ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，416m ∴=，0m >，2m ∴=，62(6,)1f y y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令1y =，016...1a a a ∴+++=，又01a =，∴61i i a =∑=0.(3)当3n ≥时，()()()21111111111nnnkkkkk k nn n k k k k C n kCn kC ----===-=-⋅⋅=-⋅∑∑∑()()()()()111111111111111nn nkk k k k k n n n k k k n k Cn k C C ------===⎡⎤=--+=--+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()212121111n nk k k k n n k k n n C C ----==⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()21212121111n nk k k k n n k k n n C C ------==⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦∑∑()()()2111111n n n n --⎡⎤=----⎣⎦=0； 当1n =，原式1=-；当2n =时原式2=.。
2014-2015学年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.若复数z=i（2-z），则z= ______ ．【答案】1+i【解析】解：复数z=i（2-z），则z===1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为______ ．【答案】1+a+a2【解析】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a2首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．3.已知f1（x）=sinx+cosx，且f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n（x）=f n-1′（x），…（n∈N*，n≥2），则f1（）+f2（）+…+f2015（）= ______ ．【答案】【解析】解：f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，f3（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，f4（x）=-cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴f1（）+f2（）+…+f2015（）=f1（）+f2（）+f3（）=-f4（）=cos-sin=0，故答案为：0．利用三角函数求导法则求出f2（x）、f3（x）、f4（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．4.已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心．设=，=，=，那么向量用基底{，，}可以表示为______ ．【答案】++【解析】解：如图所示，三棱锥O-ABC中，点G是△ABC的重心，=，=，=，∴=-=-，=-=-，∴=（+）=（-+-）=（+-2），∴==（+-2）；∴=+=+（+-2）=++．故答案为：++．画出图形，结合图形，利用向量的加法与减法的几何意义，用、、表示出、以及的值，再求出．本题考查了空间向量的加法与减法运算的应用问题，解题时应画出图形，利用图形解答问题，是基础题目．5.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有______ 种．（用数字作答）【答案】240【解析】解：甲、乙两人必须站在两头，有=2种方法，其余5人站在中间，有=120种方法，根据乘法原理可得，不同的排列方法共有2×120=240种方法．故答案为：240．甲、乙两人必须站在两头，有=2种方法，其余5人站在中间，有=120种方法，根据乘法原理可得结论．乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有M n种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×M n种不同的方法．6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有______ 种选法（用数字作答）．【答案】310【解析】解：由题意，所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法．故满足条件的选法共有C114-C54-C64=310（种）．故答案为：310．所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法，运算求得结果．本题考查组合知识，考查学生的计算能力，属于基础题．7.一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到______ ．【答案】0.99【解析】解：两个报警器都不可靠的概率为（1-90%）（1-90%）=0.01，故两个报警器至少一个可靠的概率1-0.1=0.99，故将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到，0.99，故答案为0.99．两个报警器都不可靠的概率为（1-90%）（1-90%）=0.01，故两个报警器至少一个可靠的概率1-0.1=0.99，从而得到答案．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．8.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______ ．【答案】2k【解析】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9.若|z-i|=1，则|z|最大值为______ ．【答案】2【解析】解：|z-i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．10.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为______ ．【答案】36【解析】解：设较小两边长为x，y，且x≤y，则＞＜，，作可行域易知，当x=1时，y=11；当x=2时，y=10或11；…，当x=11时，y=11．所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故答案为36．先设出较小两边长为x，y，并利用三角形三边关系找到所满足的约束条件，画出可行域，在可行域内找整点即可．本题主要考查线性规划的应用．本题的易错点在于：一是约束条件找不完整；二是分类是易漏某些特殊点．11.（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为______ ．【答案】55【解析】解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12.已知-=，则C8m= ______ ．【答案】28【解析】解：根据组合数公式，原方程可化为：-=×，即1-=×；化简可得m2-23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．根据组合数公式，将原方程化为-=×，进而可化简为m2-23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．13.已知关于实数x，y的方程组没有实数解，则实数k，d的取值范围为______ ．【答案】k=-1，d＜0或d＞2【解析】解：法一：将y=kx+d代入x3+y3=2得：x3+（kx+d）3-2=0无解，展开得：（1+k3）x3+3k2dx2+3kd2x+d3-2=0，若k≠-1，则这是三次方程，至少有一个实根，不符题意；若k=-1，方程化为：3dx2-3d2x+d3-2=0，若d=0，则方程化为-2=0，矛盾；若d≠0，这是二次方程，无解则判别式＜0，得：（3d2）2-4*3d（d3-2）＜0，即：d（-d3+8）＜0，得d＞2或d＜0．综合得：k=-1，d＜0或d＞2．法二关于实数x，y的方程组没有实数解，也就是没有实数解，在平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如图：可知：两个函数没有交点，k=-1，d＜0或d＞2．故答案为：k=-1，d＜0或d＞2．法一：消去y后，化简方程，利用方程的解的情况，讨论求解即可．法二：转化方程组的两个方程为函数图象的交点问题，作出函数的图象，求解即可．本题考查函数的图象的作法，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目．14.设α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，则|α|+|β|的值为______ ．【答案】，，＜．【解析】解：∵α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，则△=22-4m≥0，解得m≤1，且α+β=-2，αβ=m．当m=1时，α=β=-1，此时|α|+|β|=2；当m＜1时，不妨设α＜β，若0≤m＜1，则α＜0，β≤0，则|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；若m＜0，则α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）====2．综上，当0≤m≤1时，|α|+|β|=2；当m＜0时，|α|+|β|=2，故答案为：，，＜．由方程x2+2x+m=0（m∈R）有两个根得到m的范围，然后分类把|α|+|β|中的绝对值去掉，然后结合根与系数的关系得答案．本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.用数学归纳法证明等式：12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）（n∈N*）【答案】证明：（1）当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×（2+1）=-3，故左边=右边，∴当n=1时，等式成立；（2）假设n=k（k∈N）时，等式成立，即12-22+32-…+（2k-1）2-（2k）2=-k（2k+1）成立，那么n=k+1时，左边=12-22+32-…+（2k+1）2-（2k+2）2=（k+1）（-2k-3）=-（k+1）[2（k+1）+1]综合（1）、（2）可知等式12-22+32-42++（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）对于任意正整数都成立．【解析】用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．16.设z是虚数，ω=z+是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值；（2）求z的实部的取值范围．【答案】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0），则ω=z+=a+bi+=（a+）+（b-）i，∵ω=z+是实数，∴b-=0，∵b≠0，∴，即a2+b2=1，则|z|=1．（2）∵a2+b2=1，∴ω=2a，由-1＜ω＜2得-1＜2a＜2，得-＜ω＜1．【解析】（1）根据复数的模长公式即可求|z|的值；（2）根据ω的取值范围即可求z的实部的取值范围．本题主要考查复数的基本运算和复数的有关概念，比较基础．17.如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．（1）求证：AF⊥EF；（2）求二面角A-PC-B的平面角的正弦值．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，∴PA⊥平面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AF，∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AF⊥EF．（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），=（0，1，-1），=（1，1，-1），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），|cos＜，＞|=||=，∴＜，＞=60°，又sin60°=，∴二面角A-PC-B的平面角的正弦值为．【解析】（1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角的正弦值．本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18.设函数f（x，n）=（1+x）n，（n∈N*）．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求C-C+C-C+C．【答案】解：（1）展开式中系数最大的项是第4项==20x3；…5′（2）由已知，（1+i）n=32i，两边取模，得=32，所以n=10．所以C-C+C-C+C=，而（1+x）10=（+（）i=32i 所以=32．（1）展开式中系数最大的项是第4项；（2）（1+i）n=32i，两边取模，求出n，利用（1+x）10=（+（）i=32i，可得结论．本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题．19.电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；（2）求跳三步跳到C1的概率P1；（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布．【答案】解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推．从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为．（1）P=×=；…4′（2）P=P（0123）=1××=；…10′（3）X=0，1，2．P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）=1××1××+1××××+1×××1×=，P（X=2）=P（012323）=1+1×××1×=，P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=或P（X=0）=P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121）=1×××1+1××1××+×1+1×××=，【解析】（1）将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推．（2）由已知条件从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为．由此能求出跳三步跳到C1的概率．（3）由题设知X=0，1，2．分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X 的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．20.设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①f（x）的定义域为R；②方程f（x）-x=0有实数根；③函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（1）判断函数f（x）=+是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；（3）证明：对于任意的x1，x2，x3，当|x2-x1|＜1且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．【答案】解：（1）函数f（x）=+的定义域为R，方程f（x）-x=0，即为sinx=2x，显然x=0成立；f′（x）=+cosx∈[，]⊆（0，1），即有函数f（x）=+满足条件①②③，因此f（x）∈M；（2）证明：假设f（x）-x=0存在两个实根α，β（α≠β），则f（α）-α=0，f（β）-β=0，不妨设α＜β，∵f′（x）＜1，∴函数f（x）-x为减函数，∴f（α）-α＞f（β）-β，矛盾．所以方程f（x）-x=0只有一个实数根，（3）证明：不妨设x2＜x3，∵f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∴f（x2）＜f（x3），又∵f′（x）＜1，∴函数y=f（x）-x为减函数，∴f（x2）-x2＞f（x3）-x3，∴0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，∴|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2．【解析】（1）对函数f（x）=+，求得定义域，解方程可得x=0，求得导数，由cosx的值域，即可判断；（2）运用反证法，考查函数f（x）-x为减函数，即可得证；（3）不妨设x2＜x3，由f′（x）＞0，可得f（x）为增函数，即有f（x2）＜f（x3），又f′（x）＜1可得函数f（x）-x为减函数，结合极大值不等式的性质，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，主要考查反证法和函数的单调性的运用，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)
江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试（文）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1. 55log 10log 2.5+= ．2．已知全集}3,2,1,0{=U ，集合}1,0{=A ，{}3,2,1=B ，则=B A C U )( . 3．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．4．若关于x 的函数a x y -=在区间),1(+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 . 5．若方程3log 3=+x x 的解所在的区间是(), 1k k +,则整数k = ．6．某班委会3名男生与2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 ．7．某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40,[)60,50，…，[)100,90后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[)80,70内的人数是 .8．执行如下图所示的程序框图,若输入10=n ,则输出的S 为 .9．函数)32(log 221-+=x x y 的单调递减区间是_ .10．已知样本3，4，5，x ，y 的平均数是3xy 的值为 ．11．已知5sin sin )(357++++=dx x c bx x a x f ，其中a 、b 、c 、d 为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f ．12．定义R 上的奇函数()f x 满足51()2()f x f x +=-，若3(1)1,(2014)3t f f t +≥=-，则实数t 的取值范围为 .13. 已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)8,(+m m ，则实数c 的值为 . 14．已知x x f 13)(-=，若存在区间),21(],[+∞⊆b a ，使得]},[),(|{b a x x f y y ∈=＝],[mb ma ，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知集合}187{2--==x x y x A ，集合)}34ln({2x x y x B --==，集合}322{-<<+=m x m x C ．（1）设全集R U =，求B A C U ； （2）若C C A = ，求实数m 的取值范围． 16.（本题满分14分）据《南通日报》报道，2015年1月1日至1月31日，市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(酒精含量≥ 80mg/100ml 为醉酒驾车)(1)根据频率分布直方图完成下表：(2)根据上述数据，求此次抽查的1000人中属于醉酒驾车的概率；(3)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．17．已知定义域为]2,2[-的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．（1）求实数b a ,的值；（2）解关于m 的不等式)0()1()(f m f m f >-+．18. （本题满分16分） 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员)0(>x x 户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高x 2℅，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50xa -（0a >）万元. （1）在动员)0(>x x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值.19．（本小题满分16分）已知函数()11()212x f x x =+- （1）判定并证明函数的奇偶性；（2）试证明()0f x >在定义域内恒成立；（3）当[]1,3x ∈时，12()()02mf x x -⋅<恒成立，求m 的取值范围.20．（本题满分16分）已知函数()2x f x =，x R ∈． (1)解方程：(2)(1)8f x f x -+=；(2)设a R ∈，求函数x a x f x g 4)()(⋅+=在区间[]0,1上的最大值()M a 的表达式； (3)若1212()()()()f x f x f x f x +=()()()()()123123()f x f x f x f x f x f x ++=，求3x 的最大值．参考答案一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分）1.22.{}3,23.(]6,0 4.1≤a 5.2 6. 0.7 7.30 8. 54 9. ),1(+∞ 10.2 11.17 12. [)0,3 13.16 14.92.4m << 二、解答题（本题包括6小题，共90分）15解：(1)),9[]2,(+∞--∞= A ，)1,4(-=B ，)9,2(-=A C U ，)1,2(-=B A C U ． ……6分(2)∵C C A = ，∴A C ⊆，当∅=C 时，5322≤⇒-≥+m m m ， ……8分当∅≠C 时，⎩⎨⎧-≤--<+232322m m m 或⎩⎨⎧≥+-<+92322m m m ，解得：7≥m ， ……12分综上：实数m 的取值范围是5≤m 或7≥m ． ……14分 16. 解 (1) ……4分(3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ，[80,90)范围内应抽2人，记为d ，e ，则从总体中任取2人的所有情况为(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，e)，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d)，(a ，e)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P(A)＝610＝35. ……14分17．解：(1)由0)()(=-+x f x f 得：0)2(2)42()2()2(2=-+⋅-+⋅-a b ab a b x x ， 所以⎩⎨⎧=-=-04202ab a b ，解得：⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=12b a （舍去），因此⎩⎨⎧==12b a ． ……5分(2)∵)221(212212)(11+++-=++-=x x x x f ， ∴函数)(x f 在]2,2[-上单调递减，由)0()1()(f m f m f >-+得：)1()(m f m f ->，所以⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-≤-≤≤-mm m m 121222，解得：211<≤-m ，所以原不等式的解集为)21,1[-．……14分18. 解（1）由题意得 3(100)(12%)3100x x -+≥⨯，即2500x x -≤，解得050x ≤≤，又因为0x >，所以050x <≤； ……6分 （2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为33()50xa x -万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100)(12%)x x -+万元，根据题意得，33()50x a x -≤3(100)(12x x -+恒成立， ……10分即210025x ax x ≤++恒成立．又0x >，所以100125xa x ≤++恒成立， 而100125xx ++≥5（当且仅当50x =时取得等号）， 所以a 的最大值为5． ……16分 19. 解：（1）()11()212x f x x =+-为偶函数，证明如下： ()11()212xf x x =+-定义域为}{|0x x ≠关于原点对称， ……2分 对于任意}{|0x x x ∈≠有()11212111()()()212212212x x xx x f x x x x --+-=-+=-=---- 1111(1)()()212212x xx x f x =+-=+=--成立 所以()11()212x f x x =+-为偶函数 ……5分 （2）因为()11()212xf x x =+-定义域为：}{|0x x ≠，当0x >时，0221,210x x >=∴->110212x ∴+>-，0x >，11()()0212xf x x ∴=+>-恒成立， ……7分 当0x <时，所以0x ->，由（1）可知：()()0f x f x =-> ……9分 综上所述，()0f x >在定义域内恒成立 ……10分 （3）12()()02mf x x -⋅<恒成立对[]1,3x ∈恒成立，∴1112()()02122mxx x +-⋅<- ，∴111()2()2212m x >+- ， 令()112()212xg x =+- 证明()112()212x g x =+-在[1,3]上为减函数, ∴()()112()13212xg x g =+≤=-对[]1,3x ∈恒成立 ∴1()32m > 所以m 的取值范围是12log 3m < …………16分20解：（1）0822)2(2=-⋅-x x ，42=x 或22-=x （舍去），所以2=x ． ……2分 （2）x x a x g 42)(⋅+=，]1,0[∈x ， 令xt 2=，则]2,1[∈t ， ①当0=a 时，2)(=a M ，②当0≠a 时，aa t a t at t h 41)21()(22-+=+=， 若0>a ，则24)2()(+==a h a M ，若0<a ，当1210<-<a ，即21-<a 时，1)1()(+==a h a M ， 当221>-a ，即041<<-a 时，24)2()(+==a h a M ， 当2211≤-≤a ，即4121-≤≤-a 时，aa h a M 41)21()(-=-=， 综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤≤---<+->+=4121,4121,141,24)(a a a a a a a M ． ……8分（3）由题意知：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++32132121212222222x x x x x x x x x x ⇒3213212222x x x x x x ⋅=+++， 所以1122221213-=-=++t t x x x x x ，其中t t x x x x x x 222222212121=≥+==++，所以4≥t ，由tt t x 111123-=-=知32x的最大值是34，又x y 2=单调递增， 所以3log 234log 223-==x ． ……16分。
江苏省启东中学数学高二下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3) 2．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+ 3．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．23D ．564．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13B 2C ．22D ．05．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=6．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-B ．23C ．43D ．637．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 8．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )A ．(22)，-B ．(0,+)∞C ．(0,2)(2+)⋃∞，D ．[22]-，9．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 310．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-11．(0分)[ID ：13617]已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．7913．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±14．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ） A ．2B ．1C ．25D ．515．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题16．(0分)[ID ：13727]已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.17．(0分)[ID ：13721]已知10cos ,0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 18．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．19．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________.20．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.21．(0分)[ID ：13676]已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅=_______．(结果用数值表示)22．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.23．(0分)[ID ：13643]如图，在OAB 中,OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．24．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ . 25．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ．三、解答题26．(0分)[ID ：13814]已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值. 27．(0分)[ID ：13759]如图，扇形OAB 的圆心角为3π，半径为1，圆心为原点O ，点A 在x 轴正半轴上.（1）求点B 的坐标；（2）已知1(0,)3M -，直线:3kl y kx =+，点P 在直线l 上，点Q 在弧AB 上，且2+0MP MQ =，求k 的取值范围.28．(0分)[ID ：13756]已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （λ,μ∈R ）.（1）若P 是BC 的中点，求λ+μ的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：λ+μ=1.29．(0分)[ID ：13808]已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示.(1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，()2f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f a f b ⊥. 30．(0分)[ID ：13782]已知动点M 到点()A 1,0-与点()B2,0的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()P 6,2作曲线C 的切线，求切线方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．C4．A5．A6．B7．A8．C9．D10．A11．B12．A13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与18．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应19．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力21．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-622．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角23．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)， 故选D.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础4．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．6．B解析：B 【解析】∵向量()2,a x =-，()1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即310x -⨯+-=∴x =故选B7．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()6sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα+-=-=⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.8．C解析：C 【解析】【分析】由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，即可求解. 【详解】由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ． 11．B解析：B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果. 【详解】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.12．A解析：A 【解析】 【分析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴237sin cos (sin cos )12sin cos 1282αααααα+=+=+=+⨯=． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．14．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．B解析：B【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考解析：sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+. 点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与【解析】 【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭410-=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应 解析：2:3【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.19．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴=故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.21．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-6 解析：6-【解析】由题向量a 在向量b 方向上的投影为2-，即cos ,2,3, 6.a b a ba ab ab a b a b b⋅⋅===-=∴⋅=-⋅即答案为-6.22．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4【解析】 【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.23．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM 三点共线所以……①又BPN 三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向解析：33105a b + 【解析】 【分析】 运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP ，即可求得,λμ的值，得到答案． 【详解】根据题意得，O ，P ，M 三点共线， 所以112()333OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭……① 又B ，P ，N 三点共线，所以33()44BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭则3(1)4OP OA OB μμ=+-……..② 由①②得132,1343λμλμ==-，所以29,510μλ==， 所以33105OP a b =+． 故答案为：33105a b + 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示， 因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：【解析】 试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题 26．（1）2π；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4x π=对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得42t ππ-+≥-，且42t ππ+≤，由此解得t的最大值． 【详解】（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以()442k k Z πππωπ⨯+=+∈，解得()14k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以1ω=， 则()f x 的最小正周期22T ππω==.（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩，解得04t π<≤.故t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．27．（1）1(2；（2）(,6[3,)-∞--+∞ 【解析】 【分析】（1）先由题意得到3AOB π∠=，在单位圆内，即可取出坐标；（2）先设00(,)P x y ，(,)Q x y ，根据题意，得到00212x x y y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，推出003(1)3123231123-++===+-+-y y y k x x x ，表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，结合图像，即可得出结果. 【详解】（1）因为扇形OAB 的圆心角为3π，所以3AOB π∠=，又扇形所在圆的半径为1， 所以：11cos 2=⨯∠=B x AOB ，1sin =⨯∠B y AOB ，即点B 的坐标为13(,)22； （2）设00(,)P x y ，(,)Q x y ，因为1(0,)3M -，所以001,3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭MP x y ，1,3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭MQ x y ， 由2+0MP MQ =得0020212033x x y y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，所以00212x x y y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 又点P 在直线:3k l y kx =+上， 所以003=+k y kx ，即003(1)3123231123-++===+-+-y y y k x x x ， 又点(,)Q x y 在弧AB 上，所以123+=-y k x 表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，由图像可得：013213+≥==-AN k k ，或3126331223≤==---BN k k ； 故k 的取值范围为(,633][3,)-∞--+∞.【点睛】本题主要考查直线与圆的综合应用，根据三角函数定义，以及平面向量坐标运算处理，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.28．（1）12 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,再结合BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可求出λ,μ; （2）设AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ),可得OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,结合AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可得到OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,从而可证明λ+μ=1. 【详解】 （1）由题意,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −12OA ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=−12,μ=1,即λ+μ=12. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ), 则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +t (AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−t )OA⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=1−t,μ=t ,即λ+μ=1. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题. 29．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析【解析】【分析】(1)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，然后利用题中关系式即可推导出所证恒等式； (2)设向量11(,)ax y ，则利用题中关系以及向量模的求解即可证明等式； (3)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，由a b ⊥可得出12120x x y y +=,然后利用题中关系式可推导出()()0f a f b ⋅=，即可证明()()f a f b ⊥成立.【详解】证：(1)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++由题中关系式可得：12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++， 11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+1122112212121212(,)(,)mx my nx ny mx my nx ny mx nx my ny mx nx my ny =-+-+++=+--+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+，对于任意向量a 、b 及常数,m n 恒成立；(2)设向量11(,)ax y ，则由题中关系可得1111()(,)f a x y x y =-+， 则2222221111111111()|(,)|()()2()f a x y x y x y x y x y =-+=-++=+， 即得()2f a x =，因为21a x y =+∴()2f a a =成立，命题得证；(3)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ， 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即得12120x x y y += 由题中关系式可得：1111()(,)f a x y x y =-+，2222()(,)f b x y x y =-+则由()()()()1111111222222212()()(,)(,)f a f b x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=-+⋅-+=--+++ ()121220x x y y =+=，即()()0f a f b ⋅=，所以()()f a f b ⊥成立.【点睛】本题着重考查了对题意的理解，利用题中关系式结合向量的坐标运算、向量模的表达式以及向量垂直的性质来推导所证命题结果，属于一般难度的题.30．(1)()2234x y -+=；(2) 125620x y --=或2y =．【解析】【分析】(1)根据题意设出M 点的坐标，然后根据距离之比等于2，化简出x ，y 的关系式，求出M 的轨迹方程.(2)由第一问的结论可判断点()P 6,2在圆外，可知切线方程有两条，设出切线方程，根据圆心到直线的距离公式可求出斜率k 的值，从而求出切线方程.【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ， 则MA MB ==2=，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y-+=；（2）∵圆心(3,0)到点(6,2)3，∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条不妨设过该点的切线斜率为k ，则切线方程为()26y k x -=-，即620kx yk --+=，2=，解得0k =或125k =． 所以，切线方程为125620x y --=或2y =．【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程，考查圆的切线问题，同时考查了学生的计算能力，属于基础题.。
学年下学期高二期中考试数学(理)(附答案)
江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间120分钟,满分160分)一､填空题:本大题共14小题.每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.不等式021≤+-x x 的解集为 ▲ . 2.下列命题中,正确的命题个数是 ▲ .①;22bc ac b a >⇒>②;22bc ac b a ≥⇒≥③;bc ac cb c a >⇒> ④;bc ac c b c a ≥⇒≥⑤⎩⎨⎧>>bc ac b a 0>⇒c ;⑥⎩⎨⎧≥≥bcac b a 0≥⇒c 3.在ABC ∆中,3,3,2π=∠==B b a ,那么=∠A ▲ .4.直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行,则=a ▲ .5.已知直线)0(02>=-+a a y a x ,则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时,a 的值是 ▲ .6.点),(y x P 在直线04=-+y x 上,则22y x +的最小值为 ▲ .7.已知数列}{n a 中,,11=a 对所有的*,2N n n ∈≥都有2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则数列}{n a 的通项公式为=n a ▲ .8.在ABC ∆中,已知A c b B c a cos cos -=-,则ABC ∆的形状是 ▲ . 9.如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ,那么y x )21(4的最大值为 ▲ . 10.经过点)1,2(P 的直线l 到)1,1(A ､)5,3(B 的距离相等,则直线l 的方程是 ▲ .11.已知c b a ,,是ABC ∆的三条边,c b a ,,成等差数列,c b a ,,也成等差数列,则ABC ∆的形状是 ▲ .12.直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k 的取值范围是▲ .13.已知数列}{n a 的通项公式为12112--=n n a n ,则此数列的前n 项和取最小时,n =▲ .14.若关于x 的不等式(组)92)12(297022<+-+≤n n x x 对任意*N n ∈恒成立,则所有这样的解x 的集合是 ▲ .二､解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式:01522>-+-a x ax .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S .17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围; (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值; (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+.(1)求2a 的值;(2)证明:数列}{n a n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a .江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学答案1. ]1,2(-;2. 4 ;3. 4π; 4. -1 ; 5. 1; 6.8; 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2()1()1(122n n n n a n ;8.等腰三角形或直角三角形;9.2;10.032=--y x 或2=x ;11.等边三角形;12.01<≤-k 或10≤<k ;13.11或12;14. }92,1{-15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式01522>-+-a x ax . 解:(1)由题意得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-+=-<221222150a a a …………… 4分解得2-=a …………… 7分(2)由(1)得2-=a ,故原不等式化为03522>+--x x …………… 10分21303522<<-⇒<-+⇒x x x …………… 14分 所以不等式的解集为)21,3(-.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S . (1)解:由正弦定理得:BA C b a c sin sin sin 22-=- …………… 3分 由已知ba c B C A -=-2cos cos 2cos故A B C B C B A B BA CBC A sin cos sin cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin 2cos cos 2cos -=-⇒-=-C B C B A B A B sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin +=+⇒)sin(2)sin(C B B A +=+⇒ …………… 5分 在ABC ∆中A C B C B A sin )sin(,sin )sin(=+=+2sin sin sin 2sin =⇒=∴AC A C …………… 7分 (2)解:在ABC ∆中,由415sin 41cos =⇒=B B , …………… 9分 由(1)得a c AC 22sin sin =⇒= 由余弦定理得:412244cos 222222⋅⋅-+=⇒-+=a a a a B ac c a b …………… 12分 解得:41541521212,1=⨯⨯⨯=∴==∆ABC S b a …………… 14分17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围;),1(+∞ (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值;223+ (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.1 18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.解:(1)由题意得:⎩⎨⎧=--=++-0)1(043b a a b a …………… 4分解得:⎩⎨⎧==22b a …………… 6分 (2)由直线1l 与直线2l 平行得:)1,0,0(1≠≠≠-=a b a a ba aa b -=⇒1 ① …………… 8分 041:1=+--∴y a a ax l 即0)1(4)1(=-++-aa y x a 由坐标原点到两直线的距离相等得:原点在直线02)1(4)1(=-+++-a a b y x a 可得: 0)1(4=-+a a b ② …………… 12分 解①②得:⎩⎨⎧-==22b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==232b a …………… 15分 19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.（1） 解:因为3c o s 21,1s i n1≤+≤≤≤-βα,所以由题意得:当11≤≤-x 时,0)(≥x f 恒成立;当31≤≤x 时,0)(≤x f 恒成立;所以有0)1(=f …………… 4分101-=+⇒=++⇒c b c b …………… 5分(2)证明:由(1)得:(*)0390)3(≤++⇒≤c b f ……………8分又因为c b c b --=⇒-=+11代入(*)式得:30)1(39≥⇒≤+--+c c c ……… 10分(3)因为)(sin αf 的最大值为8,可得8)1(=-f 所以81=+-c b …………… 14分 解⎩⎨⎧-=+=+-181c b c b 得⎩⎨⎧=-=34c b . …………… 16分20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+. (1)求2a 的值;(2)证明:数列}{na n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a . (1)解:依题意:当1=n 时1,32131121121==---⨯=a S a S ,解得:42=a … 3分 (2) 证明:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-------=---=-+)2)(1(32)1()1(31)1(232312231231n n n n a n S n n n na S n n n n …………… 5分两式相减得:)2(32)12()133(31)1(221≥---+----=+n n n n a n na a n n n 整理得: )2(1111)2)(1()1(111≥=-+⇒-+=⇒≥+-=++++n na n a n a n a n n n na a n n n n n n n ……6分 又∴=-11212a a 对任意*N n ∈都有111=-++na n a n n …………… 7分 故数列}{na n 是以1为首项1为公差的等差数列, …………… 8分 所以2,1)1(1n a n n n a n n =∴=⨯-+= …………… 10分 (3)证明:由(2)得:2n a n =22222221543211)1(151413121111111111n n a a a a a a a n n +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++∴-4714712145111112151414131312145)1(1)1)(2(1541431321411<-=-+=--+---+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+=-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯++≤n n n n n n n n n n …………… 16分 所以得证.。
(整理版)市启东高二(下)期中数学试卷
- 省市启东高二〔下〕期中数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.2a＞2b假设a≤b，那么2a≤2b．考点：专题：综合题．分析：┐p，那么┐q，易得答案．解答：┐p，那么┐q．2a＞2b〞2a≤2b故答案为：假设a≤b，那么2a≤2b．点评：┐p，那么┐┐q，那么┐p．2．〔5分〕集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，那么B中所含元素的个数为10 ．考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题；阅读型．分析：由集合B中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B中的所有元素，那么答案可求．解答：解：由A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，当x=5时，y=4，3，2，1．当x=4时，y=3，2，1．当x=3时，y=2，1．当x=2时，y=1．所以B={〔5，4〕，〔5，3〕，〔5，2〕，〔5，1〕，〔4，3〕，〔4，2〕，〔4，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔2，1〕}所以B中所含元素个数为10个．故答案为10．点评：此题考查了集合中元素的个数，考查了描述法和列举法之间的转化，是根底题．3．〔5分〕函数的定义域为[1，e2+1〕．考函数的定义域及其求法．点：函数的性质及应用．专题：分由函数的解析式可得 e﹣＞0，即0≤x﹣1＜e2，解此不等式，求得函数的定析：义域．解解：∵函数，故有 e﹣＞0，即＜e，∴0≤x﹣答：1＜e2，解得1≤x＜e2+1，故答案为[1，e2+1〕．此题主要考查求函数的定义域，属于根底题．点评：4．〔5分〕，那么a，b，c从大到小依次为a，b，c ．考有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式．点：计算题．专题：直接判断a，b，c值的范围，然后半径大小即可．分析：解解：因为，答：所以a，b，c从大到小依次为：a，b，c．故答案为：a，b，c．此题考查指数与对数式的值的大小范围的判断，根本知识的考查．点评：5．〔5分〕函数y=f〔x〕上任一点〔x0，f〔x0〕〕处的切线斜率，那么该函数的单调递减区间为〔﹣∞，3〕．利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．考点：专导数的概念及应用．题：分由题意可求得导数f′〔x〕，解不等式f′〔x〕＜0即得函数的递减区间．析：解答：解：由题意知，函数f〔x〕在任一点处的导数f′〔x〕=〔x﹣3〕〔x+1〕2，令〔x﹣3〕〔x+1〕2＜0，解得x＜3，所以函数的单调递减区间为〔﹣∞，3〕，故答案为：〔﹣∞，3〕．点评：此题考查导数的几何意义及不等式的解法，属根底题，准确理解导数的几何意义是解决该题的关键．6．〔5分〕设A=B=a，b，c，d，…，x，y，z〔元素为26个英文字母〕，作映射f：A→B为A中每一个字母与B中下一个字母对应，即：a→b，b→c，c→d，…，z→a，并称A中的字母组成的文字为明文，相应B中字母为密文，试破译密文“nbui〞math ．考点：映射．分析：先理解题意中明文与密文的转换关系，再将密文：“nbui〞中每一个字母翻译成明文即可．解答：解：由题意知，密文与明文的对应关系是：英文字母表中的前一个字母，故：n→m，b→a，u→h，i→h．破译密文“nbui〞的结果为：math故答案为：math．点评：此题主要考查了映射的概念，以及等价转换的能力，属于根底题．7．〔5分〕“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数〞的充分不必要条件．〔填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞〕考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：当a=1时，函数，其定义域为R，f〔﹣x〕====﹣f〔x〕，可得f〔x〕为奇函数；但反之不成立，因为当a=﹣1时也能使函数为奇函数．解答：解：当a=1时，函数，其定义域为R，f〔﹣x〕====﹣f〔x〕，可得f〔x〕为奇函数；“函数在其定义域上为奇函数〞不能推出“a=1”，因为当a=﹣1时，，其定义域为{x|x≠0}，f〔﹣x〕====﹣f〔x〕，也可得f〔x〕为奇函数．故“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：此题为充要条件的判断，熟练掌握证明函数的奇偶性的方法是解决问题的关键，属根底题．8．〔5分〕〔•模拟〕函数y=log2x+log x〔2x〕的值域是〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕．考点：对数函数的定义域．分析：根据对数运算可以先将函数解析式化简为：的形式，再由根本不等式关系式得出值域．解答：解：∵y=log2x+log x〔2x〕=log2x+log x x+log x2=log2x+log x2+1=令t=log2x，∵x＞0且x≠1，∴t＞0或t＜0．∴，或∴y=t++1≤﹣1，或y≥3，故答案为：〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕．点评：此题主要考查对数函数与不等式联立求值域问题．这里要注意对数函数的底数一定大于0且不等于1．9．〔5分〕假设二次函数f〔x〕满足f〔2+x〕=f〔2﹣x〕且f〔a〕≤f〔0〕＜f〔1〕，那么实数a的取值范围是a≤0或a≥4．考二次函数的性质．专题：计算题．分析：利用满足的恒等式求出二次函数的对称轴；利用对称轴写出二次函数的单调区间；利用f〔0〕＜f〔1〕，判断出二次函数的单调区间；利用二次函数的单调性求出a的范围．解答：解：∵二次函数f〔x〕满足f〔2+x〕=f〔2﹣x〕∴对称轴为x=2∴二次函数的单调区间有〔﹣∞，2]；[2，+∞〕∵f〔0〕＜f〔1〕，∴f〔x〕在〔﹣∞，2]递增；在[2，+∞〕递减∵f〔0〕=f〔4〕，f〔a〕≤f〔0〕∴a≤0或a≥4故答案为a≤0或a≥4点评：此题考查二次函数的单调性取决于对称轴与二次项的系数、利用二次函数的单调性解不等式．10．〔5分〕函数f〔x〕=x3﹣3ax〔a∈R〕，假设直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f 〔x〕的切线，那么a的取值范围为．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f〔x〕的切线的含义，即可求出函数f〔x〕=x3﹣3ax〔a∈R〕的导函数，使直线与其不相交即可．解答：解：f〔x〕=x3﹣3ax〔a∈R〕，那么f〔x〕′=3x2﹣3a假设直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f〔x〕的切线，那么直线的斜率为﹣1，f〔x〕′=3x2﹣3a与直线x+y+m=0没有交点，又抛物线开口向上那么必在直线上面，即最小值大于直线斜率，那么当x=0时取最大值，﹣3a＞﹣1，那么a的取值范围为即答案为．点评：此题只要考查函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题．11．〔5分〕假设函数f〔x〕=|x﹣2|〔x﹣4〕在区间〔5a，4a+1〕上单调递减，那么实数a 的取值范围是．考函数的单调性及单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为〔2，3〕．结合题意得：〔5a，4a+1〕⊆〔2，3〕，由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围．解答：解：函数f〔x〕=|x﹣2|〔x﹣4〕=∴函数的增区间为〔﹣∞，2〕和〔3，+∞〕，减区间是〔2，3〕．∵在区间〔5a，4a+1〕上单调递减，∴〔5a，4a+1〕⊆〔2，3〕，得，解之得故答案为：点评：此题给出含有绝对值的函数，在减区间的情况下求参数a的取值范围，着重考查了函数的单调性和单调区间求法等知识，属于中档题．12．〔5分〕以下说法：①方程2﹣x+x2=3的实数解的个数为1；②函数y=a x的图象可以由函数y=2a x〔其中a＞0且a≠1〕平移得到；③假设对x∈R，有f〔x﹣1〕=﹣f〔x〕，那么f〔x〕的周期为2；④函数y=f〔1+x〕与函数y=f〔1﹣x〕的图象关于直线x=1对称．③④．考点：专题：阅读型．分析：利用函数图象的交点个数，来判断方程的解的个数，从而判断①是否正确；根据函数图象的变化规律判断②是否正确；利用周期函数的定义，验证③是否正确；根据函数图象上的任一点关于直线的对称点是否在另一函数图象上，来判断两函数图象是否关于直线对称，从而判断④是否正确．解答：解：对①选项，利用函数f〔x〕=2﹣x=与f〔x〕=3﹣x2的图象，判断两函数的图象有两个交点，∴方程有两个实数解，故①错误；对②选项，函数y=a x的图象可由函数y=2a x的图象的点，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的得到，∴②错误；对③选项，∵f〔x〕=﹣f〔x﹣1〕，∴f〔x+2〕=﹣f〔x+1〕=﹣[﹣f〔x〕]=f〔x〕．∴那么f〔x〕的周期为2，故③正确；对④选项，对函数y=f〔1+x〕图象上任一点P〔a，b〕，关于x=1的对称点Q〔2﹣a，b〕，∵f〔2﹣a〕=f[1+〔1﹣a〕]=f[1﹣〔1﹣a〕]=f〔a〕=b，∴Q在函数y=f〔1﹣x〕的图象上，故④正确．故答案是③④．点评：此题借助考查判断的真假判定，考查函数零点的判定、函数的图象变化规律及函数的周期．13．〔5分〕〔•〕f〔x〕=m〔x﹣2m〕〔x+m+3〕，g〔x〕=2x﹣2，假设同时满足条件：①∀x∈R，f〔x〕＜0或g〔x〕＜0；②∃x∈〔﹣∞，﹣4〕，f〔x〕g〔x〕＜0．那么m的取值范围是〔﹣4，﹣2〕．考点：专题：计算题；压轴题．分析：①由于g〔x〕=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f〔x〕=m〔x﹣2m〕〔x+m+3〕＜0在x ＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈〔﹣∞，﹣4〕，f〔x〕g〔x〕＜0，而g〔x〕=2x﹣2＜0，那么f〔x〕=m〔x ﹣2m〕〔x+m+3〕＞0在x∈〔﹣∞，﹣4〕时成立，结合二次函数的性质可求解答：解：对于①∵g〔x〕=2x﹣2，当x＜1时，g〔x〕＜0，又∵①∀x∈R，f〔x〕＜0或g〔x〕＜0∴f〔x〕=m〔x﹣2m〕〔x+m+3〕＜0在x≥1时恒成立那么由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在〔1，0〕的左面那么∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈〔﹣∞，﹣4〕，f〔x〕g〔x〕＜0∴此时g〔x〕=2x﹣2＜0恒成立∴f〔x〕=m〔x﹣2m〕〔x+m+3〕＞0在x∈〔﹣∞，﹣4〕有成立的可能，那么只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可〔i〕当﹣1＜m＜0时，﹣m﹣3＜﹣4不立〔ii〕当m=﹣1时，有2等根，不成立〔iii〕当﹣4＜m＜﹣1时，2m＜﹣4即m＜﹣2成立综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2故答案为：〔﹣4，﹣2〕点评：14．〔5分〕△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为y，那么y的最小值为．考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先分别求出△DCE、△ABD、△BDE中面积，确定最大值，可得分段函数，即可求得y 的最小值．解答：解：设CD：CA=k，那么因为点D在AC上，所以0＜k＜1∵DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴S△DCE：S△ACB=〔CD：CA〕2=k2，∵S△ABC=1，∴S△DCE=k2；∵AD：AC=〔AC﹣CD〕：AC=1﹣k，∴S△ABD：S△ABC=AD：AC=1﹣k，∴S△ABD=1﹣k ∵DE∥AB，∴CE：BE=CD：AD=k：〔1﹣k〕∵S△DCE：S△BDE=CE：BE=k：〔1﹣k〕∴S△BDE=[〔1﹣k〕：k]×S△DCE=﹣k2+k当k2=1﹣k时，k2+k﹣1=0，∴k=；当k2=﹣k2+k时，2k2﹣k=0，∴k=；当1﹣k=﹣k2+k时，k2﹣2k+1=0，∴k=1∴y=∴当k=时，y有最小值=1﹣k=k2=故答案为：点评：此题考查三角形面积的计算，考查函数的最值，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题〔本大题共6小题，共90分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕. 15．〔14分〕函数的定义域为A，函数y=log2〔x﹣a+1〕的定义域为B，〔1〕假设A⊆B，求实数a的取值范围；〔2〕假设A∩B=φ，求实数a的取值范围．考点：对数函数的定义域；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：〔1〕先求出函数的定义域，以及函数y=log2〔x﹣a+1〕的定义域，根据集合A是集合B的子集建立等式关系，即可求出实数a的取值范围；〔2〕根据集合A与集合B的交集是空集建立不等关系，解之即可．解答：解：由题意得：21﹣4x﹣x2≥0，解得：﹣7≤x≤3，∴定义域A={x|﹣7≤x≤3}x﹣a+1＞0，解得：x＞a﹣1，∴定义域B={x|x＞a﹣1}〔1〕∵A⊆B，∴a﹣1＜﹣7，∴a＜﹣6∴a的取值范围为a＜﹣6〔2〕∵A∩B=φ，∴a﹣1≥3，∴a≥4，∴a的取值范围为a≥4点评：此题主要考查了对数函数的定义域，以及集合的包含关系判断及应用，同时考查了计算能力，属于根底题．∃x∈〔0，+∞〕，mx2考点：专计算题．题：分析：∃x∈〔0，+∞〕，，根据“p且q〞为真，判断出p真q真，从而求得实数m的取值范围．解解：由，知，答：∵x∈[1，3]，∴，∴1﹣m＞1，即m＜0．又由mx2+x﹣4=0，x＞0，得，∵，由题所以，符合题意的m的取值范围是．点评：17．〔14分〕〔•模拟〕将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．〔1〕根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？〔2〕在按〔1〕分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者参加B组继续种植，求植树活动所持续的时间．简单线性规划的应用．考点：应用题；不等式的解法及应用．专题：分析：〔1〕设A组的人数为x，那么B组人数为52﹣x，可求出A组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，可求x，然后代入检验即可〔2〕先求出1小时后A组余下白杨，根据此时的人数可求还需时间，同理可求B组还需时间，两组所化时间进行比拟即可求解植树持续时间解答：解：〔1〕设A组的人数为x，那么B组人数为52﹣xA组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，那么①当 x=19时，t1=≈3.158，②当 x=20时，t1==3，∴应分配 A组 20人，B组32人，总用时最短为小时〔2〕1小时后，A组已种=50捆，余150﹣50=100捆白杨，此后，A组20﹣6=14人，还需=B组已种=48捆，余200﹣48=152捆，此后B组32+6=38人还需时间=∴植树持续时间+1=点评：此题主要考查了线性规划知识在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题18．〔16分〕函数f〔x〕=3﹣2log2x，g〔x〕=log2x．〔1〕如果x∈[1，4]，求函数h〔x〕=〔f〔x〕+1〕g〔x〕的值域；〔2〕求函数M〔x〕=的最大值；〔3〕如果不等式f〔x2〕f〔〕＞kg〔x〕对x∈[2，4]有解，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔1〕写出h〔x〕的表达式，借助的二次函数的性质即可求得函数h〔x〕的值域；〔2〕先比拟f〔x〕与g〔x〕的大小，然后把M〔x〕化为分段函数，分别求出各段上M〔x〕的最大值，取其较大者即可；〔3〕通过换元，令t=log2x，那么不等式可变为关于k、t的不等式，别离出参数k 后转化为求函数的最大值处理即可；解答：解〔1〕h〔x〕=〔4﹣2log2x〕•log2x=﹣，∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴h〔x〕的值域为[0，2]；〔2〕f〔x〕﹣g〔x〕=3〔1﹣log2x〕，当x＞2时，f〔x〕＜g〔x〕；当0＜x≤2时，f〔x〕≥g〔x〕，∴M〔x〕==，当0＜x≤2时，M〔x〕的最大值为1；当x＞2时，M〔x〕＜1，；综上，当x=2时，M〔x〕取到最大值为1．〔3〕由f〔x2〕f〔〕＞kg〔x〕，得〔3﹣4log2x〕〔3﹣log2x〕＞klog2x，令t=log2x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]，∴存在t∈[1，2]使〔3﹣4t〕〔3﹣t〕＞kt，即k＜=4t+﹣15成立，记h〔t〕=4t+﹣15，那么k＜h〔t〕max，而h〔t〕在[1，]上递减，在[，2]上递增，所以h〔t〕max=h〔1〕=﹣2，所以k＜﹣2．点评：此题考查函数的值域、分段函数的最值、不等式等知识，解决〔3〕问的关键是正确理解题意并准确转化为函数最值．19．〔16分〕函数f〔x〕定义在〔﹣1，1〕上，对于任意的x，y∈〔﹣1，1〕，有，且当x＜0时，f〔x〕＞0；〔1〕验证函数是否满足这些条件；〔2〕假设，且|a|＜1，|b|＜1，求f〔a〕，f〔b〕的值．〔3〕假设，试解关于x的方程．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题；阅读型．分析：〔1〕先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；〔2〕先判定函数的奇偶性，然后建立f〔a〕，f〔b〕的方程组，解之即可；〔3〕先判定函数f〔x〕在〔﹣1，1〕上的单调性，然后得到，建立关于x的方程，解之即可．解答：解：〔1〕由可得﹣1＜x＜1，即其定义域为〔﹣1，1〕又==又当x＜0时，1﹣x＞1+x＞0，∴∴故满足这些条件．〔2〕令x=y=0，∴f〔0〕=0，令y=﹣x，有f〔﹣x〕+f〔x〕=f〔0〕=0，∴f〔x〕为奇函数由条件得，解得．〔3〕设﹣1＜x1＜x2＜1，那么x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，，那么，f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，∴f〔x〕在〔﹣1，1〕上是减函数∵原方程即为，∴又∵故原方程的解为．点评：此题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和奇偶性的判定，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．20．〔16分〕〔•模拟〕函数f〔x〕=lnx，g〔x〕=x2﹣bx〔b为常数〕．〔1〕函数f〔x〕的图象在点〔1，f〔1〕〕处的切线与g〔x〕的图象相切，求实数b的值；〔2〕设h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，假设函数h〔x〕在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；〔3〕假设b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＞|g〔x1〕﹣g〔x2〕|成立，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：〔1〕由f〔x〕求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g〔x〕联立，利用根的判别求解即可．〔2〕通过求h′〔x〕，结合函数h〔x〕在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围．〔3〕要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＞|g〔x1〕﹣g〔x2〕|成立，即＞，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′〔x〕|＞|g′〔x〕|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．解答：解：〔1〕f〔x〕=lnx得f′〔x〕=，函数f〔x〕的图象在点〔1，f〔1〕〕处的切线的斜率为f′〔1〕=1，切线方程为：y ﹣0=x﹣1即y=x﹣1．由得它与g〔x〕的图象相切，将y=x﹣1代入得x﹣1=x2﹣bx，即x2﹣〔b+1〕x+1=0，∴△=〔b+1〕2﹣2=0，解得b=﹣1，即实数b 的值为﹣1．〔2〕h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕=lnx+x2﹣bx，∴h′〔x〕=+x﹣b，根据函数h〔x〕在定义域〔0，+∞〕上存在单调减区间，∴存在x＞0，使得+x﹣b＜0，即b＞+x，由于当x＞0时，+x≥2，∴b＞2．∴实数b 的取值范围〔2，+∞〕．〔3〕对于区间[1，2]上的任意实数x，f′〔x〕=∈[，1]．g′〔x〕=x﹣b∈[1﹣b，2﹣b]，要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＞|g〔x1〕﹣g〔x2〕|成立，假设用注意到f〔x〕是增函数，不妨设x1＞x2，那么f〔x1〕＞f〔x2〕，问题转化为|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＞|g〔x1〕﹣g〔x2〕|等价于﹣f〔x1〕+f〔x2〕＜g〔x1〕﹣g〔x2〕＜f〔x1〕﹣f〔x2〕从而f〔x1〕﹣g〔x1〕＞f〔x2〕﹣g〔x2〕且f〔x1〕+g〔x1〕＞f〔x2〕+g〔x2〕，即f〔x〕﹣g〔x〕与f〔x〕+g〔x〕都是增函数，利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′〔x〕|＞|g′〔x〕|，即＞|b﹣x|，于是x﹣≤b≤x+即〔x﹣〕max≤b≤〔x+〕min∴≤b≤2．那么b的取值范围[，2]．点评：对于函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f〔x〕在〔a，b〕上可导，假设f〔x〕在〔a，b〕上是增函数，那么可得f′〔x〕≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，假设f〔x〕在〔a，b〕上是减函数，，那么可得f′〔x〕≤0．。
江苏省启东中学高二物理下学期期中试题
江苏省启东中学2014~2015学年度第二学期期中考试高二物理试卷试卷满分120分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是()A．具有各向同性的物体一定没有明显的熔点B．外形不规则的固体都是非晶体C．通常的金属材料在各个方向上的物理性质都相同，所以这些金属都是非晶体D．晶体和非晶体在适当条件下可相互转化2．利用单分子油膜法可以粗测分子的大小和阿伏加德罗常数，如果已知体积为V的一滴油在水面上散开形成的单分子油膜的面积为S，这种油的摩尔质量为M，密度为ρ，则阿伏加德罗常数可以表示为（）A．336VMSNAπρ=B．238VMSNAπρ=C．334VMSNAπρ=D．3236VMSNAπρ=3．如图所示，甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，甲、乙两分子间的作用力与两分子间距离的关系如图中曲线所示，F＞0为斥力，F＜0为引力．a、b、c、d为x轴上四个特定的位置，现将乙分子从a移动到d的过程中，两分子间的分子力和分子势能同时都增大的阶段是（）A．从a到bB．从b到cC．从b至dD．从c到d4．一定质量的理想气体处于平衡状态Ⅰ，现设法使其温度升高而压强减小，达到平衡状态Ⅱ，则下列说法中正确的是（）A．状态Ⅰ时的分子平均动能比状态Ⅱ时的大B．状态Ⅰ时的分子间的平均距离比状态Ⅱ时的大C．状态Ⅰ时每个分子的动能都比状态Ⅱ时每个分子的动能小D．气体从状态Ⅰ变化到状态Ⅱ的过程中要吸收热量5．下列说法正确是（）A．第二类永动机不可能制造成功的原因是因为能量不能凭空产生，也不会凭空消失，只能从一个物体转移到另一物体，或从一种形式转化为另一种形式B．由热力学第二定律可表述为所有自发的热现象的宏观过程都具有方向性C．因为能量守恒，所以能源危机是不可能的D．摩擦力做功的过程，必定有机械能转化为内能6．带有活塞的气缸内封闭一定量的理想气体．气体开始处于状态a，然后经过过程ab到达状态b或经过过程ac到达状态c，b，c状态温度相同，如V~T图所示．设气体在状态b和状态c的压强分别为pb和pc，在过程ab和ac中吸收的热量分别为Qab和Qac，则（）VbA ．pb ＞pc ，Qab ＞QacB ．pb ＞pc ，Qab ＜QacC ．pb ＜pc ，Qab ＞QacD ．pb ＜pc ，Qab ＜Qac7．装有炮弹的大炮总质量为M ，炮弹的质量为m ，炮筒水平放置，炮弹水平射出时相对炮口的速度为v0，则炮车后退的速度大小为( )A ．m M v0B ．mv0M ＋mC ．mv0M －mD ．v08．如图所示，质量为M 、长为L 的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M 的物块（视为质点）以一定的初速度从左端冲上木板，若长木板是固定的，物块恰好停在木板的右端，若长木板不固定，则物块冲上木板后在木板上最多能滑行的距离为（ ）A ．4LB ． 2LC ．43LD ． L9．在光滑的水平面上有三个完全相同的小球，它们成一条直线，2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v0射向它们，如图所示．设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能值是( )A ．v1＝v2＝v3＝13v0 B ．v1＝0，v2＝v3＝12v0 C ．v1＝v2＝0，v3＝v0D ．v1＝0，v2＝v3＝12v010．质量相等的A 、B 两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A 球的动量是7kg·m/s ，B 球的动量是5kg·m/s ，当A 球追上B 球发生碰撞，则碰撞后A 、B 两球的动量可能值是( )A ．pA ＝6kg·m/s ，pB ＝6kg·m/sB ．pA ＝3kg·m/s ，pB ＝9kg·m/sC ．pA ＝－2kg·m/s ，pB ＝14kg·m/sD ．pA ＝－4kg·m/s ，pB ＝18kg·m/s二、多项选择题（（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题至少有两个选项是正确的，漏选得1分，错选或不选得零分）11．下图是氧气分子在不同温度(0℃和100℃)下的速率分布，由图可得信息( )A ．同一温度下，氧气分子呈现出“中间多，两头少”的分布规律B ．随着温度的升高，每一个氧气分子的速率都增大C ．随着温度的升高，氧气分子中速率小的分子所占的比例高D ．随着温度的升高，氧气分子的平均速率变大12．如图所示，把一块洗净的玻璃板吊在测力计的下端，使玻璃板水平地接触水面，用手缓慢竖直向上拉测力计，则玻璃板在拉离水面的过程中( )A ．测力计示数始终等于玻璃板的重力B ．测力计示数会出现大于玻璃板重力的情况C ．因为玻璃板上表面受到大气压力，所以拉力大于玻璃板的重力D ．因为拉起时需要克服水分子间的吸力，所以拉力大于玻璃板的重力13．下列说法正确的是( )A ．水的体积很难被压缩，这是分子间存在斥力的宏观表现B ．气体总是很容易充满容器，这是分子间存在斥力的宏观表现C ．两个相同的半球壳吻合接触，中间抽成真空(马德堡半球)，用力很难拉开，这是分子间存在吸引力的宏观表现D ．用力拉铁棒的两端，铁棒没有断，这是分子间存在吸引力的宏观表现14．下面的几种说法中正确的是（ ）A ．布朗运动反映的是液体分子的无规则运动B ．根据热力学第二定律可知，热量不可能从低温物体传到高温物体C ．物体放出热量，温度一定降低D ．气体对容器壁的压强是由于大量气体分子对器壁的碰撞作用产生的15．一定质量的理想气体封闭在绝热的容器里，下列说法中正确的是（ ）A ．若气体分子间的平均距离减小，则气体的内能一定增大B ．若气体分子间的平均距离增大，则容器内所有气体分子的动能都减小C ．若气体分子的平均动能增大，则气体的压强一定增大D ．若容器做加速运动，则容器内的气体分子的平均动能越来越大16．如图所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m 的物体A 相连，A 放在光滑的水平面上，有一质量与A 相同的物体B ，从高h 处由静止开始沿光滑曲面滑下，与A 相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B 与A 分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是（ ）A ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mghB ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为2mghC ．B 能达到的最大高度为2hB h AD ．B 能达到的最大高度为4h17．如图所示，一定质量的空气被水银封闭在静置于竖直平面的U 形玻璃管内，右管上端开口且足够长，右管内水银面比左管内水银面高h ，能使h 变大的原因是( )A ．环境温度升高B ．大气压强升高C ．沿管壁向右管内加水银D ．U 形玻璃管自由下落18．在任何相等的时间内，物体动量变化量总是相等的运动是( )A ．竖直上抛运动B ．匀速圆周运动C ．自由落体运动D ．平抛运动19．以下说法正确的是( )A ．满足能量守恒定律的宏观过程都是可以自发进行的B ．熵是物体内分子运动无序程度的量度C ．若容器中用活塞封闭着刚好饱和的一些水汽，当保持温度不变向下缓慢压活塞时，水汽的质量减少，密度不变D ．当分子间距离增大时，分子间引力增大，而分子间斥力减小20．一定质量的理想气体（ ）A ．先等压膨胀，再等容降温，其温度必低于起始温度B ．先等温膨胀，再等压压缩，其体积必小于起始体积C ．先等容升温，再等压压缩，其温度有可能等于起始温度D ．先等容加热，再绝热压缩，其内能必大于起始内能三、填空题（本题共2小题，每题6分，共12分）21．用油膜法估测分子的大小时有如下步骤：A ．向浅盘中倒入约2cm 深的水；B ．向浅盘中的水面均匀地撒入石膏粉(或痱子粉)；C ．将油酸和酒精按一定比例配制好；D ．把酒精油酸溶液一滴一滴滴入量筒中，当体积达到1mL 时记下滴入的滴数，算出每滴液滴的体积；E ．把一滴酒精油酸溶液滴在水面上，直到薄膜形态稳定；F ．将玻璃板放在浅盘上，然后将油酸膜的形态用彩笔画在玻璃板上；G ．把玻璃板放在方格纸上，数出薄膜所占面积；H ．计算出油膜的厚度L ＝V S若所用油酸酒精溶液的浓度为每104mL 溶液中含有纯油酸6mL ，1mL 上述溶液为75滴，把1滴该溶液滴入盛水的浅盘里，待水面稳定后，将玻璃板放在浅盘上，用笔在玻璃板上描绘出油酸膜的轮廓形状再把玻璃板放在坐标纸上，其形状和尺寸如图所示，坐标纸中正方形方格的边长为1cm ，试求：(1)油酸膜的面积是 cm2；(2)每滴油酸酒精溶液中含有纯油酸的体积是mL；(3)按以上实验数据估测出油酸分子的直径m．（答案保留一位有效数字）22．如图所示“为探究碰撞中的不变量”的实验装置示意图．(1)因为下落高度相同的平抛小球(不计空气阻力)的飞行时间相同，所以我们在实验中可以用平抛运动的来替代平抛运动的初速度．(2)本实验中，实验必须要求的条件是()A．斜槽轨道必须是光滑的B．斜槽轨道末端点的切线是水平的C．入射小球每次都从斜槽上的同一位置无初速释放D．入射球与被碰球满足ma＞mb，ra＝rb(3)图中M、P、N分别为入射球与被碰球对应的落点的平均位置，则实验中要验证的关系是()A．ma·ON＝ma·OP＋mb·OM B．ma·OP＝ma·ON＋mb·OMC．ma·OP＝ma·OM＋mb·ON D．ma·OM＝ma·OP＋mb·ON四、论述计算题：解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位（本题共5小题，第23题8分，其余每小题10分，共48分）23．（8分)在一个大气压下，1g水在沸腾时吸收了2260J的热量后变成同温度的水蒸汽，对外做了170J的功，阿伏伽德罗常数NA=6.0×1023mol—1，水的摩尔质量M=18g/mol，求：（1）水的分子总动能变化量及分子总势能变化量；（2）1g水所含的分子数（结果保留两位有效数字）．24．（10分）若将气泡内的气体视为理想气体，气泡从湖底缓慢上升到湖面的过程中，对外界做了0.6J的功，（设湖水的温度相等且保持不变）（1）气泡上升过程中吸收的热量是多少？（2）气泡到达湖面后，由于太阳的照射，在温度上升的过程中又对外界做了0.1J的功，同时吸收了0.3J的热量，则此过程中，气泡内气体内能的增加了多少？（3）已知气泡内气体的密度为1.29kg/m3，平均摩尔质量为0.29kg/mol．阿伏加德罗常数NA=6.02×1023mol—1，取气体分子的平均直径为2×10—10m，若气泡内的气体完全变为液体，请估算液体体积与原来气体体积的比值．（结果保留一位有效数字）25．（10分）如图所示，在水平固定的筒形绝热气缸中，用绝热的活塞封闭一部分气体．活塞的横截面积为0.2m2，外界大气压强为105Pa，当气体温度为27℃，活塞距气缸底45cm．活塞与气缸之间无摩擦且不漏气．用一个电阻丝R给气体加热，活塞将会缓慢移动．已知被封闭气体的温度每升高1℃，其内能增加74.8J（1）活塞移动的距离；（2）电阻丝对气体提供的热量．R26．（10分）如图所示，ABC 是光滑轨道，其中BC 部分是半径为R 的竖直放置的半圆，一质量为M 的木块放置在轨道的水平部分，木块被水平飞来的质量为m 的子弹射中，并滞留在木块中．若被击中的木块能沿轨道运动到圆弧的最高点C ，且对C 点的压力大小为（M+m ）g ，求子弹射入木块前瞬时速度的大小．27．（10分）如图所示，光滑水平直导轨上有三个滑块A 、B 、C ，质量分别为mA=mC=2m ，mB=m ，A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧（弹簧与滑块不拴接）．同时A 、B 以共同的速度v0运动，C 静止．某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘合在一起，最终三滑块的速度相同．求：（1）三滑块最终的共同速度；（2）B 与C 碰撞前B 的速度；（3）细绳断开前，弹簧中的弹性势能 B A C v 0 A B CR MO m高二物理期中试卷参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．D ；2．A；3．D ；4．D；5．B；6．C；7．A；8．B；9．C；10．A二、多项选择题（每小题3分，漏选得1分，错选或不选得零分，共30分）11．AD；12．BD；13．AD；14．AD；15．AC；16．BD；17．ACD；18．ACD；19．BC 20．CD三、填空题（每空2分，共12分）21．(1)110(2)8×10－6(3)7×10－10；22．(1)水平位移(2)BCD(3)C四、计算题（第23题8分，其余每小题10分，共48分）23．（1）2090J （3分）；② 3.3×1022 （5分）24．（1）0.6J （3分）；（2）0.2J （3分）；（3）==MNdvvA6312πρ1×10—4（9×10—5~2×10—4都算正确）（4分）25．（1）7.5cm （5分）；（2）5240J（5分）26．gRmmMv6+=（10分）27．（1）53v（3分）；（2）59v（3分）；（3）22512mv（4分）。
数学-高二-江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．2．函数y=sinx•cosx的导函数为．3．函数y=xlnx的单调减区间为．4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是．6．函数y=3x3﹣9x+5在区间上的最大值与最小值之和是．7．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．8．已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为．9．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈，总存在x2∈，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=．10．水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是．11．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=．13．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．14．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．16．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．17．已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．18．全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．19．已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【考点】导数的运算．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：32．函数y=sinx•cosx的导函数为cos2x．【考点】导数的运算．【分析】利用导数的乘法与除法法则求出它的导数【解答】解：∵y=sinx•cosx，∴y′=（sinx）′cosx+sinx（cosx）′=cos2x﹣sin2x=cos2x故答案为cos2x．3．函数y=xlnx的单调减区间为（0，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用积的导数运算法则求出导函数，令导函数小于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递减区间．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出t的值，检验即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2tx2+t2x，f′（x）=3x2﹣4tx+t2，∵函数f（x）在x=2处有极小值，∴f′（2）=0，解得：t=2或t=6，经检验，t=2符合题意，故答案为：2．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是1，+∞）．故答案为：﹣2，2﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，21，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，aa，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．14．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由，得a2+a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．【解答】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…因为A﹣1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…16．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．17．已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．【考点】特征值与特征向量的计算；特征向量的意义．【分析】（1）由矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，代入二元一次方程组求得其特征向量；（2）由（1）的结论，向量是属于特征值为﹣2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可求得A2016．【解答】解：（1）矩阵A的特征多项式f（λ）=λE﹣A==（λ﹣3）（λ+2），令f（λ）=0，解得：λ1=3，λ2=﹣2，将λ1=3，代入二元一次方程组得：，解得y=0，矩阵A属于特征值3的特征向量为，将λ2=﹣2，代入二元一次方程组得：，当x=1时，y=﹣1，∴矩阵A属于特征值﹣2的特征向量为；（2）A2016==．∴A2016=．18．全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）先确定至少要比赛6场，再求出相应的概率，即可求出组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜，分类求概率，即可求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．求出相应的概率，即可求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【解答】解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比赛6场．当进行比赛6场时，某一队获胜的概率为，当进行比赛7场时，某一队获胜的概率为，所以收入不少于13500万元的概率为．（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为；当7场获胜时，则4胜3败，①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为．②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为，故雷霆队“逆袭”获胜的概率为．（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．若比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，则显然在前面k﹣1场中获胜3场，从而，k=4，5，6，7．①分布列为：ξ 4 5 6 7P②所需比赛场数的数学期望是．19．已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈1﹣2a，4hslx3y3h时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．2016年10月17日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 nx ，且 n 4m(m 0) ，求证：当 x 0 时， r ( x) 1 . f ( x) g ( x)
江苏省启东中学 2014-2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷Ⅱ附加题(理科)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4． 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 5． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在
江苏省启东中学 2014-2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷Ⅰ(理科)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 命题人:黄群力 2015.5
x＝2＋2t y＝1－t
(t 为参数)，椭圆 C 的方程
为 ＋y ＝1，试在椭圆 C 上求一点 P，使得 P 到直线 l 的距离最小． 4
x2
2
3.（本小题满分 10 分，空间立体几何） 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝ 2，BB1＝3，D 为 A1C1 的中点，F 在线段 AA1 上． （1）AF 为何值时，CF⊥平面 B1DF？ （2）设 AF＝1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
a 2, 又 B (2,3] ，A= (a,3a) ； 所以有 解得 1 a 2; 3 3a, 所以实数 a 的取值范围是 1 a 2 . „„„„„„„„„14 分 16 题: (本小题 14 分)
„„„„„„„„„„„„„„„„5 分 2 (2)记 f x x 2 cos x ,则 f ( x) 1 2sin x ， „„„„„„„„„„„„7 分
－ 递减
3 ，………………………………………………………………………………………….13 6 答：观光路线总长的最大值为 3 千米． „„„„„„„„„„„14 分 6
6
π 处取得极大值，这个极大值就是最大值，„„„„12 分 6
17 题(本小题 14 分)
解
(1)设圆心 C(a，b)，则有
B , C ，与直线 OA 交于点 N ．
（1）求抛物线的方程； （2）试问：
MN MN 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． MB MC
y l C
o M B
N
x
A
(第 4 题图)
江苏省启东中学 2014~2015 学年度第二学期期中考试答案 高二数学试卷Ⅰ(理科)
一.填空题 1. 5. 9
MA 2MO ,则 a 的取值范围
▲
.
13 ．定义在 [1, ) 上的函数 f ( x) 满足 : ① f (2 x) mf ( x)(m 为正常数 ) ②当 2 x 4 时 ,
f ( x) 1 x 3 ,若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则 m =
▲
.
14．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1、F2 在 x 轴上， A1 , A2 为左右顶点，焦距 为 2，左准线 l 与 x 轴的交点为 M ， MA2 ∶ | A1 F1 | = 6∶1．若点 P 在直线 l 上运动，
1. （本小题满分 10 分，矩阵与变换） 已知矩阵 M＝
1 a b 1
c 2 ，N＝ 0 d
2 0 ，且 MN＝ ， －2 0
（Ⅰ）求实数 a,b,c,d 的值； （Ⅱ）求直线 y 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的象的方程．
2.（本小题满分 10 分，极坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
19.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的离心率为 2 ， 其焦点与椭圆上 2 a 2 b2
最近点的距离为 2 2 . （1）求椭圆的方程；
（2）若 A, B 分别是椭圆的左右顶点，动点 M 满足 MB AB 0 ，且 MA 交椭圆于点 P ． ①求 OP OM 的值；
②设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，求证:直线 MQ 过定点．
y M P Q O x
A
B
(第 19 题图)
20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) e ， g ( x) mx n . （1）设 h( x) f ( x) g ( x) .
x
① 若函数 h( x) 在 x 0 处的切线过点 (1, 0) ，求 m n 的值； ② 当 n 0 时，若函数 h( x) 在 (1, ) 上没有零点，求 m 的取值范围； （2）设函数 r ( x)
y
B P O A x
(第 17 题图) 18. (本题满分 16 分)
1 2 ax x ， a R ． 2 (1)若 a 2 ，求函数 f ( x) 的单调递减区间； a (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax 1 恒成立，求整数 ．． 的最小值；
已知函数 f ( x) ln x
C
A
D
(第 16 题图)
O
B
17. (本题满分 14 分) 已知圆 C 过点 P(1,1) ，且与圆 M : ( x 2) 2 ( y 2) 2 r 2 (r 0) 关于直线 x y 2 0 对称.(1) 求圆 C 的方程.(2) 过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的 倾斜角互补, O 为坐标原点,求证:直线 OP 与直线 AB 平行.
解：(1) y x 2 cos x ， x 0, 令 f ( x) 0 ，得 x 列表 x (0， ) ＋ 递增
， 6
„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 分
f ( x)
f (x) 所以函数 f x 在 x 即 f( )
6
6
0 极 大 值
(
， ) 6 2
一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．． 置上 ． ．． 1. 设复数 z 满足 i z 4 3 2i （ i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为 2. 运行如图所示的流程图，如果输入 a 1, b 2 ，则输出的 a 的值为 ▲ ▲ . .
x1 x2 y1 y2
▲
.
11. 设 a 0 ,函数 f ( x) x 立,则 a 的取值范围为
a2 , g ( x) x ln x ,若对任意的 x1 , x2 [1, e] ,都有 f ( x1 ) g ( x2 ) 成 x ▲ .
12. 已 知 圆 C : x 2 y 2 2 x 4 y 3 0 , 设 点 A(0, a )(a 0) , 若 圆 C 上 存 在 点 M , 使
a－2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb－2 2 ＋ 2 ＋2＝0， b＋2 a＋2＝1.
a＝0， 解得 则圆 C 的方程为 x2＋y2＝r2，将点 P 的坐标代入，得 r2＝2. b＝0. 故圆 C 的方程为 x2＋y2＝2…………………………………………….6 分 (2)由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． y－1＝kx－1， 由 2 2 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. x ＋y ＝2， k2－2k－1 因为点 P 的横坐标 x＝1 一定是该方程的解，故可得 xA＝ . 1＋k2 k2＋2k－1 同理，xB＝ ...............................................................................10 分 1＋k2 yB－yA －kxB－1－kxA－1 所以 kAB＝ ＝ xB－xA xB－xA ＝ 2k－kxB＋xA ＝1＝kOP.所以直线 AB 和 OP 平行．……………….14 分 xB－xA
3
命题人:黄群力 2015.5
2. 6. 10. 13.
9
1 1
3. 7. 11.
m 1
4. 8.
2 55 5
0
1 (0, ) e
x2 y 2 1 9 16
[ e 2, )
3 3
12. 3 a 4 19 14.
5 20
15 题:(本小题 14 分)
1或2
所以实数 x 的取值范围是 2 x 3 . „„„„„„„„„7 分 (2) p 是 q 的必要不充分条件，即 q p,且 p q， 设 A= x p ( x) , B = x q ( x) , 则 A B， „„„„„„„„„10 分
P M
A1
l
F1
F2
A2
( 第 2 题图)
(第 14 题图)
3. 命 题 “ x [0,3] ， 使 x 2 2 x m 0 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 ▲ .
4. 平 面直 角坐标 系 xOy 中 , 直 线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2) 2 ( y 1) 2 4 截 得的弦长为 ▲ . ▲ .