陕西西安市爱知中学2019-2020学年中考数学模拟试卷

陕西西安市爱知中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，AD 是∆ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，ABC
S 7=，DE=2，AB=4，则AC 的长是
（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
2．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）
A.最小值0
B.最大值1
C.最大值2
D.有最小值﹣
3．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），给出以下五个结论：①AE ＝CF ；②∠APE ＝∠CPF ；③连接EF ，△EPF 是等腰直角三角形；④EF ＝AP ；⑤S 四边形AFPE ＝S △APC ，其中正确的有几个（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 在函数y ＝k
x
（x ＞0）的图象上，若∠C ＝60°，AB ＝2，则k 的值为（ ）
A
B C ．1 D ．2
5．已知一元二次方程22410x x +-=的两个根为1x ，2x ，且12x x <，下列结论正确的是（ ） A ．122x x +=
B ．121x x =-
C ．12x x <
D ．2
11122
x x +=
6．下列运算正确的是（ ）
A ．333326a a a ⋅=
B ．()2
22a b a b +=+ C ．()
2
24--=
D =
7．如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个如图所示的长方形，则这样的操作能够验证的等式是（ ）
A ．222
()2a b a ab b -=-+ B ．22
()()a b a b a b -=+- C ．2
2
2
()2a b a ab b +=++
D ．2
()a ab a a b +=+
8．如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并沿A →B →C →D 的路径移动，设点E 经过的路径长为x ，ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
9．样本数据3，a ，4，b ，8的平均数是5，众数是3，则这组数据的中位数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
10．一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ）
A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．23
11．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM 2=，N 是AC 上一动点，则DN MN +的
最小值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
12．方程组6
32x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解为( )
A ．4
2x y =⎧⎨=⎩
B ．2
4x y =⎧⎨=⎩
C ．1
5x y =⎧⎨=⎩
D ．3
3x y =⎧⎨=⎩
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝16，BD ＝12，DH 垂直BC 于H ，则sin ∠
DCH ＝_____．
14．已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x+1＝0的两个实数根，则12
11
+x x ＝_____． 15．正比例函数的图像与反比例函数
的图象相交于A 、B 两点，其中点A(2，n)，且n>0，
当
时，的取值范围是___________________.
16．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是______．
17．如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．
18．若整数a
α<<a 的值为_____．
三、解答题
19．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S 千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V 1千米/小时的速度行走，另一半路程以V 2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V 1千米/小时的速度行走，另一半时间以V 2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1小时、t 2小时．
（1）试用含S 、V 1、V 2的代数式表示t 1和t 2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
20．如图，△ABC 的边BC 为⊙O 的直径，边AC 和⊙O 交点D ，且∠ABD ＝∠ACB ．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，AB ＝5，则BC 的长为 ．
21．在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB 上，且充分利用原三角形废料．
（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） （2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．
22．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，点A ，B 是格点，根据要求，选择格点，画出符合要求的图形．
(1)在图1、图2中分别找出符合要求的1个格点C ，并画出相应的格点三角形，使得∠ACB ＝45°．
(2)在图3中画出符合要求的1个格点D，并画出相应的格点三角形使得tan∠ADB＝1
2
，并求出△ABD的
面积．
23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？
24．如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO 的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
253|+(π﹣2)0﹣(1
2
)﹣1．
【参考答案】*** 一、选择题
13．24 25
.
14．3
15．或16．
17．
75
18．3或4 三、解答题 19．(1) ()12112
S V V t 2V V +=
,2122S t V V =+(2) 当V 1＝V 2时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当V 1≠V 2时，乙班同学先到达军训基地．理由见解析 【解析】 【分析】
(1)本题的等量关系是路程＝速度×时间．根据甲到军训基地的时间＝甲在一半路程内以速度V 1行驶的时间+甲在另一半路程内以速度V 2行驶的时间．来列出关于关于t 1的代数式．根据乙以速度V 1行驶一半时间走的路程+乙以速度V 2行驶另一半时间走的路程＝总路程S ，来求出关于t 2的代数式；
(2)可将表示t 1和t 2的式子相减，按照分式的加减法进行合并化简后，看看当V 1，V 2在不同的条件下，t 1和t 2谁大谁小即可． 【详解】
：(1)由已知，得：1222S S
V V +＝t 1，
221222
t t
V V S +=， 解得：()12112
S V V t 2V V +=,2122S t V V =+；
(2)∵t 1﹣t 2＝()1212S V V 2V V +122S V V -+=()()2
12121212S V V 42V V V V SVV +-+=()()
2
121212S V V 2V V V -V +， 而S 、V 1、V 2都大于零，
①当V 1＝V 2时，t 1﹣t 2＝0，即t 1＝t 2， ②当V 1≠V 2时，t 1﹣t 2＞0，即t 1＞t 2，
综上：当V 1＝V 2时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当V 1≠V 2时，乙班同学先到达军训基地． 【点睛】
本题结合实际问题考查了异分母分式的加减运算，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
20．（1）见解析；（2）203
. 【解析】 【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠BDC ＝90°，求得∠C+∠DBC ＝90°，等量代换得到∠ABD+∠DBC ＝90°，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】
（1）证明：∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠C+∠DBC ＝90°， ∵∠ABD ＝∠C ，
∴∠ABD+∠DBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ADB ＝90°，BD ＝4，AB ＝5， ∴AD ＝3，
∵∠ADB ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠ABD ， ∴△ABD ∽△BCD ，
AB AD
BC BD ∴= 534
BC ∴
= 203BC ∴=
故答案为：203
． 【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
21．（1）答案见解析;(2)12
7
. 【解析】 【分析】
（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．图中半圆即为所求．
（2）作OH ⊥BC 于H ．首先证明OE=OH ，设OE=OH=r ，利用面积法构建方程求出r 即可． 【详解】
解：（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．
（2）∵OC 平分∠ACB ，OE ⊥AC ，OH ⊥BC ， ∴OE=OH ，设OE=OH=r ， ∵S △ABC =12•AC•BC=12•AC•r+1
2
•BC•r， ∴r=
127
． 【点睛】
本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．
22．(1)见解析；(2)画图见解析，在，面积为10. 【解析】 【分析】
（1）利用数形结合的思想构造等腰直角三角形即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】
(1)如图1，2中，点C 即为所求．
(2)如图3中，点D 即为所求，S △ABD ＝
12
×BD×AH＝1
2⨯＝10．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 23．商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元． 【解析】 【分析】
利用销售利润2000＝售价﹣进价，进而求出即可． 【详解】
设每个小家电的增加是x 元，
由题意，得（52+x ﹣40）（180﹣10x ）＝2000， 解得x 1＝8，x 2＝﹣2 ∵180﹣10x≤180， ∴x≥0，
∴x ＝8，则180﹣10x ＝100（个），52+8＝60（元）， 答：商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
24．（1）y ＝x 2
；（2）y ＝﹣
15x 2+8
5
x ；（3）点P 的坐标为（4，2）或（，2）或（4﹣
，﹣2）或（，﹣2）时，△POB 的面积S ＝8．
【解析】 【分析】
（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB ＝45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C′O′，从而判断出△OO′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可． 【详解】
（1）∵AB ＝OB ，∠ABO ＝90°， ∴△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠AOB ＝45°，
∵∠yOC ＝45°，
∴∠AOC ＝（90°﹣45°）+45°＝90°， ∴AO ⊥CO ，
∵C′O′是CO 平移得到， ∴AO ⊥C′O′，
∴△OO′G 是等腰直角三角形， ∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度， ∴OO′＝2x ，
∴其以OO′为底边的高为x ， ∴y ＝
1
2
×（2x ）•x＝x 2； （2）当x ＝3秒时，OO′＝2×3＝6， ∵
1
2
×6＝3， ∴点G 的坐标为（3，3）， 设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，
则9336480a b a b +=⎧⎨+=⎩
，
解得1585a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为y ＝218
55
x x -
+； （3）设点P 到x 轴的距离为h ， 则S △POB ＝
1
2
×8h＝8， 解得h ＝2，
当点P 在x 轴上方时，218
55
x x -
+＝2， 整理得，x 2
﹣8x+10＝0， 解得x 1＝4
，x 2＝
，
此时，点P 的坐标为（4
，2）或（
，2）； 当点P 在x 轴下方时，218
55
x x -
+＝﹣2， 整理得，x 2﹣8x ﹣10＝0， 解得x 1＝4
，x 2＝
，
此时，点P 的坐标为（4
，﹣2）或（
，﹣2），
综上所述，点P 的坐标为（4
，2）或（
，2）或（4
，﹣2）或（
，﹣2）时，△POB 的面积S ＝8． 【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，平移的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分
情况讨论．
25．【解析】
【分析】
首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】
3|+(π﹣2)0﹣(1
2
)﹣1
=2+312
2
⨯-
12
--
=2.
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．。